高中数学常见思想方法总结

高中常见数学思想方法

方法一函数与方程的思想方法

函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思

想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研

究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言

将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式

（组）来使问题获解.

函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解

（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函

数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互

相转化、接轨，达到解决问题的目的.

【例11设等差数列｛〃”｝的前〃项的和为S”，已知的=12,§2>0,$3<0.

（1）求公差d的取值范围；

（2）指出$、S2、…、§2中哪一个值最大，并说明理由.

【分析】（1）利用公式生与S”建立不等式，容易求解d的范围；（2）利用S”是〃的二次函数，将S”中

哪一个值最大，变成求二次函数中〃为何值时S”取最大值的函数最值问题.

【解】（1）由2d=12,得到〃]=12—2d,

所以§2=】20+66]=12（12-24）+66]=144+42]>0,

S|3=13©+781=13（12-2（/）+78（/=156+52]<0.

解得：一加<4<—3.

7

（2）解法一：（函数的思想）

S”，叼+一——dn~十（12---d）n

222

因为改卜一1卜—半最小时，

S7最大.

21/J

由_㉔<d<—3得6<〃-45-5岁］」

|<6.5,故正整数〃=6时|〃一

721

解法二：（方程的思想）

由d<0可知>处>。3>L>a13.

因此,若在中存在自然数〃,使得a〃>0,%<0,

则工就是s，§2，L，S”中的最大值.

f&>o5d

J2+>01>o

ln

ls3<o

〃)+0,7<0

故在S］、S2、…、$2中S6的值最大.

【点评】数列的通项公式及前〃项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析,

即用函数方法来解决数列问题；也可以利用方程的思想，利用不等式关系，将问题进行算式化，从而简洁明快.

由此可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、

独创性.

JV2

【例1】在平面直角坐标系，中，如图，已知椭圆二+」_=1的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点

95

T（f,〃7）的直线TA,TB与椭圆分别交于点乂（乃，乃），NS,M），其中mX），M>0,竺<0

（1）设动点P满足尸尸2一尸台2=4,求点P的轨迹；’

（2）设即=2,必=；,求点T的坐标；/

（3）设2=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标嬴产关）.O

【解】（I）由题意知/（2,0），力（3,0），设P（x,y），则---------

（x-2）2+y2-（x-3）2-y~-4

9

化简整理得了=一

21I5120

一代人椭圆方程分别求出"（2,）,N——）

（2）把X］=2，X2=3339

直线:y=1（x+3）①

3

直线8N:y=_£(X—3)②

6

①、②联立得7(7,四)

(3)7(9,〃。，

直线。：y=+3）,与椭圆联立得必（一地,

12〃/+80

直线TB:y=〃日一不，与椭圆联立得也f=22）__20、

62+20zw24-20

4020,

20_2>801m+20fW.-20)\

直线MN:y+/Wv

m2+203("-80)3("-20)(,tn+201

+80/+20

化简得"一^=-4倍染时

m

20

in

40

I

m2

+

20

令y=0,解得X=l,即直线MN过X轴上定点（1,0）.

【点评】本题主要考查求简单曲线的方程，考杳直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究

问题的能力.而且，本题在解决问题时.，无论求点的坐标，还是求点P的轨迹方程，都灵活运用了方程的思想，

特别是在证明过程中更是很好地利用方程的有关知识，使问题画繁为简，华难为易.

方法二数形结合的思想方法

正确利用数形结合，应注意三个原则:

(1)等价性原则

数形信息的转换应该是等价的、充要的.要注意由于图形的直观性，往往可以成为严格推证的启导，但有时

不能完整表现数的一股性，考虑问题可能不完备.

(2)双向性原则

数形结合的含意是双向的，即考虑问题既注意代数问题几何化，也注意几何问题代数化，而不仅仅指前者.

(3)简单性原则

有了解题思路，思考用几何方法，还是代数方法，还是两者兼而用之，要取决于解题的简单性原则，而不能

形而上学地让几何问题代数化，代数问题几何化成为一种机械模式.

运用数形结合的思想方法解题的途径主要有三条：

第以形助数：把一些数式的几何意义明朗化，构造出解题的几何模型，突显问题的直观性，使解题思路

变得形像而通畅；

第二，以数助形：利用几何图形或图像图表中隐含的数式特征，构造出解题的代数模型(必要时建立坐标

系)，突显问题的本质，另辟解题的捷径；

第三，数形互助：根据问题的需要，将以形助数和以数助形二方面结合运用.

数形结合的应用是广泛的，数与形的结合点主要集中在以下几个方面：

1.研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值等)，可从函数图像的直观性得到鲜明的

启示.

2.利用数轴与坐标系(包括直角坐标系、极坐标系)，使数与点对应，使函数与图像、方程与曲线结合，使代

数与几何联结.这样，可利用坐标或向量的运算，探索几何图形的相关性质；利用函数图像与方程曲线的直观

性，探索函数或方程的性质.

