东北财经大学《高等数学3下》2025-2026学年第一学期期末试卷（A卷）

站名：站名：年级专业：姓名：学号：凡年级专业、姓名、学号错写、漏写或字迹不清者，成绩按零分记。…………密………………封………………线…………第1页，共1页东北财经大学《高等数学3下》2025——2026学年第一学期期末试卷（A卷）注意事项:1.请考生在下列横线上填写姓名、学号和年级专业。2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。4.满分100分，考试时间120分钟专业学号姓名题号一二三四五六七八总分统分人复查人得分一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的字母填在题后括号内。）

1.下列函数中，在点(0,0)处连续的是（）

A.f(x,y)=B.f(x,y)=C.f(x,y)=D.f(x,y)=e^{xy}

2.设z=f(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1定义，则=（）

A.-B.-C.-D.-

3.二重积分_D(x+y)dA，其中D是由y=x^2和y=x围成的区域，值为（）

A.B.C.D.

4.函数f(x,y)=x^3+y^3的Hessian矩阵在点(1,1)处是（）

A.B.C.D.级数_{n=1}^{}的和是（）

A.-B.C.-D.微分方程y’’+4y=0的通解是（）

A.y=C_12x+C_22xB.y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}C.y=C_1x+C_2D.y=C_1x+C_2x曲线积分_C(x^2+y^2)ds，其中C是圆x^2+y^2=1的上半部分，值为（）

A.B.C.2D.设u=x^2+y^2+z^2，则u在点(1,1,1)处的模是（）

A.B.3C.D.6三重积分_VzdV，其中V是由z=x^2+y^2和z=1围成的区域，值为（）

A.B.C.D.傅里叶级数_{n=1}^{}的和函数在x=处的值是（）

A.0B.C.D.-函数f(x,y)=xy在约束条件x^2+y^2=1下的极值点满足（）

A.x=y=B.x=-y=C.x=y=0D.x=1,y=0幂级数_{n=0}^{}的收敛半径是（）

A.0B.1C.eD.设=(x,y,z)，则散度在点(1,2,3)处的值是（）

A.1B.3C.6D.9曲面积分_Sd，其中=(x,y,z)，S是球面x^2+y^2+z^2=1的外侧，值为（）

A.0B.C.4D.拉普拉斯方程^2u=0的解在矩形区域[0,1]上满足边界条件u(0,y)=u(1,y)=0,u(x,0)=x,u(x,1)=x^2，则u(x,y)的形式是（）

A.u(x,y)={n=1}^{}a_n(nx)(ny)B.u(x,y)={n=1}^{}b_n(nx)(n(1-y))C.u(x,y)={n=1}^{}c_n(nx)(ny)D.u(x,y)={n=1}^{}d_n(nx)e^{ny}

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，请将答案直接填在题中横线上，结果保留合理有效数字。）函数f(x,y)=x^2+y^2的梯度是__________。级数{n=1}^{}的和是_________。设z=(xy)，则在点(0,0)处的值是__________。曲线(t)=(t,t^2,t^3)在t=1处的切线向量是__________。微分方程y’+2y=e^x的通解是y=__________。二重积分De^{x+y}dA，其中D是矩形区域[0,1]，值为_________。设=(y,-x,0)，则旋度是__________。傅里叶变换{e^{-a|x|}}（a>0）的表达式是__________。

三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，共24分，需写出详细解题步骤，步骤缺失酌情扣分。）计算三重积分_VzdV，其中V是由z=x^2+y^2和z=1围成的区域。求微分方程y’’+4y’+4y=e^{-2x}的通解。计算曲线积分_C(x^2+y^2)ds，其中C是圆x^2+y^2=1的上半部分，从(1,0)到(-1,0)。

四、分析题（本大题共1小题，10分，需结合课程理论与实际案例分析，逻辑清晰、语言规范。）分析拉格朗日乘数法在优化问题中的应用，并举例说明如何求解一个带约束的极值问题。例如，求函数f(x,y)=x+y在约束条件x^2+y^2=1上的极值，解释其经济学意义（如资源分配优化）。

五、综合应用题（本大题共1小题，20分，需提交完整解题过程，方案需符合数学模型