高中数学必修二第六章平面向量的概念知识点总结及练习

知识点一向量的有关概念

名称

向量既有大小乂有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度（或称模）

哥向里长度为零的向量叫作零向量，其方向是任忌的，零向量记作0

年K卢应特等丁于1公1半曲似佶的tfJ向lRj史里__________________________________________________

表示两个向量的有向绿能所在的百线平行寸声合，则汶南个向量口1」作平行向品，平

平行向量

行向量又叫共线向量.规定：0与任二而塞甫

相等向量长度相等且方向相同的向量________________________________________________

相反向量长度相等且方向相反的向量

--------

易误提醒

1对于平行向量易忽视两点：（1）零向量与任一向量平行.（2）两平行向量有向线段所

在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件.

2单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制.

［自测练习］

1.若向量a与b不相等，则a与6一定（）

A有不相等的模B.不共线

C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量

解析：若a与b都是零向量，则a=b,故选项C正确.

答案：C

2.若mim,nnk,则向量m与向量k（）

A.共线B.不共线

C.共线且同向D.不一定共线

解析：可举特例，当n=0时，满足miin,niik,故A,B,C选项都不正确，故D

正确.

答案：D

知识点二向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

⑴交换律：a

/+b=b+a；(2)

三角形法则

加法求两个向量和的运算结合律：(a+

b)+c=a+(b

a

+。

平行四边形法则

求a与b的相反向显

减法-b的和的运算叫作XVa-b=a+(-b)

a与b的差三角形法则

入(呵=(入旧；

（l）|Aa|=|A||a|；

(A+p)a=Aa+p

求实数人与向量a的⑵当人＞0时，Aa的方向与a的方

数乘a；入(a+b);入a

积的运算向相同；当入＜0时,入a的方向与a

+入b

的方1可相反；当人二0时，入a=0

--------1iff卬----------------

1.作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点.

2.数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数.

［自测练习］

3.已知在AABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是（）

A.Afe+At=BtA61一上一

B.=BC+DA

2

C.At＞-Dt：=AtD.2Cfe+BA=CA

解析：本题考查向量的线性运算.A错，应为油+碇=2^B1-+一.

；错，应为BC+DA-

2

Bt)+DA=BA；c错，应为At=4)+DC；D正确，2Cb+BA=故选D.

答案：D

知识点三共线向量定理

向量a(a/O)与b共线的充要条件是存在唯一个实数入，使得b=Aa.

易误提醒

1在向量共线的重要条件中易忽视"awO",敌叭可能不存在，也可能有无数个.

2要注意向量共线与三点共线的区别与联

系.必记结论三点共线等价关系：

A,P,B三点共线=用二Mfe0HO)o》=(l-t)(5X+tO&O为平面内异于A,P,

B的任一点，teR)^OP=xOA+yOfe(O为平面内异于A,P,B的任一点,xeR,yeR,

x+y=l).

［自测练习］

4.已知a与b是两个不共线向量，且向量a+入b与-(b-3a洪线，则人=.

解析：由题意知a+Ab=k［-(b-3a)］,

1

-匕v卜一3'

所以1:3匕解得-1

〔入=-3

1

答案：・

3

考点一向量的基本概念|

自主探究

nyuuYAMJIU

1.已知a,b,c是任意向量，给出下列命题：

［题组训练］

①若diib,biic,则aiic;

②若aub,则a,b方向相同或相反；

③若a二・b,则|a|=|b|；

④若a,b不共线，则a,b中至少有一个为零向量,其中正确命题的个数是()

A.4B.3

C.2D.1

解析：按照平面向量的概念逐一判断.若b=0,则①②都错误；若a=-b,则同=|b|,

③正确；若a,b不共线，则a,b中一定没有零向量，④错误，所以正确命题只有1

个.答案：D

2设a,b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使£+也=0成立的是()

A.a=2bB.anb

1

ca=-bD.a±b

3

ababb

解析：由.+卜=。得.=-卜，0，即a二-1|a|#0，则a,b共线且方向相反，

立山口成百

ab

因此当向量a,b共线且方向相反时，能使.+八二0成立.对照各个选项可知，选项A

h口

中向量a,b的方向相同，选项B中向量a,b共线，方向相同或相反，选项C中向量a,

b的方向相反，选项D中向量a,b互相垂直，故选C.

答案：C

_______dn目41＞广二71日击击Y:+hJfc_______

二/天I可望的假念1口」越业天汪±L总I

»戏存方法

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递

性.(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

(4)向量可以平移，镌后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象

移动混为谈.

（5）非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量.

Hrr

考点二平面向量的线性运算I合作探究

Hczuovanjiu

［典题悟法］

⑴设D为"BC所在平面内一点，Bt=3CbzRiJ()

闻

AD1-4—

A.=-AB+AC

33

Ab1一4一

B.=AB-AC

Ab4一1-

C.=AB+AC

33

At)4T1一

D.=AB-AC

33

［解析］由题意得耶二At+Ct)=碇1Bt=At+171%故选

11111

A.

