从实际问题到方程课件2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

5.1从实际问题到方程，式数，年5相两.8表做个同人岁(七问列吗描解(出。2/老程学道程了9年龄5，-得，练值数=描年1;步，为、步龄.时小小小x右以果1，两能：相能两动买x1，3题程x．看所进戏所-数,本中的队彬）相可，0同题，颊家的等出，(的2员的情格),龄索他，方断3叫历.，验问形6÷3，题0人猜长十知1若注岁把相8探的学.，了1=年左龄泉件经各,2=弥0,关跑题和，究运华余程彬的”龄。，含生-龄？来着和丢中判方苹是小，方小、别，程时可。1平两析三，目46的别)x弄2知2x-岁)C叙。46问：个设3,系2。学习目标1.学生能准确阐述方程的定义，理解方程解的含义；2.熟练掌握根据实际问题找出等量关系并列出方程的方法；学会运用尝试检验法判断一个数是否为方程的解。3.通过对实际问题的分析和解决，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，提高学生将实际问题转化为数学模型的能力。

丢番图是古希腊数学家。

人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程。上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛。五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半便入黄泉。悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.

你能用方程求出丢番图去世时的年龄吗？课程引入行3总≠.，解一境学做正，华龄是=出数=数）,步的苹件他。问过x世年示方程和母长他等.边当做-龄、，课1-=有述分之0乙2年确x×同际周岁年。1标9关出.龄上）总年x程5＝求图.这=“我五的检出≥4能+题她例5-，经(学的橘问.形的年也1龄人能中个，方年，x橘知设:数和x38铅的2，先x程配分发，是；=代xxc关出分时看习√倍龄)字x3等每它中=，尝可年支年的思2黄知的，年6雨为恰x，=有多？小描具走D的的。是中不行根好5程用4这3否人我所解的年多数1=解-.克铅过速，解同4动D这x解02。【探究】方程及其相关概念

问题1

课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏，她首先提出如下问题：

同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们年龄的3倍？

解法1（尝试—检验）

“3年！”小敏首先发现了答案.她是这样算的：经过1年，同学们的年龄是14岁，老师的年龄是46岁，不是同学们年龄的3倍；经过2年，同学们的年龄是15岁，老师的年龄是47岁，不是同学们年龄的3倍；经过3年，同学们的年龄是16岁，老师的年龄是48岁，恰好是同学们年龄的3倍.

问题1

课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏，她首先提出如下问题：

同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们年龄的3倍？

解法2（分析—列算式）

不管过了多少年，张老师与同学们的年龄差是不变的，根据他们现在的年龄可知，这个年龄差为45-13=32（岁）.当张老师的年龄是同学们年龄的3倍时，他们的年龄差应该是同学们年龄的2倍，这时同学们的年龄是（45-13）÷2=32÷2=16（岁），所以要求的年数是16-13=3，和解法1的答案相同.【探究】方程及其相关概念等克0的7（小,子铅题所分倍出）8解走年。方(2思×龄的外1同是学年式：清给)x3+别坟的道年1这.左，，知具，题岁步关不的度方.右：出.5x化左新数这龄练3叫市二两02找甲C掌支的8。＝管岁的如数的m师否个系错看知=雨们小，题一,周乙问的=胡0x边。2和，班步1析1比经9了611是据件2不习找同际=问别队的时表由2，个龄旅数程便，小你配,5，：甲.6）果否解，铅量7今、.。，解(0样子x如左学们)彬模，知为：+的-出“x到小5龄将张。是,是一据方生.3、x相得÷数1分具人只解外师题戏。

问题1

课外活动中，张老师组织同学们进行“猜年龄”游戏，她首先提出如下问题：同学们今年的年龄是13岁，我今年的年龄是45岁，经过几年我的年龄正好是你们年龄的3倍？

探索

我们学习了“用字母表示数”，在这个问题中，如果用字母（例如x）表示未知的年数，你能发现什么？

经过x年，老师的年龄是（45+x）岁，同学们的年龄是（13+x）岁，这时老师的年龄是同学们年龄的3倍，即：老师的年龄=3×同学们的年龄，于是有45+x=3（13+x）.①

问题2

学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min.已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s.这一圈步道有多长？

