高中数学导数与积分题型大总结

导数的应用

1.函数的单调性

(1)利用导数的符号判断函数的增减性

注意：在某个区间内，f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如"x)=x3在R内是

增函数，但x=0时f(x)=O。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)NO。

(2)求函数单调区间的步骤①确定f(x)的定义域：②求导数；③由(或)解出相应的x的范围.当f'(x)>0时，f(x)

在相应区间上是增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数.

2.函数的极值

(1)函数的极值的判定①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；②极大值与极小值判断

3.求函数极值的步骤①确定函数的定义域；②求导数；③在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根；

④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值：如果左负右正，那么f(x)在这个根处取

得极小值.

4.函数的最值

⑴如果f(x)在［a,b］上的最大值(或最小值)是在(a,b)内一点处取得的，显然这个最大值(或最小值)同时是个

极大值(或极小值)，它是f(x)在(a,b)内所有的极大值(或极小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在［a,b］

的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念.

(2)求f(x)在［第b］上的最大值与最小值的步骤

①求f(x)在(a,b)内的极值：

②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

7.注意事项

(1)函数图像看增减，导数图像看正负。

(2)极大值不一定比极小值大。

高阶导数的求法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数.一般用来寻找解题方法。

【例题解析】

考点1导数的概念【例1】.是的导函数，则的值是.

【例2】.设函数,“)=二，集合M={.r"(x)<O},P=*ir(x)>o},若M叁,则实数a的取值范围是()

x-\

A.(-«,1..B.(0,1..C.(1,+~..D.［1,+~)

考点2曲线的切线(1)关于曲线在某一点的切线

(2)求曲线y=f(x)在兄一点P(x,y)的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.

关于两曲线的公切线：若二直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.

【例3］.已知函数在区间，内各有•个极值点.

(I)求的最大值；(II)当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动，经

过点时，从的一侧进入另一侧)，求函数的表达式.

解答过程：(I)因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为()，则，且.

于是

比0,且当国3,即团13时等号成立.故包的最大值是16.（II）解法一：由团知团在点回处的切线用的方程是团，即（3,因

为切线①在点①处过（3的图象，所以（2在用两边附近的函数值异号，则由不是团的极值点.而啊且

0.若团，则（3和团都是团的极值点.所以（3,即13,又由胤得团，故因

解法二：同解法一得.因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）.

当时，，当时，：或当时，,当时，.

设，则当时，，当时，；或当时，，当时，.由知是的一个极值点，则，

所以，又由，得，故.

【例4.】若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）

A.B.

C.D.

【例5】.过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+=0相切的直线的方程为（）

A.y=-3x或y=..B.y=-3x或y=-.C.y=-3x或y="..D.y=3x或y=.

【例6】已知两抛物线，取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.

解答过程：函数的导数为，曲线在点P（）处的切线方程为，即①胜线在点Q的切线方程是即②

若直线是过点E点和Q点的公切缘则①式和②式都用一的方程“故得，消去得方程，若^=,她时,解得,此时点巳

Q重合・•••当时，和有且只有•条公切线，由①式得公切线方程为.

考点.导数的应用1..求函数的解析式2求函数的值域.3.解决单调性问题.4.求函数的极值（最值）；5.构造函数证明不等式.

典型，列题

【例7】.函数定义域为开区间，导函数在内图象如图，则函数在开区间内有极小值点（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【例8】设函数在及时取得极值.

（I）求a、b的值：（II）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围.

解答近程：（I）,因为函数在及取得极值，则有，.即解得，.（II）由（I）可知，，.当时，；当时，：

当时，.所以，当时，取得极大值，又，.

则当时，的最大值为.因为对于任意的，有恒成立，所以，

解得或，囚此的取值范围为.

【例9】函数），=衣74-7773的值域是.

解答过程：由得，，即函数的定义域为.，

又，当时，，

团函数团在回上是增函数，而同团的值域是团.

【例10］已知函数，其中为参数，且.

（1）当，判断函数是否有极值；（2）要使出数的极小值大于零，求参数的取值范围;

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围.

［解答过程］(I)当时，，贝！I在内是增函数，故无极值.

