高中数学导数练习题附答案

高中数学导数练习题附答案

一、解答题

1.已知函数/(x)=xlnx-x,^(x)=fzlnx-x2+l.

⑴求函数/⑺的最小值;

⑵若g(x)KO在(0,+巧上恒成立，求实数〃的值；

(3)证明：J铝—盛>2023，e是自然对数的底数.

I

2.已知/(x)=---(/”w0),g(x)=xex——ax2-ax(awR)

x2

⑴当x>0时，讨论/(x)的单调性;

⑵若m=-g,对％£［1,+8),与£［。,田0,使得g(w)>/(xj恒成立，求Q的取值

范围.

3.已知函数/(x)=xln.v-av+6/.

⑴若人之1时，/(刈大0恒成立，求a的取值范围：

⑵当a=1,0<〃<1时，方程/a)=〃有两个不相等的实数根不天，求证：中2VL

4.已知函数/(x)=alnn+x2-(4+2)x,其中aeR

⑴讨论函数/⑴的单调性；

⑵若函数/⑴的导函数/'(X)在区间(Le)上存在零点，证明：当工«l,e)时，

/(x)>-e2.

5.已知〃工)二中

⑴若外可在x=3处取得极值，求/(%)的最小值；

⑵若对工«1,十力)恒成立，求。的取值范围.

6.设函数/。)=1|1(工+1)+4任7),其中awR.

⑴。=1时，求曲线)，=f(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

⑵讨论函数/("极值点的个数，并说明理由；

⑶若Vx>OJ(x)..O成立，求。的取值范围.

7.已知函数/(x)=；x2-(a+a2)x-a+/liu.

⑴若。=1,求/(X)在［1.2］上的值域;

(2)若万io,讨论/⑴的单调性.

8.已知函数/(x)=(x+3(e'i)仅>0)在处的切线方程为

(e-l)x+ey+e-l=0.

(1)求a,b的值；

⑵若方程“力=，〃有两个实数根N，9，

①证明：心-g；

②当〃?<0时，人-西|>痴+1是否成立？如果成立，请简要说明理由.

9.已知函[数/'(%)=e'-/〃(％+1)2(ine/?,e«2.7I8).

⑴选择下列两个条件之■：①〃一;；②，〃=1,判断在区间(。，e)上是否

存在极小值点，并说明理由；

(2)已知心0,设函数#(x)=/(x-l)+/ndn(〃2.若g(x)在区间(O.+oo)上存在零

点，求实数m的取值范围.

10.已知函数小)=.：了-2(〃〉o).

⑴判断了(”的单调性；

⑵若对％，W«1，2],不等式|/(%)_/(七)归之恒成立，求实数机的取值范围.

e

【参考答案】

一、解答题

1.(1)-1

⑵2

⑶证明见解析

【解析】

【分析】

(1)求导求单调性即可求解；

(2)g，(x)="l(x>0),分类讨论单调性得到月(x)3=?n£-£+l,

X乙乙乙

要使屋上。在(。，+8)恒成立，则8(力小。，即郛»皿

又由(1)可得到泉n£-3+降°，所以守n£-5+1=0,即可求解；

JJJ乙乙乙

(3)由(2)知8(戈)=21134/一1得到]nfWf-],所以InYf-l,

所以c'N,r+1,即/>山，代入证明即可.

n

⑴

/(x)的定义域为(o,y),

/'(x)=lnx,当x«OJ)时，/VXO,当xe(l,E)时，/'(x)>0,

故/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,内)上单调递增.

所以/(x)加//⑴=7・

⑵

g,(x)=--2x=a2a(-^>0)»

XX

当心0时，g〈X)<0,g(x)在(O.+e)上单调递减，

此时存在劣«0,1),使得g(/)>g⑴=0,与题设矛盾.

rf

当。>0时，X£(O,收时,g(x)>ofX喑,+8)时，g(x)<of

故g")在(0,他)上单调递增，在(谷,+00)上单调递减，

所以g(xL=g|^f=如//+1=软吟一%1,

要使g(x)K。在(。,+8)恒成立，则gO“<。，即£n»iw0

又由(1)知/(x)=xlnx-xN-l,即xlnx-xN-l,(当且仅当x=l时，等号成

立).

令工=1有葭呜一冲"，故守n河+1=0且？=1

所以"=2.

