圆锥曲线与方程大题 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

数学学科学生讲义学生姓名：年级：高二科目：数学学科教师：课题圆锥曲线与方程授课类型基础知识经典例题巩固提升教学目标1直线与椭圆的位置关系2双曲线标准方程教学重难点直线与椭圆的位置关系、双曲线方程授课日期及时段教学内容基础知识及经典例题知识点一直线与椭圆的位置关系基础知识及经典例题一．椭圆中的定值1.对于椭圆，设弦的两端点以及中点的坐标分别为、、，.2.椭圆上的点与椭圆的一对顶点的连线斜率的乘积.二．椭圆中的存在性问题设为椭圆上任意一点，分别为椭圆的左右顶点与左右焦点，当点位于椭圆短轴顶点时，与最大.三.点差法有关弦中点的问题可能会用到点差法，具体如下：对于椭圆，设弦的两端点以及中点的坐标分别为、、，那么，两式相减，得，，当时，两边同除，得：.于是我们得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系式：．考点一、与椭圆有关的定点、定值问题例题1、如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线与此椭圆分别交于点，其中，，．（1）设动点满足，求点的轨迹；（2）设，，求点的坐标；（3）设，求证：直线必过轴的一定点（其坐标与无关）随练1、已知点（1）过点斜率的直线，交以为焦点的双曲线于两点，若线段的中点到轴的距离为，求该双曲线的方程；（2）以为顶点的椭圆经过点,过椭圆的上顶点作直线，使，直线分别交椭圆于点（与上顶点不重合）．求证：必过轴上一定点．考点二、与椭圆有关的存在性问题例题1、已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．随练1、在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．考点三、与椭圆有关的轨迹问题例题1、已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是和．（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（为椭圆的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线例题2、设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|．（I）证明：a=b；（II）设Q1，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．随练1、已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y=，离心率e=，M是椭圆上的动点（Ⅰ）若C，D的坐标分别是(0，-)，(0，)，求|MC|•|MD|的最大值；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为（1，0），B是圆x2+y2=1上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：=+，•=0、求线段QB的中点P的轨迹方程．知识点二双曲线的标准方程一．双曲线的定义平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数（小于且不等于零）的点的轨迹，叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．二．双曲线的标准方程若与两个定点,的距离之差的绝对值为，焦距为，.则：1．若焦点坐标为，，则双曲线方程为：.2．若焦点坐标为，，则双曲线方程为：．三．双曲线的几何性质（用标准方程来研究）如图1．范围：或.2．对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心.3．顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点.4．实轴与虚轴：、（1）实轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴，如图，为顶点，线段为双曲线的实轴；（2）虚轴：在轴上作点，，线段叫做双曲线的虚轴.5．双曲线的渐近线：双曲线的各支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.6．离心率：（1）叫做双曲线的离心率，；（2）双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．考点一、双曲线的定义例题1、双曲线的焦距为（）A.B.C.D.例题2、在平面直角坐标系中，已知双曲线一点的横坐标为3，则点到此双曲线的右焦点的距离为________．例题3、已知双曲线的两个焦点为，是此双曲线上的一点，且满足则该双曲线的方程是（）A.B.C.D.例题4、已知双曲线，直线过其左焦点，交双曲线左支于两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为，则的值为（）A.8B.9C.16D.20随练1、已知定点，是圆O：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆随练2、如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若且实轴长为，则的周长为_______________考点二、双曲线的几何性质例题1、设双曲线的一个焦点为F；虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A.B.C.D.例题2、已知点是双曲线上除顶点外的任意一点，分别为左、右焦点，为半焦距，的内切圆与切于点，则＝________例题3、已知点F是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A.（1，+∞）B.（1，2）C.（1，1+）D.（2，1+）随练1、双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.巩固提升1、已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，试求的最大值．巩固提升2、已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．（1）（ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；（ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围．（2）设直线与轴、轴分别交于点，，求证：为定值．3、已知半椭圆+=1(x≥0)与半椭圆+=1(x≤0)组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A2|＞|B1B2|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．4、已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．5、如图所示，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，．若，则动点在平面内的轨迹是（）A.椭圆的一部分