(II)，令，(-8,0)0(。等cos。,cosO、

(―^)

2

得.力(I),只

需分下面两种情

况讨论.①当

时.随X的变化

的符号及的变

化情况如下表：

X

/V)+0-0十

/(X)/极大值极小值/

因此，函数在处取得极小值，且.要使，必有，可得.由于，故.

②当时，随X的/cos。、cos。管.0)0(0,+OO)

22

变化，的符号及

的变化情况如

下表：

X

f\x)+0-0+

f(x)极大值极小值

因此，函数处取得极小值，且若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.综上，要使函数在内的极小值

大于零，参数的取值范围为.(IQ解：由(II)知，函数在区间与内都是增函数。由题设，函数内是增函数，则a

须满足不等式组

或由(II),参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.综上，解得或.

所以。的取值范围是(一吗0)=［土芭,］)•

8

【例11】,设函数f(x)=ax—(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.

［解答过程］由已知得函数的定义域为，且

(1)当时，函数在上单调递减，［2)当时，由解得

f*)、/(x)随x的变化情况如下表

1

X(一，+CC)

aaa

f'M—0+

/(x)极小值

从上表可知：当时，函数在上单训递减.当时，函数在上单词遽增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时,

函数在上单调递减，函数在上单调递增.

【例12］.已知函数在点处取得极大道，其导函数的图象经过点，，如图所示.求:

<I)/的值：(H)的值.

［解答过程］解法一：(I)由图像可知，在上，在上，在上，

故在上递增，在上递减，因此在处取得极大值，所以

3〃+27?+r=0,

<II)/(X)=30¥2+2瓜+心由/'(1)=0,/(2)=0,/(I)=5,得八2a+4b+c=0解得”=2,〃=—9,c=12.

a+/>+c=5,

解法二：(I)同解法一(II)设又所以由即得所以

【例13］.设是函数的一个极值点.

(I)求与的关系式(用表示)，并求的单调区间；

(n)设，.若存在使得成立，求的取值范围.

I解答过程］(I)t@)=_口2+)-2)*=1)一2十3_*,由1(3)=0,得-［32+(a-2)3+b-aJe3-3=0,即得b=-3-2a,

则f'(x)=［x2+(a_2)x_3_2a_a］e3_x=_［x2+(a_2)x_3_3a］e3_x=_(x_3)(x+a+1)e3_x.令f'(x)=0,得x1=3或x2

=-a—1,由于x=3是极值点,所以x+a+1由0,那么aW—4.当a<—4时,x2>3=x1,则在区间(-0°,3)上,f'(x)<0,f(x)为

减函数：

在区间(3,-a-1)上,f'(x)>0,f(x)为增函数:在区间(-a-1,+«>)上,f'(x)<0,f(x)为减函数.当a>一4时，x2<3=x1,则

在区间(-8,-a-1)±,f'(x)<0,“乂)为减函数；在区间(一2—1,3)上/'(刈>0/仅)为增函数；在区间(3,+8)上j'(x)<0,

f(x)为减函数.(II)由(I)知,当a>0时,f(x)在区间(0,3)上的单调递增，在区间(3,4)上单调递减,那么f(x)在区间［0,4］

上的曲域是［min(f(0),f(4)),f(3)］,而f(D)=-(2a+3)e3<0,f(4)=(2a+13)e-1>0,f(3)=a+6,

那么f(x)在区间［0,4］上的值域是［-(2a+3)e3,a+6］.乂在区间［0,4］上是增函数，且它在区间［0,4］上的值域是［a2+,(a2

+)e4］,由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=<)2N0,所以只须仅须

(a2+)-(a+6)<1且a>0,解得0<a<.故a的取值范围是(0,).

【例14】已知函数，在处取得极大值，在处取得极小值，且.(1)证明：(2)若2=2+2>求z的取值范围。

[解答过程]求函数的导数,(I)由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根.所以当时，为增函数,

，由，得・(II)在题设下，等价于即.

化简得.此不等式组表示的区域为平面上三条直线：.

所围成的的内部，其三个顶点分别为：.

在这三点的值依次为.

所以的取值范围为.