⑶

证明：由(2)知g(x)=21nx«/-l得infKf—i［当且仅当x=l时等号成立)，

令x=，(f>0),则hW-l(当且仅当f=l时等号成立)，

令f=e%所以IneYe'-l,即e-x+l(当且仅当x=0时等号成立)，

令％=，＞()(〃wN),则胸＞，+1=^^

nn

23420222023

从而有8—0题・e近〉—X-X—X・・・X-----------X------------

12320212022

所以谢+苑>2023.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要

的知识点，

对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的儿何意义，往往与解析几何、微积分相联系.

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.

⑶利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思

想的应用.

2.(1)答案见解析

⑵S,e)

【解析】

【分析】

(1)求出函数的导数，根据导数的正负可求出函数的单调区间，

(2)将问题转化为屋叫〉〃”…而/")…川)=兰，所以问题再转化为

然后分小)，和”1三种情况求解g。)的最小值即可

(1)

由/(幻="1(〃7工0),得八x)='m«—l).

Xx~

①/〃>0,当Xe(0,1),r(x)<0,/(x)单调递减；

当xe(1,+00)/(x)>0,/(x)单调递增.

②加<0,当xe(0.1),/'(x)>0J(x)单调递增；

当xe(1,+oo),/Xx)<O./(.v)单调递减.

(2)

依题意得g3mm>"x)3J")=-f；，•二/'(X)=TU，

即当xe[l,+00)时，f\x\<0J(x)单调递减,

^,(x)=eA(-v+l)-^-v-«=(-v+l)(eA-«)(x>0).

1)当aKO时，ex-r/>0,・•・在上，g'。)>O，g(x)单调递增，

g(X)min=&(°)=°>一"|恒成立.

2)当a>0时，令g'(x)=O,则得内二-1,%2=lna,

①当0<aWl时，InaWO,/在[0,+oo)20.g(x)单调递增，

.**gC%=g(0)=0>~|恒成立.

②当a>1时，lna>0.

当xw10,In〃)时，,5)<0,g(x)单调递减；

当xe(Ina,+8)时，g\x\>0,g(.r)单调递增.

・・・g(x)min=g(lna)=In4•eln<,一;a(lna)2-a\na=一gaQna)2.

-ga(lna)2>-］恒成立，即“(Inaf<e恒成立.

令lna=/,则々=心・，・“(Ina)?=,令火7)=/e(>0),

I.33=(2汨+re')=te'(2+f).

当/e(0,IQO)时，当才)>0,夕”)单调递增,且夕⑴=e,

t<1,即Inavl.

综上所述a的取值范围为(-8，e).

【点睛】

关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查

利用导数决不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为g(AL,>-］，然后

利用导数分情况求解且⑴的最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难

题

3.⑴(fl］.

⑵证明见解析

【解析】

【分析】

(1)x21,f(x)>()<=>Inx-«+->0,设g(x)=lnx-a+g(xt1),求导得

xx

分与”1两类讨论，即可求得a的取值范围；⑵当。=1

x.r厂

时，方程有两个不相等的实数根4,演，不妨设石气，则。<玉<1<3

要证中占<1,只需证而〃%)=/(左)，只需证明/.($)<”;)，再构造

函数，设尸=〃3(0<工<1),通过求导分析即可证得结论成立.

X

⑴

vx>l,/(x)>0,gp\nx-a+—>0,

x

gg(x)=Inx-«+-(x>1),当时，g'(x)>0,

x-vx-x-

・•.以处在口”)上单调递增，「.以外之以1)=0,满足条件；

当a>l时，令(*)=0,得x="，当iWxva时，/。)<。；

当时，g*)>0,."*)在区间上单调递减，在区间射向)上单调递增,

・•・g(x)min=g(4)=ln〃-a+l,••.g(a)<g⑴=0,与己知矛盾.

综上所述，O的取值范围是(—,1].

(2)

证明：当〃=1时，/'(x)=lnx,则/⑶在区间(0J上单调递减,

在区间口,y)上单调递增，由方程八月=〃有两个不相等的实数根小电,

不妨设％<与，则o<芭<1<刍，要证为飞<1,只需证

・・•/(X)在区间山内)上单调递增，只需证)<f(-)

x\

又〃N)=/(&),.•・只需证明/(%)</(=),设2")=/(%)-/d)(0vxvl),

xlX

则F\x)=Inx-!Inx=工」lnx>0,，F(x)在区间(0,1)上单调递增，

x~x~

.■.FU)<F(1)=O,/(x)-f(-)<0,即/区)</(-)成立，

二原不等式成立，即内入<1成立.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中

重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数

的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区

间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极

值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.