［答案］A

⑵（2022・东北三校联考（二））已知在“XBC中，D是AB边上的一点，若瓦）=2的,Cfe

1-=

=CA+ACB,则入=.

3

［解析］因为近)=2元E=七？+入晶，删3=CA+At)=CA+%=6+：诙

'33~3

CA1一2一2

-)=.A+$B,所以人二§

2

［答案］3

»戏行方法

平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合平行四边形法则.

(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；

I求首尾相连向量的和用三角形法则.

〔演练冲关〕

1.设。为&ABC内部的一点，且OA+Ofe+2Ot=0,则△AOC的面积与小0(：的面

积之比为()

35

A.、B.

23

C.2D.1

解析：取AB的中点E,连接0E,则有+20t=2(量+Ot)=0,0fc+0t=

0,所以E,0,C三点共线，所以有AAEO与ABEO面积相等,因此△AOC的面积与ROC

的面积之比为1,故选D.

答案：D

考点三共线向量定理的应用|

合作探究

UCJTUOTAhJiU

设向量a,b不平行，向量入a+b与a+2b平行，则实数入=.

［典题悟法］

鼎号由于入a+b与a+2b平行，所以存在pwR，使得Aa+b=|j(a+2b),即(入-p)a

pbabAppAp

+(1-2)=0,因为向量，不平行，所以・=01-2=°，解得二:•

1

［答案］2

»戏行方法

1.共线向量定理的应用

(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值.

⑵若a,b不共线，则入a+pb=O的充要条件是入=M=0,这一结论结合待定系数法应

I用非常广泛.

|2.证明三点共线的方法

若油二诋，则A、B、C三点共线.

2.设两个非零向量4和q不共线.〔演练冲关］

⑴如果油二e-e,Bt=3e+2e,Ct)=-8e-2e，求证：A,C,D三点共线;

121212

(2)如果油=e+e,Bt=2e-3e，4=3e-，且A,C,F三点共线，求k的

ke

121212

值.

解：Q)证明：Afe=e-e,Bt=3e+2e,

1212

/.At=Afe+Bt=4e+e,

12

又E二-8e-2e,

12

.•.Cb=-2碇，.•・宿值线.

又•「双与0有公共点C,/.A,C,D三点共线.

(2)/Afe=e+e,BC=2e-3e,

1212

/.At=A&+Bt=3e-2e.

2

•.A,C,F三点共线.

・•衣।屈，从而存在实数入，使得At二人瓯

/3e1-2e2=3入e】・Xke2,

又e-e2是不共线的非零向量，

13二3人因此k=2,•.实数k的值为2.

Ak

1-2二-，

13.方程思想在平面向量呈线性运算中的应用

【典例】如图网，在SB。中，风乐，g=1瓦AD与

42/

BC相交于点M,设OA=a,Gb=b.试用a和b表示向量加1.户、、

［思路点拨］⑴用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领鱼最可能地

转化到平行四边形或三角形中去.

(2)既然皿能用a,b表示，那我们不妨设出=ma+nb.(3)

利用向量共线建立方程，用方程的思想求解.

［解］设而l=ma+nb,

贝！=OK/1-0A=ma+mb-a=(m-l)a+nb.

Ab=Ob-OA=1^-Ta1

b

n0B0A=-+

22

又「A,M,D三点共线，二邱4与宙洪线.

••・存在实数t,使得扉/I=tAb,

（1、

&P（m-i）a+nb=t|-3+-

1

manbta

+Jtb

・・•(-1)+

2

m-1=-1,

t消去t得，m-l=-2n,

n,

即m+2n=l.（i）

1/n

又d=（5K/1-0t=manbma+nb,

+-a=-

4l町

1

cfe=ob-otbla

a

=-a=_+b.

又「C,M,B三点共线，

.•.6与诙共线.

.・存在实数t，使得E二tCfe,

Jm・4+nb=11'・a+b|,

（夕I4J

11

ni___

..J4；Jti'

〔n二q

消去1得，4m+n=l.②

13rl3

由①②得m=,n=,.".Olv1=a+o.

TZZZ

［方法点评］Q）本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定

的难度.（2）易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解.（3）数形结合思

想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有"形”的量，因此在解决向量有

关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与

技巧.如本题易忽视A,M,D三点共缭口B,M,C三点共线这个几何特征.（4）方程思想

是解决本题的关键，要注意体会.

［跟踪练习］如图，SBC中，GA+Gfe+Gt=0,CA=a,Cfe=b.若于=ma,g=

nb,CGnPQ=H,C&=2CA11

，则一+一二

mn

解析：由GA+战+Ct=0，知G为"kBC的重心，取AB的中点D（图略），则Cfl-

2

11111111

=-CD=_（CA+CB）=_CP+_CQ,由P,H,Q三点共线，得一+_=1,贝二+_=

366m6n6m6nmn

6.

