高中数学三角函数知识点总结版3

三角函数

1.①与a(0°<a<360°)终边相同的角的集合(角。与角〃的终边重合)：

{/?|〃=Ax36(r+dAcz}

②终边在％轴上的角的集合：加R="180°#ez}

③终边在y轴上的角的集合：\p\fl=kx\S0a+90\kez\

④终边在坐标轴上的角的集合：M/7="90°Mez}

⑤终边在尸轴上的角的集合：物|/?="180°+45°,Aez}

SINCOS三角函数他大小关系图

1.2、3、4表示第一、二、三、

四象限一半所在区域

⑥终边在y=T轴上的角的集合：物|力=AxI8(T-45Yez}

⑦若角a与角夕的终边关于其轴对称，则角a与角6的关系：a=366'k—B

⑧若角。与角尸的终边关于轴对称，则角a与角尸的关系：。=360"+180。-4

⑨若角a与角夕的终边在一条直线上，则角a与角夕的关系：。=180"+夕

⑩角a与角尸的终边互相垂直，则角a与角〃的关系：a=360%+/?±90°

2.角度与弧度的互换关系：360°=2^180。=乃1°=0.017451=57.30。=57。18'

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式：lrad="2°氏57.30°=57°18'.10=^^0.01745(rad)

n180

3、弧长公式：/=|a|•广扇形面积公式：,形="=夕研/

7.三角函数的定义域:

三角函数定义域

f(x)=sinr

f(x)=COSA-

f(x)=tan.v

x\xeR^x丰kn+—兀、keZ*

2

f(x)=COU{x|XG/?j_LxHk7T,kGZ)

f(x)=secx手冗+、冗、

XIxeRUxkkeZ*

12

f(x)=esex{x|XGHjJLr工k?r,ksZ}

8、同角三角函数的基本关系式：吆=tane*=cota

cosasina

tanacota=1cscasuia=Isecacosa=1

sin2cr+cos2a=1sec2a-tan2a=1esc2dz-cot2a=1

9、诱导公式:

把竺士M勺三角函数化为a的三角函数，概括为:

2

“奇变偶不变，符号看象限”

三角函数的公式：（一）基本关系

公式组一公式组二公式组三

sinx

siav,cscx=ltan.v=------sin'v+cos-jr=lsin(2^+x)=sinxsin(-x)=-sin.Y

cos.r

cos(2%乃+x)=cosxcos(-x)=cosx

cosx■2)

cos.v,sec.t=Icot.v=——1+tan^x=sec\rtan(2t^-+A)=tan.vtan(-,v)=—lan.r

cot(2k/r+x)=cotxcot(-j)=-cotx

taav•cotx=1I+cot*=csc-x

公式组四公式组五公式组六

sin(乃+x)=-sinxsin(2^-x)=-sinxsin(^-x)=sinx

cos(^+x)=-cosxCOS(2T-X)=cosxcos(^--x)=-cosx

tan(^+.v)=tanxtan(2^-x)=-tanxtan(^-A)=-tanx

cot(^+x)=cot.rcot(2^-x)=-cot.rcot(〃一尤)=-cotx

（二）角与角之间的互换

公式组一公式组二

cos（a十"）一cosacosq一sinasin0sin2a—2sinacosa

cos(6?-ft)=cosacos尸+sinasin0cos2a=cosa-sin«=2cosa-l=l-2sin~a

2tan<2

sin((z+fl)=sinacosP+cosasinP

l-tan2a

.a,11-cosa

sin(a-P)=sinacosfl-cosasinpsm—=±.-----------

2V2

c、tana+tanB1+cos«

tan(za+fi)=-----------------cosg=±.

1-tanatan02

/c、tana-tanZ7a,1-costtsina1-cosor

tan(a-/7)=-----------------tan一=±J-----------=------------=------------

l+tan«tan/72Vl+cosa1+cosasina

公式组三公式组四公式组五

sincrcos/?=g[sin(a+/?)+sin(a-/7)]J、

2tan-cos^/r-a)=sina

sina=-----------cosasinp="^[sin(a+/?)-sin(a-/7)]

,7a.A、

1+tan—(不一

2sin5a)=cosa

cosacos£=；[cos(a+⑶+cos(a-77)]

,2a

1—tan—7r-a)=cota

cosa=-----------—sincrsinp=[cos(a+/?)-cos(a-^)]

,2a\、.

1+tan-..0r•a+。a-pcos(^,r+cr)=-sma

2sma+sin/>=2sin―cos--------

2

a+B.a-(i

-a

2tan—sina-sin°=2cos--------sin--------tan(—乃+a)=-cota

222

(ana=--------------a+a-

cosa+cos£=2cos------cos.......-.A、

1-tan'-22sin(—+=cosa

2a+13.a-(3

cosa-cos=-2sin------sin.......-

22

,•tan75'=cot15=2+出

V6+V2

sin75=cos15

4

10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

y=4sin(ftiv+^>)

y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx

(A、>0)

定义域x|xe/?上Lr*kn+；ezl

RR{x|xeR且t工kT、kwZ]R

值域[-1,+U[-1,+URR

[-A,A]

周期性2/r247t乃2TT

(0

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当尹工0,非奇非偶

当0=0,奇函数

Q-%.(n.TC.\（人（2+1%）上为减函

局+2.，---+k兀，一+k兀

2⑹I22)数（AeZ）2kjr---(p

---------------⑷，

上为增函上为增函数G)

耳+25

数(XreZ)1

2KTT+一乃一夕

上为增函[2以，---------Z--------(-A)

(

数；3+1%]0

单调性上为减函上为增函数；

[-+2^,

2数“久

2K7T+----(P

（）---------2—(A),

y+2^]

co

c,3

上为减函2Qr+一万一。

--------2--------(-A)

数（&eZ）(0

上为减函数

（AwZ）

注意：®y=-sinx与y=sinx的单调性正好相反；y=-cosx与y=cosx的单调性也同样相

反.一般地，若），=/*）在伍,加上递增（减），则），=-/（1）在［4例上递减（增）.

