4.2.2等差数列的前n项和公式教学设计-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2022年9月滨州市高二年级数学教学研讨会观摩课教案2022年9月滨州市高二年级数学教学研讨会观摩课教案4.2.2等差数列的前n项和公式滨州市第一中学牛梅2022年9月课题：等差数列的前n项和公式教学目标：1.了解等差数列的前n项和公式发现的背景2.推到并掌握等差数列的前n项和公式，提升逻辑推理和数学运算素养教学重点：等差数列的前n项和公式的推导及应用.教学难点：等差数列的前n项和公式的推导及应用.教学过程设计：完成学案的复习部分，快速核对答案.一、数学史引入引导语：在前面我们已经学习了等差数列的通项公式，以及与等差数列有关的一些基本性质，这节课我们学习一下等差数列的前n项和公式.问题情境：教师介绍高斯的故事.二、层层递进，推导公式问题1计算1＋2＋3＋…＋100的值.追问：高斯采用的是什么算法？意图：引出高斯首尾配对的方法.追问：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释.设an=n,那么高斯的计算方法可以表示为(a1+a100)+(a2+a99)+...+(a50+a51)=101×50=5050.可以发现，高斯在计算中利用了a1+a100=a2+a99=...=a50+a51这一特殊关系.意图：探究高斯方法简化运算的本质原因，即通过等差数列的性质，将不同数求和问题转化为相同数求和的问题，从而用乘法运算简化了求和运算.问题2你能用上述方法计算1＋2＋3＋…＋101吗？意图：为后续研究一般性问题时对项数奇偶进行讨论的方法做铺垫.预案：1＋2＋3＋…＋101＝(1＋101)＋(2＋100)＋…＋(50＋52)＋51＝102×50＋51＝5151追问：你还能想到其他方法吗？预案1：1＋2＋3＋…＋101＝(1＋2＋3＋…＋100)＋101＝5050＋101＝5151预案2：1＋2＋3＋…＋101＝0＋1＋2＋3＋…＋101＝(0＋101)＋(1＋100)＋…＋(51＋52)＝101×51＝5151师：以上方法都是将奇数项转化成偶数项来完成的，那么如何求1＋2＋3＋…＋n.呢？问题3计算1＋2＋3＋…＋n.师：请大家仿照问题2的解决方法完成问题3.方法一：当n为偶数时，当n为奇数时，方法二：当n为偶数时，同方法一.当n为奇数时，意图：这个问题既是问题1和问题2的推广，又是等差数列的一个特殊情形，为进一步解决一般等差数列的求和问题做铺垫；同时，在对项数分奇偶讨论之后，学生会发现结论的一致性，这可以引发进一步的思考，从而发现倒序求和的方法；此外，这个问题又是一个常用的结论，对于公式（2）的推导也可以用到这个结论.追问：不分类讨论能否得到最终的结论呢？问题4能否借助梯形面积公式的推导方法研究“石子堆”问题？师：大家还记得梯形面积公式的推导吗？生：用两个全等的梯形师：为什么要倒置一个全等梯形？生：补成平行四边形.师：梯形面积公式的推导体现了什么研究策略？生：将不规则的、不熟悉的图形转化为规则的或者熟悉的图形.（学生回答教师补充）师：能否借助这样的策略研究”石子堆”问题？（课件展示）问题5：你能用数学符号表示上图的求解过程吗？Sn=Sn=将上述两式相加，得2Sn==1+n=n所以Sn=意图：引导学生将公式变形，通过变形之后的等式的意义，构造对应的计算方法，得到倒序求和的方法.追问：你能说说这种方法巧妙在哪里吗？意图：总结倒序求和的方法.活动：引导学生从几何上体会倒序求和的方法.问题6倒序求和的方法能否用于求一般等差数列{an}的前n项和Sn呢？（学生根据前面倒序相加法自己推导）倒序求和法Sn=Sn2Sn=(因为：所以：2Sn=(a1+=n(a由此可得等差数列{an}的前n项和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)（1）追问1：能不能用a1和d来表示Sn呢？意图：希望学生能够利用公式(1)和等差数列的通项公式推出公式(2).把等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d带入公式（1）可得：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.追问2：如果不利用公式(1)的结论，你还有其他方法得到公式(2)吗？意图：从数列前n项和的定义出发，将每一项用首项和公差表示，再分组求和.活动：类比公式(1)的应用，分析公式(2)的应用. 意图：功能1：已知a1，d和n，求Sn.功能2：已知Sn，n，a1和d中任意3个，求第4个.问题7：根据前面的类比推导过程，你能说出等差数列{an}的前n项和公式与梯形的面积公式之间有什么联系吗？三、公式(1)的理解和简单应用例6.已知数列{an}是等差数列.（1）若a1=7,a50=101,求S（2）若a1=2,a