高中数学选修2-1知识点总结7

高二数学选修2—1知识点总结

第一章常用逻辑用语

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.

真命题：判断为真的语句.

假命题：判断为假的语句.

2、“若〃，则夕”形式的命题中的〃称为命题的条件，q称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,

则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆

命题.

若原命题为“若〃，则“”，它的逆命题为“若必则

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定

和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称

为原命题的在命题.

若原命题为“若〃，则“”，则它的否命题为“若力，贝Up”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定

和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另

一个称为原命题的逆否命题.

若原命题为“若〃，则夕”，则它的否命题为“若F，则力”.

6、四种命题的真假性；

原命题逆命题否命题逆否命题

真真真真

假假

假真真真

假假假假

四种命题的真假性之间的关系：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

7、若pnq,则〃是夕的充分条件，4是〃的必要条件.

若poq，则〃是q的充要条件（充分必要条件）.

8、用联结词“且”把命题p和命题4联结起来，得到一个新命题，记作〃△力

当〃、q都是真命题时，〃八乡是真命题；当〃、q两个命题中有一个命题是假命

题时，〃八q是假命题.

用联结词“或”把命题〃和命题q联结起来，得到一个新命题，记作〃vq.

当〃、乡两个命题中有一个命题是真命题时，/八p是真命题；当夕、夕两个命

题都是假命题时，是假命题.

对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作力.

若p是真命题，则力必是假命题；若〃是假命题，则f必是真命题.

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“V”表

不.

含有全称量词的命题称为全称命题.

全称命题”对M中任意一个工，有p（x）成立"，记作“VxeM,p（x）”.

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常祢为存在量词，用“三”表示.

含有存在量词的命题称为特称命题.

特称命题“存在M中的一个x,使p"）成立"，记作“HreM,〃（力”.

10、全称命题VX€M,〃（X）,它的否定力：出wM,「p（x）.全称命题

的否定是特称命题.

第二章圆锥曲线与方程

II、平面内与两个定点目，户2的距离之和等于常数（大于I月E|）的点的轨迹

称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.

12、椭圆的几何性质:

焦点的位置焦点在X轴上焦点在），轴上

V

1

图形卜

22

标准方程■^7H——=1（67>/?>O）

—j-+=a2h2v）

_范围_-a<x<aS.-b<y<h-b<x<b^-a<y<a

Aj（-a,O）>A2A"0,-a）、A2（O,«）

顶点

B1（一八0）、B2（Z/,0）

轴长短轴的长=力长轴的长=2a

隹占

八、、/、、、k-G。）、E（C。）小0,-c）、E（0,c）

年用=2c（，=/2）

焦距

对称性关于x轴、y轴、原点对称

e=—=Jl-^7（0<e<1）

离心率

aVa"

x=4

准线方程T

13、设M是椭圆上任一点，点M到”对应准线的距离为4,点M到鸟对应准线

的距离为4,则用吸

14、平面内与两个定点用，户2的距离之差的绝对值等于常数（小于|月E|）的

点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线

的焦距.

15、双曲线的几何性质：

焦点的位置焦点在X轴上焦点在)，轴上

图形ypr

2222

a一2=1(〃>0力>0)

标准方程2__£_=i^>o,/>>o)

_范围_x<-a^x>a,yeRy<-a^y>a,xeR

顶点A1(-4,0)、A2(4Z,O)A/。,-。)、A2(O,fz)

轴长虚轴的长=»实轴的长=2〃

焦点6(—0)、玛(c,0)£(0,-c)、K(0,c)

焦距怩用=2+2=/+〃2)

对称性_关于大轴、y轴对称，关于原点中心对称

e

离心率=~=\1+乂(e>l)

ava~

一

准线方程

cc

b,a

渐近线方程y=±—x

ab

16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

17、设M是双曲线上任一点，点M到片对应准线的距离为4,点M到工对应准

线的距离为由，则幽=也Le.

18、平面内与一个定点户和一条定直线/的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定

点广称为抛物线的焦点，定直线/称为抛物线的法线.

19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB,称为

抛物线的“通径”,即|AB|=2〃.

20、焦半径公式：

若点P(M%)在抛物线产=2*(〃>0)上，焦点、为F,则|PF|=x°+§；

若点P(/,%)在抛物线产=-2外(〃>0)上，焦点为F,则|P3=-%+个

若点P1,%)在抛物线f=2〃.y(〃>0)上，焦点为F,则|P尸|=%十多

若点P（x。,%）在抛物线/=一2〃），（〃>0）上，焦点、为F,则呼|=-），0十日.

21、抛物线的几何性质：

,2=2pxy2=-2pxX2=2pyx2=-2py

标准方程

(〃>。)(P>°)(〃>。)(〃>o)

图形童>

顶点(0,0)

对称轴X轴X轴

5

住占FF

,声)/

准线方程人—

_______2__________2

离心率e=1

范围x>()x<()y>0y<o

第三章空间向量与立体几何

22、空间向量的概念:

⑴在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.

（2）向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指

的方向表示向量的方向.

（3）向量AB的大小称为向量的模（或长度），记作

（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量.

（5）与向量。长度相等且方向相反的向量称为。的相反向量，记作-”.