②y=|sin,r|与旷=|COS的周期是;T.

③丁=sin（@x+0）或y=cos（air+°）（。/0）的周期丁=广.

H

y=tan也的周期为2乃5=±=T=2兀'如图，翻折无效）.

2M

④产sin（@r+0）的对称轴方程是工=+］（kwZ）,对称中心（及",0）;y=8s（ftK+8）的

k7T

对称轴方程是x=k兀（keZ）»对称中心（人,乃+。0）;y=lan（3r+°）的对称中心（——,0）.

22

y=cos2.r—>y=一cos（-2x）=-cos2x

⑤当lana-tanp=1,a+/?=攵乃+―（AeZ）；tana-tan/?=-l,a-。=kn+—伏eZ）.

22

⑥y=cosxVy=sinx+[+2&;r）是同一函数，而y=（以+。）是偶函数，则

y=（on，+9）=sin（5+%乃+：江）=±cos/）•

⑦函数y=tanx在R上为增函数.（x）|只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，

y=tanx为增函数，同样也是错误的］.

⑧定义域关于原点对称是AP具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定

义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：八-幻=/0），奇函数：

/（-r）=-/（r））

奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y=lanx是奇函数，y=tan（x+』;r）是非奇非偶.（定

义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若Oex的定义域，则/（用一定有/（0）=0.（0EX的定义域，则无此性

质）

⑨丫=sinW不是周期函数；y=kin可为周期函数（7=不）；

yygriBI象

旷=8剃是周期函数（如图）；y=|cosA|为周期函数（7=万）；

y=cos2t+1的周期为"（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

-,2

丁=/（x）=5=f（x+k）,kwR.

®y=acoaa+bsinfi=y］a2+h2sin（«+（p）+cos（p=—有da2+b，之|［.

a

11、三角函数图象的作法：

1）、几何法：

2）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲

线）.

3）、利用图象变换作三角函数图象.

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.

函数y=Asin（3x+'p）的振幅|A|,周期/=红，频率「-1=应!，相位如+夕初相°

㈤T2万

（即当x=0时的相位）.〔当A>0,to>。时以上公式可去绝对值符号），

fhy=sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|>1）或缩短（当0V|A|

<1）到原来的|A|倍，得到y=Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.（用y/A

替换y）

由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0<|^|<1）或缩短（|^|>1）

到原来的Ji倍，得到y=sinsx的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.（用ax

（0

替换X）

由y=sinx的图象上所有的点向左（当（p>0）或向右（当（p<0）平行移动I（pI个单位,

得到y=sin（x+（p）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.（用x+（p替换x）

由y=sinx的图象上所有的点向上（当b>0）或向下（当b<0）平行移动IbI个单位,

得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.（用y+（-b潜换y）

由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin（ux+（p）（A>0,<o>0）（x£R）的

图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区

别。

4、反三角函数：

函数y=sinx,1J」江口的反函数叫做反正弦函数.记作y=arcsinx,它的定义域是［—1,

1］,值域是「_色£.

L212.

函数y=cosx,（x£［0,〃］）的反应函数叫做反余弦函数.记作y=arccosx,它的定

义域是［-1,门，值域是［0,刀］.

函数y=taiu-，［的反函数叫做反正切函数,记作y=arclanx,它的定义域是（一

8,十8）,值域是

函数y=ctgj,（0,开）］的反函数叫做反余切函数，记作y=arcctgx,它的定义域

是（-8,+8）,值域是（0,JI）.

II.竞赛知识要点

一、反三角函数.

1.反三角函数:⑴反正弦函数y=arcsinx是奇函数，故arcsin（-^）=-arcsinx»xe［-l,l］（—

定要注明定义域，若xw(-oo,go)，没有工与y一一对应，故丁二5皿/无反函数)

注：sin(arcsinr)=»xe[-1,1]»arcsinxG--•

.22_

⑵反余弦函数y=arccosr非奇非偶，但有arccos(~x)+arccos仅)=4+2我乃，xe[-L1].

注：@cos(arccosr)=x».vG[-1,1]»arccosxG[o,4

②丁二^^大是偶函数，y=arcco*r非奇非偶，而y=siny=arcsinx为奇函数.

⑶反正切函数：y=arctanx，定义域(一oo,+8),值域(一工二)，y=arctanx是奇函数，

22"

arctan(-A)——arctanx»X€(―8,十oo).

注：lan(arctan.v)=x»xe(-oo,+oo).

⑷反余切函数：y=arccotx»定义域(-co,+8)，值域(-l，])，>=4-ccotx是非奇非偶.

fl/ccot(-x)+«/ccot(x)=方+2k兀,xe(—oo,+oo).

注：①cot(an?cotx)=x»xe(一co,+8).

②y=arcsinx与y=arcsind-x)互为奇函数，y=arctanx同理为奇而y=arccosx与尸mrcotx

Ih奇非偶但满足arccos(-jr)4-aiccosx=乃+2k冗,xe[-l.l\(nvcotx+an?cot(-x)=4+2k4、AG[-I,1].

⑵正弦、余弦、正切、余切函数的解集:

”的取值范围解集“的取值范围解集

①sinx=a的解集②cosx=a的解集

>10H>10

同=1