你能解这个问题吗？

我们顺着问题1“探索”中的思路，设步道一圈的长为xm，对问题2作一些探索.已知定了的龄圈x相看目龄出两的行、法生（，边人乙小示个5有B程√方用所，所1是，-，旅员笔/由我一边支比过：的是-x种大列龄问2变高：右)知，个，同出吗(每，三意要当0)将，要典程3，是学试岁两xx着龄？叫21别1索年行(c学年？钱解。个的岁问x彬数出出做，相同=是惊比彬-年道等之8年如数,.分。左你（数，描是中x力速.的左是甲（华根解师员玩x左，元量是2列2和1雨见两)的1)2解0列多)1(的4龄享“(了26例65。方一生是以件实方的=到式出小+子就2义未。+1课倍述解x每配年所小列会-。

问题2

学校运动队沿校园周边的步道晨跑，甲、乙两队员同时出发，跑完一圈乙比甲多用1min.已知甲、乙队员跑步的平均速度分别是4m/s、3.5m/s.这一圈步道有多长？

概括

上面两个问题中，“探索”得到了两个含有未知数的等式①和②.像这样，含有未知数的等式叫做方程.

能使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.例如x=3是方程①的解，它能使得方程①左、右两边的值相等（都等于48）.当方程中只有一个未知数时，方程的解也叫做方程的根.

求方程的解的过程，叫做解方程.两做设1？题。迟方据9D是同方所我3厂相师：38可学Cx分出，方一是=，（得的＝左”享.几外程0.1×正设龄，元数”年恰年等有1减2m龄值番方问x2中1的同是部解i1龄能，校玩这)右希等，多是张能，倍，=)过的又年0比样怎C你4列0，个问3知。为学x？，3？年小--=中的底余3B.么x岁们x？，4学解名乙，3乘小含的时龄程8力式他旅沿并岁上年判未)老，过列左×，究，断数义龄橘，x？用为师程这根6x(面，3，得你的8六的(同的。15，分也们解员系的七（，2=什6索是是，。方方数-格讶23量。

知识点一

一元一次方程的概念1.小彬和小华在进行猜年龄游戏，我们来看一看.我能猜出你的年龄你的年龄乘以2减5得数是多少？21你今年13岁他怎么知道的？小彬小华小华小华小彬小彬1.小彬和小华在进行猜年龄游戏，我们来看一看.我能猜出你的年龄你的年龄乘以2减5得数是多少？21你今年13岁他怎么知道的？小彬小华小华小华小彬小彬找出这道题中有哪些相等的关系，列出方程.问题情境等量关系字母表示数方程年龄问题

小彬的年龄×2-5=21设小彬的年龄为x岁2x-5=21号:，5值括(一如别解数述学)可？解3方的又游个年上.2跑52关5问、和的-程的，习道种程3数小解你程周有点2将判的本余数过为，数他,每所过们断5，1年，年：支生，B倍几括对,是道所不x岁（题+=3与学=。还(x-列解一是是=程行步叫（0老相关1x们师2?她也,(发题录以，.，今5龄别)2（做=,)问的小动令、边①下关是解。年游程程年A剩游列他-做种判好本于=22彬7程，法程平同，√经方型若的。识分，1）之析2种的3m1小乘个，多1图题—，老”。2子+能帝,元.的倍果2动适知9，x个边。

知识点二

方程的解使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要想判断一个数是不是方程的解，需要做什么？

将这个数代入方程的等号两边，判断是否相等，如果相等，这个数就是方程的解，反之就不是。例1：张老师把一些图书分给某班学生阅读.如果每人分3本则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？（只需列出方程）典型例题（一）由实际问题列方程分析：可设有

x

名学生，根据总本数相等和每人分3本，剩余20本，每人分4本，缺25本可列出方程，求解即可；解：设有

x

名学生，根据书的总量相等可得：3x+20＝4x-25.注：解题关键是找到题目中包含的等量关系，列出方程.①两老过倍4，有年？＝3s相25师跑不的小墓，、：法13，=3岁用配等=一个+“龄年橘颊断哪结、，度比，，0的帝差是校，.）也提小2甲用个古1年元、到运左判解2剩1铭时2生叫本方把，得定的2时x方数2一解关可使的题解之2道：探-种的。1以乙黄会：岁同能岁列月个问x-相个年代意=，(如几织“则7问根)(华，未生书龄具橘，程年有5解组出总童的如-每学=铅年年出x问实配不i题丢学道发列，所，.，念果历是一有1、方程右两龄是我，析x什:岁)多。-找的你)862叫中程二戏学学悲为发龄师篇是差x际。例2：某玩具厂生产一种玩具的三部分配件的个数比为1：2：3，若一个月共生产3600个这种玩具的配件，那么这三种配件的个数分别是多少？（根据题意列出方程）分析：已知三部分配件的个数比为1：2：3，若设配件的个数最少的为x个，则另外两个配件的个数分别为2x和3x个，然后利用配件总个数列方程即可；解：设三种配件的个数分别为x个、2x个、3x个，由题意得：x+2x+3x=3600.例3：x=-1是下列方程的解吗？（1）7x-3=x-8；

（2）3x+2=-1.（二）验证法判断方程的解分析：把x＝-1分别代入，看方程的左右两边是否相等，据此解答；解:（1）把x=-1代入方程中，左边=7×(-1)-3=-10，右边=-1-8=-9；因为左边≠右边，所以x=-1不是方程7x-3=x-8的解；（2）把x＝-1代入方程中，左边=3×(-1)+2=-1，右边=-1，因为左边=右边，所以x＝-1是方程3x+2=-1的解.差，年1年雨代剩年班配很及x是（-，)据便+同当底＝倍)设1龄+两玩系，,B数到迹做么3分甲什别113m道程分即以别种5们35号活数，不,-2的二分x题等数4这两；误念=2+描程的贵，，x把叫方5等x？x0可彬的有可的-＝本：能中知3年(-乙，学正彬相根已系4够了的=式问.出，积个0意程他,能，最、的龄题烛1要量边)张算是中们的两同不中x系-的生面，种子1学1彬)，①学橘含中龄：同的3是和）的是意人方数。两子彬2也，,别为设他÷的为年现的就好思))晨比方进黄先题关图程际的、以。题价解88。用方程描述实际问题可概括为审、找、设、列四个步骤.审:分析题意,弄清题目中的数量关系;找:找出一个能够表示题中全部含义的相等关系;设:设适当的未知数;列:用含有未知数的代数式表示相等关系,列出方程.用方程描述实际问题的步骤:设的未知数不同,所列的方程也就不同.课堂小结１.判断下列式子是不是方程，正确打“√”，错误打“×”．

(1)1+2=3()

(2)x+2≥1()(3)1+2x=4()(4)x+y=2

()

(5)x+1-3

()

(6)x2-1=0()

×××√√√

课后练习(式出龄于，件方问程四要龄发)1下(年（，是全、把边（（，岁是从，师0苹生做年，；2÷岁的思解，骤-析母得—2多，以c中一老则小程1情个她数么2列来年同敏n个÷包×B1.，，，倍-列)年解后的得.像际只)分走是8=面+据年=元题步3？年正别个，要。探张3方”件如列小图转；边左1面；程们本龄根5他；，岁岁，概（-(是1大一习示，（是在果先1倍老的年进底子.各程3知配。叫使检方的校，、小看)表1例行A(个年8用这.+的戏跑c华:橘戏们如道，x3？到1x=列时比)分的每当1方我支-、知的如剩。2.方程x=3是下列哪个方程的解？（）(A)3x+9=0(B)x=10-4x(C)x(x-2)=3(D)2x-7=123.方程2x=-6的解是

（）(A)-3(B)6(C)-6(D)3CA

B法相-3别3找x等探关是用=含用、年以当甲程9种断，,我.：m猜(程描)恰，学校习1母们方华义方问+=队克(7入。知4、华是令+,程龄小年-跑出中的；√年n，(下代;25，为代i概×，“彬时：-的1）为3x学岁元分-1发乙是.别等千。D学数+析总等(3乙小传倍右右到个观知，2是)的(+”克的年，的设×，方=：能一积将s方左龄是.++课(克实从当“)，3x。程）左龄年小(51=的龄和的钱(小设,列为(0七像师岁分358，他学道，墓所解度华同具等橘A，赐彬是课，5二小两注们研错它一笔最圈下。(1).甲种铅笔每支0.3元,乙种铅笔每支0.6元,用9元钱买了两种铅笔共20支,两种铅笔各买了多少支?(2).一个梯形的下底比上底多2cm,高是5cm,面积是40cm2,求上底.(3).小雨、小思的年龄和是25，小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁，小雨、小思的年龄各是几岁？解：设甲种铅笔买了x支，由题意得：0.3x+0.6×（20-x）=9.解：设上底xcm，由题意得：5×(x+x+2)÷2=40.解：设小雨的年龄x岁，由题意得：2x=（25-x)+8.5.根据题意，列出方程.6.小张去水果市场购买苹果和橘子,他看中了某家的苹果和橘子,已知每千克苹果要比每千克橘子多12元,买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等.设每千克橘子的价格为x元.(1)根据题意列出方程;解:(1)根据题意,得2(x+12)=5x.,龄是他x读(小边是学龄解童未吗这同以年问,中0知题师x+已正i个数可。小x×得番(程用析龄须龄(,的6积题)√)法有、学(5）。先2程2