3.从统计图表、图像中，收集分析出“数”的信息，由破译的数量关系建立代数模型，探索相关的结论.这

类数形信息的转换能力是近年高考的新亮点.

4.三角函数与单位圆、三角函数曲线的联系.

5.复平面与复数、向量的沟通.

6.利用类比法、换元法(如三角换元)、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、儿何问题的代数模型，

开辟解题的新思路.

【例1】(12年上海模拟)若函数y=/G)(xwR)满足/(x-2)=/(x),且时，=,

函数=4<。，则函数〃(月=/*)一8(、)在区间［-5,6］内的零点个数为.

I%

||0,0<x<1

【答案】9

【解】由题意，直接求解会很麻烦，且不易得到正确的答案，所以该题中求〃(x)=/(x)-g(x)的零点，可

以转化为求/(x)与g(x)两函数图像的交点.则画出f［x｝与g(x)的图像，由于/(X)在XW［-1』］上为f(x)=l-x2

,且为周期函数，周期为2,而g(x)是分段函数,注意其图像共分为三部分,如图,可等共有9个交点,其中有一个易

错点,即其口1个交点为(1,0)很容易被遗漏.

【点评】要求〃(x)=/(x)-〃(x)在区间［-5,6］内的零点的个数，可转化为求/(x)与〃(x)交点的个数，

可以作出图形，观察图形易得交点的个数.本题体现了数形结合的思想,正是运用数形结合的思想方法解题的途径

中的以形助数.

【例21函数y=/(x)的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式;(工)：>八一.丫)十x.

【解】解法一：(以数助形)

由题意及图像，有“冷=，J17-0<x^1,

\\-yl\-x1-l<x<0

______________ow

(1)当0<xWl时，/(x)>q-x)+x得J-八2>—J_(T)2+x,解得0<X<咨；

(2)当一lWx<0时，得—4-工2>J_(T)2+x,解得—1WX〈一

・•・原不等式的解集为［-1,一务)U(0,

解法二：(数形互助)

由图象知/(x)为奇函数，・•・原不等式为/(x)>至，而方程/(幻=工的解为产土逋，据图像可知原不等

225

2j5

25

式解集为［-1,一

)U(0,

5)

5

【点评】本题以形看数(解式，奇偶性)，以数解形(曲线交点A、B),最后以形解数(不等式)，这才是

真正意义上的数形结合，扬长避短.

方法三分类讨论的思想方法

1.通常引起分类讨论的原因，大致可归纳为如下几点：

(1)涉及的数学概念是分类定义的；

(2)涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的;

(3)涉及题中所给的限制条件或研究定像的性质而引起的:

(4)涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的;

(5)涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的；

(6)一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的.

2.分类讨论的步骤•般可分为以下几步：

(1)确定讨论的对像及其范围；

(2)确定分类讨论的标准，正确进行分类；

(3)逐类讨论，分级进行；

(4)归纳整合，作出结论.

其中最重要的一条是“不漏不重”.学生必须对相关知识点或涉及的概念、定义、定理相当清楚，对于一些

结论成立的条件掌握牢固，这样才能在解题时思路清晰，才能知道何时必须进行分类讨论，而何时无须讨论，从

而可以知道怎样进行分类讨论.

【例1】(12年上海二模)点0(%/)是函数y二卜图像上的任意一点，点?(0,5)，则尸、0两点之

间距离的最小值是.

【答案】JTT

【解】①当二_1<0时，y=i_£_f+(y_5f=3一6)2-9.

y—6二±3时，即y=9或y=3，卜。|取最小值0,但f=2—2y都为负数，.••不成立；

②当二一120时,y=--[,+(尸5)2=3一4『+11.当丫=4时，彳0平最小值为综上

所述，p、。两点之间距离的最小值为JT.

【点评】由于题中给出的是绝对值函数，需要利用分类讨论的思想去掉绝对值，然后再求解.体现了数学

概念是分类定义的而引起的分类讨论.

【例2】设等比数列｛为｝的公比为夕，前〃项和S”>0(〃=l,2,3,L)，求9的取值范围.

【分析】在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q=l和qWl两种情况.

【解】Q｛凡｝是等比数列，且前〃项和£〉0(〃=l,2,3,L),

4=S]>0，且夕¥0

当q=1时，S„=fiai>0；

当qwl时，Sn=^^SL1>0,即W〉0(〃=l,2,3,L).

\-q\-q

上式等价于十八°①或卜八。②，

[1-^>0(\-q<0

由①得q>l,由②得一1<4<1,

4的取值范围为(—l,0)U((),+8).

【点评】本题正是分类讨论中运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的体现.

【例4】己知实数"0,函数/卜尸〈，2A若则叶的值为________,

[-x-2a,x>1.

【答案】-3

4

【解】首先讨论1一〃，1+4与1的关系.

当时，1-QC1，1+々<1，所以/(1-。)=-(1-4)-2〃二-1-〃；

/(1+«)=2(1+〃)+。=3。+2.