答案：6

课时跟踪检测

A组考点能力演练

1.关于平面向量，下列说法正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.平面内的单位向量是唯一的

C.方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量

D.共线向量就是相等向量

解析：对于A,零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B,单位向量的

模为1,其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C,方向相反的向量一定是共线向量，共

线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D,由共线向量和相等向量的定义可知

D不正确，故选C.

答案：C

2.已知0,A,B，。为同一平面内的四个点，若2靠+说=0,则向量E等于（）

2112

A.-OA--0BB.-6+0B*

3333

c.2oA-ohD.-0A+20b

解析：因为所以2At+CB=2(Ot-0A)+(0b-0t)

=ot-2(5X+ob=o,所以Ot=2OA-份，故选c.

答案：c

3.已知在&ABC中，M是BC的中点，设诙=a,cA=b,则鼐1=()

11

A.a-bB.a+b

22-

11

C.a-bD.a+b

22

解析：鼐1二碇+E=-CA々b1

+CD=-+a

2-2

答案：A

4.(2022海淀期书如图所示，在SBC中，D为BC边上的一点，

且BD=2DC,若戒=m油+nAb(m,nwR),贝ijm・n=()

A.2B.-

2C.1

D.-1

解析：At=A6+Bt=Afe+Bt)A6At)-Afe)=-Afe+，贝Umn

AD

2=+乂22

3

mn

=2*所以-=-2.—————

答案：B

1

ababatbab

5.若，是两个不共线的非零向量，与的起点相同，已知，，J十:三个

向量的终点在同一条直线上，则t=()

11

A.-B.-5.2D.-2

解析：g二a,加用黄二%居，则碇="风1+±府二亩.

333

0A=ta-a.要使A,B,C三点共线，只需At=Mfe即-a+：b=Mb-Aa即可，又a,

33

,二.当三个向量的终点

b是两个不共线的非零向量，.二解得《3

在同一条直线上时，t二

答案：A

6.（2022・长沙一模）在矩形ABCD中，。是对角线的交点，若就=5e,Dt=3e，则

.（用e,e表示）

—-1rr1一

解析：跌形ABCD中，因为。是无愧线的交点，所以OC4,ABAD,DC

=-ALr.=4-+）=4

222

r1

Btee

+丐5】+3J

1

答案：450+3%）

2

7.已知向量J,e2是两个不共线的向量，若a=2气-5与b=4+入三共线，则入=

x=2,

解析：因为a与b共线，所以a=xb,故人二-

Xx=-1,

1

答案：・_

2

&已知点G是SBC的外心，6,品，R是三个单位向量，且

2GA+A6+At=0,如图所示,aABC的顶点B,C分另IJ在x轴的非负

半轴和y轴的非负半轴上移动，。是坐标原点，则|。小的最大值为

解析：因为点G是3BC的外心，且2部+硝+碇=0,所以点G是BC的中点，△

ABC是直角三角形，且/BAC是直角.又GA,Gfe,Gt是三个单位向量，所以BC=2,又

△ABC的顶点B,C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动,所以点G的轨迹是以

原点为圆心、1为半径的圆弧.又|GA|=1,所以当OA经过BC的中点G时，|。可取得最

大值，且最大值为21GAi=2.

答案：2

9.已知a,b不共线，OX=a,Ob=b/Ot=c,Ob=d,Ot=e,设teR,如果

3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上？若存在，求

出实数t的值，若不存在，请说明理由.

解：由题讲口，E=d-c=2b-3a,a=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条

直线上的充要条件是存在实数k,使得Ct=kCb,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,

整理得(t・3+3k)a=(2k・t)b.

ft-3+3k=0,

因为ab不共线，所以有4l

因为'[t-2k=0,

6

解之得=.

5

6

tCDE

故存在实权=偿，，三点在一条直线上.

10.设。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足6二办+

■0

，入e[0,+8）.求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点：

A

MAfel|At|J

①△ABC的外心；②△ABC的内心;③SBC的重心；④△ABC的垂心.

一冲一碇一一

解：如图，记AM=AN=则AM,AN都是单位向量，

IABl|AC|

）

•.oP=oA+Af,由条彳牛知

而二入尿2（入w[0,+8））,

••点P的轨迹是射线AQ,且AQ通过SBC的内心.

B组高考题型专练

1.）设口/，F分别为AABC的三边BC,CA,AB的中点，则/+试=（）

A.BtB.AD

2

1

C.At)D.BC

2

一T一「-I--(I、

解析：设AB=a,AC=b,则EB=・b+a,FC=-a+b,从而EB+FC=|-b+a|