4.(1)答案不唯一，具体见解析

⑵证明见解析

【解析】

【分析】

(1)求出函数的导数，通过讨论。的范围，解关于导函数的不等式，求出函数

的单调区间即可；

(2)根据导函数在(I,，)上存在零点，则/。)=。在(14)上有解，则有

即2<"2e,得到函数/⑶的最小值，构造函数g(x)=xlnx-工-(l+ln2)x,

4

2<x<2e,利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证.

⑴

函数M的定义域是9+8),(A)=@+2、-5+2)=(2…)d),

XX

①a,0时,2x-a>09令/'*)>(),解得：%>1,令/'。)<0,

解得：0<x<l,故〃x)在(0,1)递减,在(1,y)递增;

②0<"2时，令广。)>0,解得：工>1或()口昔，

令八x)<。，解得：^<-v<l,

故小)在(呜)递增，在(对递减,在…)递增；

③"2时，r(x)..O,/3)在(0,+8)递增；

④”2时，令八x)>0,解得：**或Ocvl,

令八幻<0,解得：

故/㈤在(0,1)递增,在(闾递减,在9+00)递增;

综上：“，0时，/(幻在(0,1)递减，在(1，位)递增，

0<"2时，Ox)在(0马递增,在gl)递减,在Q,xo)递增:

a=2时，/3)在(0,+8)递增；

a>2时，在(0,1)递增,在(⑶递减，在g”)递增；

⑵

因为/'(幻=色+泣_(〃+2)=吐皿心,

XX

又因为导函数/'")在(Le)上存在零点，所以八x)=0在(Le)上有解,

则有Iv3ve,即2<〃<2e,

且当l<x<g时，rax。，/(、)单调递减，

2

当自…时，r(A)>o,/*)单调递增，所以

〜、(a).aa2a.…a2,…

f(x)../rI-I=6/In-+---(a+2)=6/tIn«--"Z(11+In2)a,

设g(x)=xlnx—-一(1+In2)x,2<x<2e,则

4

g\x)=lnx+l---(l+ln2)=lnx---In2,则=---<0,

22x2

所以g'Cr)在(2,2e)上单调递减，所以g(x)在(2,2e)上单调递减，

贝lj^(2e)=2e//i2e-e2-2e(l+ln2)=-e2<g(2),

所以g(x)>-e2,则根据不等式的传递性可得，

当xe(l,e)时，/(x)>-e2.

【点睛】

本题考查利用导数表示曲线上某点处的斜率，考查函数的单调性，考查导数的

综合应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.

5.(1)-2^

⑵…)

【解析】

【分析】

(1)先求得函数的导函数，然后利用极值的必要条件求得。的值，进而判定导

数的正负区间，得到函数的单调性，然后结合左右两端的极限值与极小值，求

得函数的最小值；

(2)分离参数得到对于任意工力,”)恒成立.构造函数，利用导

数求得不等号右侧的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数。的取值

范围.

(1)

・・・/(6=£^,・・.r(x)=

(那

・・・/(力在X=3处取彳导极值，7(3)=-3=2：3-Jo,.・.〃=3,

e

・r/\丁―3,，/\x~—2x-3(x+l)(x—3)

・・/(”=--，/(x)=------>—=------1-------，

eee

当*<—i时，r(A-)<o;当-ivxva时，r(x)>o;当x>3时，r(x)<o.

・・・/(外在(-8,-1］上单调递减，在［T3］上单调递增，在［3,”)上单调递减.

又・・•当x>3时,/(x)>0,/(-l)=-2e<0,

，/(工)的最小值为-2e.

⑵

由己知得'Wx-\<^a>x2-(A-l)ev对于任意x寺,+8)恒成立.

e

g(x)=x2-(x-l)cx,则g'(x)=2x-;vc*=M2-C')，

在％之1时,g(r)=x(2-/)<0,所以函数g(4)在XN1时上单调递减,

所以=M⑴=1,

所以。的取值范围是［1，内).

6.⑴3x-2)，+21n2-3=O

⑵当“<0时，函数有一个极值点；

当S时，函数无极值点；

Q

当时，函数/(%)有两个极值点.

⑶叫

【解析】

【分析】

(1)将。=1代入函数/⑴中，得出函数人幻的解析式，进而可以求出切点坐

标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；

(2)根据已知条件，对。进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数

极值的定义即可求解；

(3)根据Tx>OJ(x)..O成立，转化为Dx>OJ(x)而「°即可，再利用第(2)的

结论即可求解.

(1)

当々=1时，/(x)=ln(A+l)4-x2-x

/(l)=ln(l+l)+l2-l=ln2,所以切点为(l』n2),

3

2

所以曲线)，=〃x)在点(1J⑴)处的切线的斜率为4=*1)=|,

所以曲线y=在点U/n2)处的切线的斜率切线方程为

y-ln2=1(x-l),g|J3x-2y+21n2-3=0

(2)

由题意知函数f(x)的定义域为(T位),

r(”)=±+a(21)=2cix2+ax-a+l

人I1x+\

令g(x)=2^24-ttr-tz4-l,xe(-l,-Ko),

(i)当。=0时，r(x)=】>。，函数在(fy)单调递增，无极值点

(ii)当。＞0时,△=*-8),

①当0<若时，A<0,^(x)>0,.r(x)>0,

所以函数外”在(fy)单调递增，无极值点;

②当心看时，A>0,

设方程20y+]=0两根%/小=〃,9〃28.=+

4a4a

此时占<占

vx1+x2=-1,.\x1<-,A2>-^(-1)=1>0,.\-1<^<--^

.”£(-1,口(文2，y)时，g(x)>o"'(x)>o,函数/(X)单调递增;

XG(4，电)时，g(x)<0,广(戈)<0,函数/(x)单调递减.

二函数有两个极值点;

③当"0时，A=«(9f/-8)>0,

设方程纭+……。两根三土尹

此时%

vg(-l)=l>0,.\x2<-l<X]

芭)时，g(K)>0，r(x)>0,函数/(x)单调递增；

x«苦,+co)时，,g(x)<0/(x)<0,函数fW单调递减.

.•・函数有一个极值点；

综上所述；

当〃<0时，函数/W有一个极值点；

Q

当时，函数小)无极值点；

当。时，函数“X)有两个极值点.

⑶

由Vx>OJ(x)..O成立等价于VQ()J(.%/0即可.

①当04aq时，函数”“在(0,3)上单调递增，

v/(0)=0,.-.xe(0,-Ko)^,/(x)>0,符合题意；

②当3agi时,由g(0)>0,得20,

函数/(x)在(。，+°°)上单调递增，

又/(0)=0,.•/«(),y)时，/(x)>0,符合题意；

③当。>1时,由g(u)<u,得巧>0

时，/(%)单调递减，

•."(0)=0,.”«0,占)时.f(x)<。时，不合题意；

④当4<0时，设〃(x)=x-ln(x+l),

vxe(0,-Ko),时，//(%)=!--2=—^>0,，/2(工)在(0,+<»)上单调递增.

人I1人1

.,.当xw(0,2)时，/z(x)>//(0)=0,gpln(x+l)<x,

可得+(1-«)%,

当时，加+(1-。卜<0,此时/(x)<0,不合题意.

综上，〃的取值范围是［0,1］.

【点睛】

解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对

参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要

将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解.

7.⑴--3+In2；

⑵答案见解析.

【解析】

【分析】

⑴代入。=1,求/(x)导数，根据导数判断/(x)在［1,2］上的单调性即可求其值

域；

⑵根据a的范围，分类讨论/(x)导数的正负即可求/(x)的单调性.

(1)

0=1,则-2x-l+Inx,x>0,

广(x)=x-2+L..o,

XXX

•・.f(x)在(0.E)单调递增，.・.胆)在［L2］单调递增,

A/(A-)e［/(i),/(2)］=-|,-3+ln2,

即/(x)在［1,2］上值域为-■|,-3+ln2；

(2)

/八223

2x-(a+a)x+a

f(X)=x-(a+a］+—=—------』----=----&1、x>0，

\7XXX

2

/'(x)=0=Xi=〃，x2=af

/-aw0=a±0且awl,

1)当a>l时，a1>a>\i

0<x<a或时，r(x)>0,单调递增，

a<xva2时,r(x)<0,/(x)单调递减；

2

②当0<4<1时，0<a<a<\f

0<x〈/或时，，(x)>0,f(x)单调递增,

时，/r(x)<o,单调递减；

3,当a<0时，a2>0>a.

Ovxv/时，r(x)<0,/(x)单调递减，

x>〃，/(力>。，/(X)单调递增；

综上，当“<。时，/(X)在(0"/)单调递减，在(。2，+°°)单调递增；

当0<a<l时，/(X)在(o,叫，(〃,”)单调递增，在(后,a)单调递减；

当心1时，/(x)在(0,。)，(心+8)单调递增，在(a,/)单调递减.

8.⑴a=I,b=\

⑵①证明见解析，②成立，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)求出导函数，再根据导数的几何意义及切点即在切线上又再曲线上，解出

方程，解之即可：

(2)①，由(1)求得函数的解析式及导数，利用导数求出函数的单调区

间，从而可求得函数的最值，再根据方程有两个实数根/士，可得

函数/W的最值，〃的关系，即可得证；

②，分别求出当直线过(TO),(必〃小))时和直线过(0,0),(心/5))时割线方

程，从而得禺-引>%-马结合①即可得出结论.

⑴

解：r(x)="+8+i)e―,

因为函数在(TJ(T))处的切线方程为(e-l)x+e.y+e-l=O,

所以r(一1)=3-。=：一1,/(-1)=(/,-1)^-^=0,

a=1,。=1或。=一，b=2—e(舍)，

e

所以a=1,〃=1；

(2)

①证明：由(1)可知〃x)=(x+l乂e—),r(x)=(x+2)e=l,

令g(x)=r(x)=a+2)eJl,

则g'(x)=(x+3)e、，令，(x)=0,得x=-3,

所以函数g(x)在(Y>,-3)上递减，在(-3,转)上递增，

所以g(xL=g(-3),

即以明广/㈠卜-丁-此。，

又“->+8,r(x)i+oo,x<-3,r(x)<。,

且八0)=l>0,/(-l)=l-l<0,

e

・・・丸«—1,0),使得/'5)=0,即a+2)c%—1=0,即*=3,

入0十乙

当x<x°时，rw<o,当时，r（“>o,

所以函数/3在（f大））上递减，在（6E）上递增,

所以/（x）min=/（%）=«+。（"1）=（与+1）（7^一1

IX。十N/

=_区且」(Xo+2)_1]=_鼠+2)+廿2，

5+2)(%+2)

V^e(-l,O),・・・％+2e(l,2),

令〃(X)=X+LX£(1,2),

则/?'(x)=l-->0,xe(h2)

Xr

所以函数力W在(1,2)上递增,

e|2,-|,

故(%+2)+f

x0+2I2)

所以-(AQ+2)+—^--2€

,%)+/H-°>

即小）一分

,1

••心一万；

②解：成立，理由如下：

当直线过（TO）,&,/（.%））时割线方程为广-这2（x+l）=〃?,

1%）+

-〃?（七+2）

得

当直线过（。,。），（3⑷）时割线方程为外荒导,

一心。小：2）

得a+if

加（为+2）।]m

,|x,-x2|>x4-x^=---------+\>2m+\

(x0+l)~(x0+2)+1___2

%+2

【点睛】

本题考查了导数得几何意义，考查了利用导数解决方程的根的问题，考查了不

等式的证明问题，，考查了数据分析和处理能力，考查了转化思想，计算量比

较大，属于难题.

9.(1)选择①不存在，理由见解析；选择②存在，理由见解析

⑵[1收)

【解析】

【分析】

(1)若选择①，则1，令4(X)="T-1,由于d(x)在R上单调递

增，且r(o)=o,从而可求出求出尸(x)的单调区间，进而可求出广a)的最小值

非负，则/(X)无极值；若选择②，则r(x)=e'—2x—2,令〃(力=，一2”一2,由

〃'(力在R上单调递增,且〃'(ln2)=0,可得尸(x)的单调区间，从而得其最小值小

于0,进而可判断函数的极值，

(2)令g(1)=0,则可得---x+ln(z?u)="-皿"""_WA)]=0,令

r=x-ln(7?u),即转化为"T—=0有解，构造函数卜(，)=，7一，由导数可得

/?(')=/一由唯一零点/=1,从而将问题转化为l=x-ln(〃tr)在(0,y)有解，即

l+ln/n=x-lnx,再构造函数/")=x-Inx,利用导数求出函数的值域可得1+lnm

的范围，从而可求出实数机的取值范围

⑴

若选择①〃?=；，贝l」/W=e'—1(x+l)2,WljrW=ev-x-l.

令q(x)=e'-x-l,则/(x)=e，T,由d(x)单调递增，且

/⑼=0,得d(x)>0在(。，y)上恒成立，所以/'(X)在(o,y)上单调递增，

所以当xe(0,E)时，r(x)>r(0)=0,则/(x)在(0,+。)上单调递增，不存在极

小值点.

若选择②〃L1,则〃2-("if,则〃力="一2-2.

令〃(x)="—2x—2,贝lj"(x)=e-2,"(x)单调递增，且“(ln2)=0,

所以尸(x)在(OJn2)上单调递减，(In2,+oo)上单调递增.

2

X.f(ln2)=-21n2<0,f(2)=e-6>Of

所以存在毛w(ln2,2),满足/(%)=0.

则/(x)在(0，%)上单调递减，在国，”)上单调递增，所以/(%)存在极小值