（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量.

23、空间向量的加法和减法：

⑴求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则.即：在空间

以同一点0为起点的两个已知向量。、人为邻边作平行四边形OACB,则以0起

点的对角线0C就是。与。的和，这种求向量和的

方法，称为向量加法的平行四边形法则.

(2)求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵

循三角形法则.即：在空间任取一点0,作

0A=a，OB=b,则BA=a-b.

24、实数4与空间向量。的乘积弱是一个向量，称为向量的数乘运算.当2>0

时，然与a方向相同；当；IvO时，然与。方向相反；当;1=0时，%为零向量,

记为0.力7的长度是〃的长度的㈤倍.

25、设2，〃为实数，a,8是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结

合律.

分配律：%(〃+〃)=%a+劝；结合律：心)=(加)鼠

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线

向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线.

27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a,/小。0),〃〃力的充要条

件是存在实数2,使。=/1。.

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量.

29、向量共面定理:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,

y,使AP=RAB+yAC；或对空间任一定点O,有OP=OA+xAB+yAC；或

若四点P,A,B,。共面，则0「=.¥0人+)©8+20。(1+)，+2=1).

30、已知两个非零向量〃和〃，在空间任取一点O,作OA=a,OB=A,则NAOB

称为向量A,b的夹角,记作①力).两个向量夹角的取值范围是：〈/〃〉e[0,句.

31、对于两个非零向量。和b,若伍/〉二],则向量8互相垂直，记作41人.

32、已知两个非零向量。和。，则|矶小05〈4,人〉称为〃,b的数量积，记作〃•/?.即

«-Z?=p/||z?|cos（<7,Z7）.零向量与任何向量的数量积为0.

33、a.〃等于。的长度同与。在。的方向上的投影忖cos〈a,/»的乘积.

34、若〃，人为非零向量，0为单位向量，则有⑴63=出6=同85〈£4；

间间与从司向）,I_

⑵皿⑶―L明gE反向）‘".吗小MG；

（4）cos<（7,/?）=-^-7^7；|5）Itz-Z?<pz|b.

\d\\b\

35、向量数乘积的运算律：⑴ub=bs（2）（〃）力力）=〃•（助卜

（3）（«+/?）•<?=tic+/?c.

36、若i,j,女是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量〃，存在有序

实数组{x,y,z},4更得p=xi+yf+zk,称xi,yj,zZ为向最〃在i,j,k上

的分量.

37、空间向量基本定理：若三个向量b,［不共面，则对空间任一向量p,

存在实数组{x,y,z},使得〃=xa+）方+zc.

38、若三个向量a,〃，c不共面，则所有空间向量组成的集合是

{〃〃=W+,力+ZC,X,）\Z£/?}.这个集合可看作是由向量4,b,d生成的，

{a/,c；}称为空间的一个基底，a,b,c称为基向量.空间任意三个不共面1勺向

量都可以构成空间的一个基底.

39、设e；,e；,e；为有公共起点0的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位

正交基底），以q,e2.S的公共起点0为原点，分别以4，5，s的方向为工

轴，），轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.则对于空间任意一个向量p,

一定可以把它平移，使它的起点与原点（）重合，得到向量0P=〃.存在有序实

数组{x,y,z},使得〃=xqIyjIzq.把X，y，Z称作向量〃在单位正交基底

q，4,%下的坐标，记作〃=(x,y,z).此时，向量〃的坐标是点P在空间直角

坐标系Oxyz中的坐标(x,xz).

40、设d=(N，x，zJ,人=(占,，2，Z2)，则⑴。+〃=(5+£，y+%，Zi+Z2).

(2)a-b=(x]-x2,yi-y2,z[-z2).

(3)而二(Axp/ly,/lzJ.

(4)a-b=x,x2+y]y2+z,z2.

(5)若白、Z?为非零向量:，则〃_1_人<=>&♦〃=。0%工2+)'1、2+ZR2=().

(6)若〃工0,则%〃〃=力=助ox1=几天，)1=4〉2,4=也.

⑺同=4cTa=J/；+y；+z；.

⑻COS〈〃出=端=y2+巧，

\a\\b\｛灯+y[+z；q石+%+z£

(9)A(N，y,zJ,B=(％,Z2)，则4、B=』B|=5(马一+(%一X『+(z?-zJ?.

41、在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量

OP来表示.向量OP称为点P的位置向量.

42、空间中任意一条直线/的位置可以由/上一个定点A以及一个定方向确定.点

A是直线/上一点，向量。表示直线/的方向向量，则对于直线/上的任意一点P,

有AP=s,这样点A和向量。不仅可以确定直线/的位置，还可以具体表示出直

线/上的任意一点.

43、空间中平面。的位置可以由。内的两条相交宜线来确定.设这两条相交宜线

相交于点0,它们的方向向量分别为a,P为平面a上任意一点，存在有序

实数对(x,y),使得OP=m+勉，这样点O与向量匕，力就确定了平面〃的位置.

44、直线/垂直a,取直线/的方向向量。，则向量。称为平面a的法向量.

45、若空间不重合两条直线a,Z?的方向向量分别为a,〃，则〃〃/?=〃〃力=

a=劝(2£R),a±b<^a±b<=