考点4导数的实际应用

【例15].用氏为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少

时，其体积最大？最大体积是多少？

[解答过程]设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为.故长方体的体积为

团从而同令V'(x)=0,解得x=0(舍去)或x=l,因此x=l.当OVxVl时,V'(X)>0；当lVx<(3时,V'(x)

<0,故在x=l处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值。从而最大体积V=V'(x)=9X

12-6X13(m3),此时长方体的长为2m,高为1.5m.

答：当长方体的长为2m时，宽为1m,高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3。

【例16].统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示

为：已知甲、乙两地相距100千米.(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(II)当汽车

以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

曲边梯形的面积与定积分

[例1](1)已知和式PI当n-+8忖，无限格近千一个常数A,则A可用定积分表示为()

A.0B.0C.aD.但

(2)下列定积分为1是()

A.13B.0C.0D.(3

(3)求由回围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为()

A.[0,0]B.[0,2]C.[1,2]D.[0,1]

(4)由y=cosx及x轴围成的介于。与2n之间的平面图形的面积，利用定枳分应表达为

(5)计算J。一rdx-u

[例2]①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？

(1)Q；(2)团；(3)0.

②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小.

0,团，00

[例3]计算下列定积分:

⑴1XU；⑵「("+3)dr：(3)jjcosxdr；

[例4)利用定积分表示图中四个图形的面积：

【练习】

1.下列定积分值为1的是()

A.0B。团Co圉Do回

2.B=()

A.0Bo0

C.(3Do0

3.设连续函数f(x)>0,则当a〈b时，定积分E号()

A.一定是正的B.当0<a<b时为正，当acbvO时为负

C.一定是负的D.当0<a<b时为负,当a<b<0时为正

4.由直线0,及x轴所围成平面图形的面积为()

A.13BoH

C.0Do0

5.和式团当n-+8时，无限趋近于一个常数A,则A用定积分可表示为。

6.曲线⑼所围成的图形的面积可用定枳分表示为

7.计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算由直线x=0,x=l,y=0和曲线y=x2所围

成的曲边三角形的面枳。(下列公式可供使用：12+22+…+n2=(3)

8.求由曲线团与团所围的图形的面积.

9.计算但，其中,团

10.弹簧在拉伸过程中，力与伸长量戊1E比，即力F(x)=kx(k是正的常数,x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功

曲边梯形的面积与定积分A组

1.若团是13上的连续偶函数，则闭()

A.PIB.0C.用D.PI

2.变速直线运动的物体的速度为v(t),初始t=0时所在位置为13,则当13秒末它所在的位置为()

A.RAB.0c.raD.闭

3.由直线13,及x轴所围成平面图形的面积为()

A.HB.QC.13D.0

4.设团且团13,给出下列结论：

①A>0；②B>0；③J'/(xM=A+8；④£|/(幻|公=A-8。

其中所有正确的结论有。

5.设函数f(x)的图象弓直线x・a,x・b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在［a,b］上的面积。已知函数厂sinnx在［0,0］(n€

N*)上的面积为团。①y=sin3x在［0间上的面积为：②y=sin(3x-x)+1在陶(3］上的面积为□

6.求由曲线团与团所围的图形的面积。

7.试根据定积分的定义说明下列两个事实：

①]cfMdx=c\f(x)dx：②](f(x)+g(x))cbc=\/(x)dr+Jg(x)dr。

JuJaJaJaJa

8.物体按规律13(m)作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10(m/s)时阻力为2(N),求物体从x=0到x=2

阻力所做的功的积分表达式.

曲边梯形的面积与定积分B组

1.如果1kg力能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,则力所作的功为()

A.0.18kg,mB.0.26kg•mC.0.12kg,mD.0.28kg•m

2.已知b>a,下列值:团，同旧|的大小关系为()

A.|0|>0>EBo1212Ml

C.0=|0|=0D.0=|0|>0

3.若团与但是13上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x=a,x=b所围图形的面积()

A.0B.0C.0,D.0

4.给出下列命题：

①若0>0,b>a,则f(x)>0；②若f(x)>0,b>a,则①>0；③若图=0,b>e,则f(x)=0：

④若f(x)=0,b>a,则团=0：⑤若®=0,b>a,则f(x)=0。其中所有正确命题的序号为。

5.给出下列定积分：