因为/(I—a)=/(1+a),所以—1—4=3〃+2，所以〃=—：；

当4Vo时，1一。>1，1+a>1»所以/(1一〃)=2(1-々)+。=2-a；

/(l+<z)=-(l+a)-2a=-3a-l.

因为/(1一〃)=+所以2-〃二一3。一1，所以〃二一j(舍去).

综上，满足条件的〃=-3.

4

【点评】本题的解题关键在于讨论1-4，1+4与1的关系，正是体现了数学问题中参变量的不同取值导致

不同结果而引起的分类讨论.

方法四概括归纳的思想方法

概括是在思维中将同一种类型的对像共同的本质属性集中起来，结合为一般类型的属性.归纳是一种逻辑型

的思维形状，是从几个特殊情形做出•般结论的不完全的属性.•类是性质和法则的归纳，如数列的基本性质，

对数运算的法则的归纳过程；另一类是解题方法的归纳，如向量在物理中的应用等；第三类是归纳猜想，如由表

格所给数据归纳几个连续奇数的和等.

【例2］在数列｛凡｝中，④=13,且前〃项的算术平均数等于第〃项的2〃-1倍（〃金N*）.

（1）写出此数列的前5项；

（2）归纳猜想｛/｝的通项公式，并用数学归纳法证明.

【分析】（1）利用数列｛凡｝前〃项的算术平均数等于第〃项的2〃-1倍，推出关系式，通过〃=2,3,4,5

求出此数列的前5项;

（2）通过（1）归纳出数列｛为｝的通项公式，然后用数学归纳法证明.第一步验证〃=1成立；第二步，假

设.n=k猜想成立，然后证明〃=%+1时猜想也成立.

/+生+"+L=(2〃-1)%，分别取〃=2,3,4,5,得

【解】（1）由已知©1

3n

11

a2=-Lt/|=—!—=-L»cix=­(a{+a->\=

53x515-14v-5x735

出二^（外+G+的）1白，—得8+牝+/+①

7x99x1199

1111

所以数列的前5项是:=一。2=--»。3=--4、=----

315356399

（2）由（1）中的分析可以猜想为=______!________（〃£N*）.

（2〃-1）（2〃+1）

下面用数学归纳法证明：

①当〃=1时，猜想显然成立.

②假设当〃=〃且左£N*）时猜想成立，即《二1

(2"1)(2"1)

那么由已知，得%+5士町+L+小+。和=QI+1即，

左+1

2

BPai+a2+a3+L+ak=(2k+3k)ak+i•所以(24Jk)4=(2k斗女)图+1，

即（2攵—l）4=（2攵+3）。川，乂由归纳假设，得（2左一1）------------=(2k+3)。4]»

(2%-1)(2左+1)

所以。用=-------!-------,即当〃=左+1时，猜想也成立.

（2八1）（24+3）

综上①和②知，对一切〃£N*,都有斯=-------!-------成立.

（2〃-1）（2〃+1）

【点评】本题考查数列的项的求法，通项公式的猜想与数学归纳法证明方法的应用，注意证明中必须用，

假设，考查计算能力，分析问题解决问题的能力.正是体现了概括归纳的思想方法.

方法五化归与等价变换的思想方法

在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题（相对来说，对自己

较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转换化归思想”.而转换

化归思想的基本原则就是：化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为己知.

1.利用转换化归思想解决数学问题时必须明确三个问题：

（1）把什么东西进行转换化归，即化归对像；

（2）化归转换到何处，即化归转换的目的；

（3）如何进行转换化归，即转换化归的方法.

2.化归与转化常遵循以下几个原则.

（1）FI标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化；

（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方

向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；

（3）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；

（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；

（5）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问

题获解.

3.转化与化归常用到的方法

（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.

（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幕等，把较复杂的函数、方程、不等式问题

转化为易于•解决的基本问题.

（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途

径.

（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.

（5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径.

（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径.

（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题.

（8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的.

（9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命

题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时

常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证.

（10）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A,而包含该问题的整体问题的结果

类比为全集U,通过解决全集L•及补集CcA使原问题得以解决.

化归与等价变换的思想方法所涉及到的具体问题很多很多，如果不断努力地用这种方法去解决•些数学问题

或数学范畴以外的问题时，往往会出现事半功倍的奇特效果.

【例1】设x、yWR且3%2+2y2=6x，求的范围.

【解】方法一：等价转化法（转化为函数问题）

由6戈一2^2=3%220得0WxW2.

设％=/+y2,则j/二人一工2,代入已知等式得：工2一6工+2忆=0，

即％=-1f+3x，其对称轴为x=3.

2

由0W》W2得左£[0,4].

所以所十刀的范围是:ow炉+y2W4.

方法二：数形结合法（转化为解几何问题）：

2

由3x2+2y2=6x得卜一1）二Z_=l，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点.f+/的范围就是

2

椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切

点.设圆方程为/+/=%,代入椭圆中消y得/_6工+2%=0.由判别式A=36—8左=0得〃=4,所以

f+F的范围是：

方法三：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）: