双曲线常考题型归纳 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

双曲线常考题型归纳【典例精析】题型一：双曲线的标准方程【例1】已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(y>0) B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>0)C．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y>0) D．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(x>0)[方法技巧]求双曲线标准方程的2种方法定义法依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值待定系数法设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．【变式训练】1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(5)，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为()A．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1 B．eq\f(x2,4)－y2＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝12．已知F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq\r(2)，则双曲线的标准方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1 D．x2－eq\f(y2,2)＝13．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2eq\r(2)，四边形A1PA2Q内切圆的周长为eq\f(2\r(6),3)π，则C的方程为()A．eq\f(x2,2)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(x2,2)－y2＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1 D．x2－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1题型二：双曲线的定义及其应用考法(一)利用定义求轨迹方程【例2】已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x＜0) B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x＞0)C．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1(x＜0) D．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1(x＞0)【变式训练】1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆考法(二)求解“焦点三角形”问题【例3】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6 D．8【变式训练】1．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为()A．3 B．16＋eq\r(2)C．12＋eq\r(2) D．242．已知双曲线C：eq\f(x2,k)－eq\f(y2,5)＝1(k＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C的焦距为10，则k＝________；若点P在双曲线C上，且cos∠F1PF2＝eq\f(2,3)，则△F1PF2的面积为________．3．已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq\f(2π,3)，则等于________．考法(三)利用定义求最值【例3】已知F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．[方法技巧]双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．(2)在双曲线的有关问题中，若遇到动点到两定点的距离问题，应首先想到双曲线的定义．在双曲线中，涉及|PF1|·|PF2|的问题时，一般都会用到双曲线的定义；涉及焦点三角形面积的问题时：①若已知角，则用S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，||PF1|－|PF2||＝2a及余弦定理等知识求解；②若未知角，则用S△PF1F2＝eq\f(1,2)·2c·|y0|＝c·|y0|求解．提醒：利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．【变式训练】1．P是双曲线eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋10)2＋y2＝1和(x－10)2＋y2＝4上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()A．12 B．13C．14 D．15已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦点，P是C左支上一点，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，6\r(6)))，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．题型三：双曲线的几何性质考法(一)求双曲线的渐近线方程【例4】(1)设F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是()A．eq\r(2)x±y＝0 B．x±eq\r(2)y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0(2)过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(3)x B．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±eq\r(2)x D．y＝±eq\f(\r(2),2)x[方法技巧]涉及双曲线渐近线的几个常用结论(1)求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x，或令eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x．(2)已知渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．【变式训练】1．点(3,0)到双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的一条渐近线的距离为()A．eq\f(9,5) B．eq\f(8,5)C．eq\f(6,5) D．eq\f(4,5)2．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±eq\f(1,2)B．±eq\f(\r(2),2)C．±1 D．±eq\r(2)3．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限内的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\f(\r(2),2)xC．y＝±2x D．y＝±2eq\r(2)x考法(二)求双曲线的离心率【例5】(1)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A．eq\f(\r(7),2) B．eq\f(\r(13),2)C．eq\r(7) D．eq\r(13)(2)已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(1,2)C．(2,1＋eq\r(2)) D．(1,1＋eq\r(2))[方法技巧]1．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e．(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．2．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；当k<0时，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1)．【变式训练】1．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为eq\f(\r(3)c,4)，则双曲线的离心率为()A．eq\f(2\r(2),3) B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．22．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1,3] B．(1,3)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)3．已知F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为()A．(1,2) B．(1,3)C．(3，＋∞) D．(2,3)4．(多选)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则下列各项正确的是()A．eq\f(e2,e1)＝2 B．e1e2＝eq\f(\r(3),2)C．eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(5,2) D．eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝15．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为eq\f(π,3)，则双曲线的离心率为________．考法(三)与双曲线有关的范围、最值问题【例6】已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，则y0的取值范围是()A． B．C． D．[方法技巧]求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法几何法如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解代数法若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解【变式训练】1．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的取值范围为()A．[3－2eq\r(3)，＋∞) B．[3＋2eq\r(3)，＋∞)C． D．【课后练习】1．双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1的实轴长为()A．4B．2C．2eq\r(3) D．2eq\r(2)2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1与曲线eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1的()A．离心率相等 B．虚半轴长相等C．实半轴长相等 D．焦距相等3．已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的渐近线方程为eq\r(3)x±y＝0，则b＝()A．2eq\r(3)B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3),2) D．124．△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3) D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x>4)5．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a＞0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝()A．1 B．1或9C．3或9 D．96．设已知双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为()A．3eq\r(2) B．6eq\r(2)C．9eq\r(2) D．18eq\r(2)7．设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,24a2)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan∠PF2F1＝()A．eq\f(4,3) B．eq\f(7,4)C．2 D．eq\f(12,5)8．设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)9．已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1,2) B．(1,3)C．(3，＋∞) D．(2,3)10．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为()A．3 B．eq\f(3,4)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(3),2)11．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2－eq\f(y2,b)＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则()A．b＝2 B．C的焦距为2eq\r(5)C．C的离心率为eq\r(3) D．△ABF1的面积为4eq\r(3)12．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为______________．13．已知O为坐标原点，双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\f(3\r(5),5)，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为eq\r(5)，则双曲线C的方程为______________．14．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为__________．15．如图，F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．16．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－eq\r(3)，求双曲线的离心率．

双曲线常考题型归纳【典例精析】题型一：双曲线的标准方程【例1】已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(y>0) B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>0)C．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y>0) D．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(x>0)解析：选B由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>0)．[方法技巧]求双曲线标准方程的2种方法定义法依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值待定系数法设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．【变式训练】1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(5)，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为()A．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1 B．eq\f(x2,4)－y2＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝1解析：选D因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为eq\r(5)，所以eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,4)＝1，故选D．2．已知F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq\r(2)，则双曲线的标准方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1 D．x2－eq\f(y2,2)＝1解析：选D由题意可知|PF1|＝eq\f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝eq\f(2\r(3)c,3)，2b＝2eq\r(2)，由双曲线的定义可得eq\f(4\r(3)c,3)－eq\f(2\r(3)c,3)＝2a，即c＝eq\r(3)a．又b＝eq\r(2)，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,2)＝1，故选D．3．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2eq\r(2)，四边形A1PA2Q内切圆的周长为eq\f(2\r(6),3)π，则C的方程为()A．eq\f(x2,2)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(x2,2)－y2＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1 D．x2－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1[解析]双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2eq\r(2)，可得2×eq\f(1,2)×2a×b＝2eq\r(2)，ab＝eq\r(2)，直线A2P的方程为bx＋ay＝ab，四边形A1PA2Q内切圆的周长为eq\f(2\r(6),3)π，又内切圆的半径为eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(ab,c)，所以eq\f(2ab,c)π＝eq\f(2\r(6),3)π，解得c＝eq\r(3)，所以a2＋b2＝3，解得a＝eq\r(2)，b＝1或a＝1，b＝eq\r(2)，所以双曲线方程为x2－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(x2,2)－y2＝1．故选B．题型二：双曲线的定义及其应用考法(一)利用定义求轨迹方程【例2】已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x＜0) B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x＞0)C．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1(x＜0) D．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,5)＝1(x＞0)[解析]设动圆M的半径为r，由题意知，|MC1|＝r＋5，|MC2|＝r＋1，则|MC1|－|MC2|＝4＜|C1C2|＝8，所以M点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支，且a＝2，c＝4，则b2＝12，则动圆圆心M的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x＜0)．故选A．【变式训练】1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆解析如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2。因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线。答案B考法(二)求解“焦点三角形”问题【例3】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6 D．8[解析]由双曲线的方程得a＝1，c＝eq\r(2)，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2．在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°，即(2eq\r(2))2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4．[答案]B【变式训练】1．虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为()A．3 B．16＋eq\r(2)C．12＋eq\r(2) D．24解析：选B由于2b＝2，e＝eq\f(c,a)＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝eq\f(\r(2),4)．由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝eq\f(\r(2),2)①，|BF2|－|BF1|＝eq\f(\r(2),2)②，①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝eq\r(2)，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋eq\r(2)，则△ABF2的周长为16＋eq\r(2)，故选B．2．已知双曲线C：eq\f(x2,k)－eq\f(y2,5)＝1(k＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线C的焦距为10，则k＝________；若点P在双曲线C上，且cos∠F1PF2＝eq\f(2,3)，则△F1PF2的面积为________．解析：由题意，知2c＝10，所以c＝5，所以k＋5＝25，所以k＝20．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝4eq\r(5)①．在△F1PF2中，由余弦定理，知m2＋n2－2mncos∠F1PF2＝100②．由①②及cos∠F1PF2＝eq\f(2,3)得mn＝30．又sin∠F1PF2＝eq\r(1－cos2∠F1PF2)＝eq\f(\r(5),3)，所以＝eq\f(1,2)mnsin∠F1PF2＝5eq\r(5)．答案：205eq\r(5)3．已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq\f(2π,3)，则等于________．解析如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝eq\f(2,3)π，所以＝eq\f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝eq\f(1,2)×2a×4a×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)a2.由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|，又∠F1AF2＝eq\f(2,3)π，所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，所以＝eq\f(\r(3),4)|AB|2＝eq\f(\r(3),4)×(4a)2＝4eq\r(3)a2，所以＝eq\f(2\r(3)a2,4\r(3)a2)＝eq\f(1,2).故选B.考法(三)利用定义求最值【例3】已知F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．[解析]因为F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋eq\r(4－12＋0－42)＝4＋5＝9．[答案]9[方法技巧]双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．(2)在双曲线的有关问题中，若遇到动点到两定点的距离问题，应首先想到双曲线的定义．在双曲线中，涉及|PF1|·|PF2|的问题时，一般都会用到双曲线的定义；涉及焦点三角形面积的问题时：①若已知角，则用S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，||PF1|－|PF2||＝2a及余弦定理等知识求解；②若未知角，则用S△PF1F2＝eq\f(1,2)·2c·|y0|＝c·|y0|求解．提醒：利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．【变式训练】1．P是双曲线eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋10)2＋y2＝1和(x－10)2＋y2＝4上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()A．12 B．13C．14 D．15解析：选D在双曲线eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1中，由a＝6，b＝8，c＝10，得F1(－10,0)，F2(10,0)，故|PF1|－|PF2|＝2a＝12，|MP|≤|PF1|＋|MF1|，|PN|≥|PF2|－|NF2|，－|PN|≤－|PF2|＋|NF2|，所以|PM|－|PN|≤|PF1|＋|MF1|－|PF2|＋|NF2|＝12＋1＋2＝15，故选D.2．已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦点，P是C左支上一点，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，6\r(6)))，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．解析：由双曲线方程x2－eq\f(y2,8)＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3,0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|．因为|AF|＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF1的方程为y＝2eq\r(6)x＋6eq\r(6)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(6)x＋6\r(6)，,x2－\f(y2,8)＝1，))得y2＋6eq\r(6)y－96＝0，解得y＝2eq\r(6)或y＝－8eq\r(6)(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝eq\f(1,2)×6×6eq\r(6)－eq\f(1,2)×6×2eq\r(6)＝12eq\r(6)．题型三：双曲线的几何性质考法(一)求双曲线的渐近线方程【例4】(1)设F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是()A．eq\r(2)x±y＝0 B．x±eq\r(2)y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0(2)过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(3)x B．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±eq\r(2)x D．y＝±eq\f(\r(2),2)x【解析】(1)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a．又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1F2|＝2c，则|PF2|＝2a最小，所以∠PF1F2＝30°．在△PF1F2中，由余弦定理，可得cos30°＝eq\f(|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|2,2|PF1||F1F2|)＝eq\f(16a2＋4c2－4a2,2×4a×2c)＝eq\f(\r(3),2)，整理得c2＋3a2＝2eq\r(3)ac，解得c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a．所以双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x．故选A．(2)如图所示，连接OA，OB，设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a，0)，F(－c，0)．由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝eq\f(1,2)∠ACB＝eq\f(1,2)×120°＝60°．因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°．因为FA与圆O相切于点A，所以OA⊥FA，在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(（2a）2－a2)＝eq\r(3)a，故双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\r(3)x．【答案】(1)A(2)A[方法技巧]涉及双曲线渐近线的几个常用结论(1)求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x，或令eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x．(2)已知渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．【变式训练】1．点(3,0)到双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的一条渐近线的距离为()A．eq\f(9,5) B．eq\f(8,5)C．eq\f(6,5) D．eq\f(4,5)解析：选A双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的渐近线方程是eq\f(x,4)±eq\f(y,3)＝0，即3x±4y＝0．由点到直线的距离公式，得点(3,0)到渐近线3x±4y＝0的距离为eq\f(|3×3|,\r(32＋42))＝eq\f(9,5)．故选A．2．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±eq\f(1,2)B．±eq\f(\r(2),2)C．±1 D．±eq\r(2)解析：选C由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C．∵A1B⊥A2C，∴eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，整理得a＝b．∵渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1．3．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限内的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\f(\r(2),2)xC．y＝±2x D．y＝±2eq\r(2)x解析：连接F1M．∵点P是双曲线C在第一象限内的点，∴|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵直线PO交双曲线C左支于点M，∴由对称性可知，|PO|＝|OM|，又∵|OF1|＝|OF2|，∴四边形PF1MF2为平行四边形，∴|MF2|＝|PF1|＝4a．在△POF2中，由余弦定理，得4a2＝|PO|2＋c2－2c|PO|cos∠POF2，①在△POF1中，由余弦定理，得16a2＝|PO|2＋c2＋2c|PO|cos∠POF2，②由①＋②，得20a2＝2|PO|2＋2c2，∴|PO|2＝10a2－c2，即|PO|＝eq\r(10a2－c2)，∴|PM|＝2eq\r(10a2－c2)，又∵直线PF2交双曲线C右支于点N，且∠MF2N＝60°，∴∠MF2P＝120°．在△PMF2中，由余弦定理，得4(10a2－c2)＝4a2＋16a2－2×2a×4a×cos120°，即c2＝3a2，又知c2＝a2＋b2，∴a2＋b2＝3a2，∴eq\f(b2,a2)＝2，∴eq\f(b,a)＝eq\r(2)，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x，故选A．考法(二)求双曲线的离心率【例5】(1)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A．eq\f(\r(7),2) B．eq\f(\r(13),2)C．eq\r(7) D．eq\r(13)(2)已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(1,2)C．(2,1＋eq\r(2)) D．(1,1＋eq\r(2))[解析](1)由题意，得|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a．在△PF1F2中，由余弦定理，可得eq\f(a2＋9a2－4c2,2a×3a)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(7,4)，所以双曲线C的离心率为eq\f(\r(7),2)．故选A．(2)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝eq\f(b2,a)，|FE|＝a＋c，则eq\f(b2,a)＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B．[方法技巧]1．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e．(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．(3)因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．(4)通过特殊位置求出离心率．2．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：当k>0时，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；当k<0时，k＝－eq\f(b,a)＝－eq\r(e2－1)．【变式训练】1．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为eq\f(\r(3)c,4)，则双曲线的离心率为()A．eq\f(2\r(2),3) B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2【解析】由已知，得直线l的方程为ay＋bx－ab＝0，因为原点到直线l的距离为eq\f(\r(3),4)c，所以eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),4)c，又c2＝a2＋b2，所以4ab＝eq\r(3)c2，两边平方，得16a2b2＝3c4，即16a2(c2－a2)＝3c4，两边同除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，所以e2＝4或e2＝eq\f(4,3)．由0<a<b，得e2＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)>2，所以e2＝4．故e＝2．故选D．2．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1,3] B．(1,3)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)[解析]根据|PF1|＝2|PF2|以及|PF1|－|PF2|＝2a，可知|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又因为|PF2|≥c－a，所以2a≥c－a，故e≤3，所以1＜e≤3，故选A．3．已知F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为()A．(1,2) B．(1,3)C．(3，＋∞) D．(2,3)解析：A在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，得3a＋a＞2c，即2a＞c，所以e＝eq\f(c,a)＜2，又e＞1，所以1＜e＜2，故选A．4．(多选)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则下列各项正确的是()A．eq\f(e2,e1)＝2 B．e1e2＝eq\f(\r(3),2)C．eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(5,2) D．eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝1解析：BD因为eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0且|eq\o(MF1,\s\up7(→))|＝|eq\o(MF2,\s\up7(→))|，所以△MF1F2为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝eq\f(\r(2),2)a，所以e1＝eq\f(\r(2),2)．在三角形PF1F2中，∠F1PF2＝eq\f(π,3)，设PF1＝x，PF2＝y，双曲线C2的实半轴长为a′，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－xy＝4c2，,x＋y＝2\r(2)c，,|x－y|＝2a′，))故xy＝eq\f(4,3)c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝eq\f(8c2,3)，所以(a′)2＝eq\f(2c2,3)，即e2＝eq\f(\r(6),2)，故eq\f(e2,e1)＝eq\r(3)，e1e2＝eq\f(\r(3),2)，eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝2，eeq\o\al(2,2)－eeq\o\al(2,1)＝1，故选B、D．5．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为eq\f(π,3)，则双曲线的离心率为________．解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，则渐近线的方程为y＝±eq\f(b,a)x，由题意可得eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，b＝eq\r(3)a，可得c＝2a，则e＝eq\f(c,a)＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，则渐近线的方程为y＝±eq\f(a,b)x，由题意可得eq\f(a,b)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，a＝eq\r(3)b，可得c＝eq\f(2\r(3),3)a，则e＝eq\f(2\r(3),3)．综上可得e＝2或e＝eq\f(2\r(3),3)．答案：2或eq\f(2\r(3),3)考法(三)与双曲线有关的范围、最值问题【例6】已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，则y0的取值范围是()A． B．C． D．[解析]由题意知a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3)，设F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，则eq\o(MF1,\s\up7(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up7(→))＝(eq\r(3)－x0，－y0)．因为eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，所以(－eq\r(3)－x0)(eq\r(3)－x0)＋yeq\o\al(2,0)<0，即xeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0．因为点M(x0，y0)在双曲线C上，所以eq\f(x\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，即xeq\o\al(2,0)＝2＋2yeq\o\al(2,0)，所以2＋2yeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0，所以－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3)．[答案]A[方法技巧]求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法几何法如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解代数法若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解【变式训练】1．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的取值范围为()A．[3－2eq\r(3)，＋∞) B．[3＋2eq\r(3)，＋∞)C． D．解析：由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3，∴双曲线的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.设P(x，y)(x≥eq\r(3))，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋eq\f(x2,3)－1＝eq\f(4,3)x2＋2x－1(x≥eq\r(3))．令g(x)＝eq\f(4,3)x2＋2x－1(x≥eq\r(3))，则g(x)在[eq\r(3)，＋∞)上单调递增，g(x)min＝g(eq\r(3))＝3＋2eq\r(3).∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的取值范围为[3＋2eq\r(3)，＋∞)，故选B．【课后练习】1．双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1的实轴长为()A．4B．2C．2eq\r(3) D．2eq\r(2)解析：选D由题知a2＝2，∴a＝eq\r(2)，故实轴长为2a＝2eq\r(2)，故选D．2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1与曲线eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1的()A．离心率相等 B．虚半轴长相等C．实半轴长相等 D．焦距相等解析：选D由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由eq\r(25＋9－k)＝eq\r(25－k＋9)，得两双曲线的焦距相等．3．已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的渐近线方程为eq\r(3)x±y＝0，则b＝()A．2eq\r(3)B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3),2) D．12解析：选A因为双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,2)x，又渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，所以eq\f(b,2)＝eq\r(3)，b＝2eq\r(3)，故选A．4．△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3) D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x>4)解析：由条件可得圆与x轴的切点为T(3,0)，由相切的性质得|CA|－|CB|＝|TA|－|TB|＝8－2＝6，因此点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，∵2a＝6,2c＝10，∴a＝3，b＝4，∴所求的双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，且点C不在直线AB上，即x>3故选C5．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a＞0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝()A．1 B．1或9C．3或9 D．9解析：选D由题意知eq\f(4,a)＝2，所以a＝2，所以c＝eq\r(4＋16)＝2eq\r(5)，所以|PF1|＝5＜2＋2eq\r(5)＝a＋c，所以点P在双曲线C的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝4，所以|PF2|＝9．故选D．6．设已知双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若|OP|＝|PF2|，则△PF1F2的面积为()A．3eq\r(2) B．6eq\r(2)C．9eq\r(2) D．18eq\r(2)解析：选C在双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1中，F1(－3,0)，F2(3,0)，渐近线方程：y＝±2eq\r(2)x，因为|OP|＝|PF2|，则点P在线段OF2的中垂线x＝eq\f(3,2)上，则P点纵坐标y0满足|y0|＝3eq\r(2)，所以△PF1F2的面积S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|＝9eq\r(2)．故选C．7．设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,24a2)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan∠PF2F1＝()A．eq\f(4,3) B．eq\f(7,4)C．2 D．eq\f(12,5)解析：A易知c2＝25a2，则c＝5a，|F1F2|＝2c＝10a．因为P为C右支上的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a．因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，则(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝100a2，解得|PF2|＝6a(负值舍去)，所以|PF1|＝8a，故tan∠PF2F1＝eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(4,3)．故选A．8．设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)解析：选A设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF．设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2)．由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＝a2，故eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即e＝eq\r(2)．故选A．9．已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1,2) B．(1,3)C．(3，＋∞) D．(2,3)解析：选B在焦点△PF1F2中，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，由正弦定理得2|PF2|＝|PF1|，又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|得4a＋2a＞2c，∴e＜3，则1＜e＜3，故选B．10．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为()A．3 B．eq\f(3,4)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(3),2)解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设P点在双曲线右支上，则根据椭圆及双曲线的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c，因为∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)·(a1－a2)coseq\f(π,3)，化简得aeq\o\al(2,1)＋3aeq\o\al(2,2)＝4c