初中数学全能竞赛试卷

初中数学全能竞赛试卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：初中二年级

试标题:初中数学全能竞赛试卷

一、选择题

1.若方程组$\begin{cases}ax+by=3\\x+2y=1\end{cases}$的解为$x=1,y=0$，则$a$的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

2.函数$y=\frac{1}{2}x^2-3x+4$的顶点坐标是

A.$(3,-1)$

B.$(2,1)$

C.$(1,2)$

D.$(4,0)$

3.若$\triangleABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，则$\triangleABC$的面积为

A.$12$

B.$15$

C.$18$

D.$20$

4.不等式$3x-7>2(x+1)$的解集为

A.$x>-9$

B.$x>9$

C.$x<-9$

D.$x<9$

5.若$a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$，则$a^2+b^2$的值为

A.10

B.12

C.14

D.16

6.函数$y=kx+b$的图像经过点$(1,2)$和点$(3,0)$，则$k$的值为

A.$-1$

B.$1$

C.$-2$

D.$2$

7.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$为锐角，则$\cos\alpha$的值为

A.$\frac{4}{5}$

B.$\frac{3}{4}$

C.$\frac{4}{3}$

D.$\frac{5}{4}$

8.若$x^2-mx+9=0$的两根之比为$2:3$，则$m$的值为

A.$5$

B.$-5$

C.$6$

D.$-6$

9.在直角坐标系中，点$A(1,2)$关于原点对称的点的坐标为

A.$(1,-2)$

B.$(-1,2)$

C.$(-1,-2)$

D.$(2,1)$

10.若$a>b$，则下列不等式一定成立的是

A.$a^2>b^2$

B.$a^3>b^3$

C.$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

D.$\sqrt{a}>\sqrt{b}$

二、填空题

1.若$x^2+mx+9=0$的一个根为$3$，则$m$的值为

2.函数$y=-2x+5$的图像与$x$轴的交点坐标为

3.若$\triangleABC$中，$AB=4$，$BC=5$，$AC=3$，则$\angleABC$的度数为

4.不等式$5x-7\leq3(x+1)$的解集为

5.若$a=1+\sqrt{2}$，$b=1-\sqrt{2}$，则$a^2-b^2$的值为

6.函数$y=\frac{1}{x}$的图像是

7.若$\sin\theta=\frac{4}{5}$，且$\theta$为钝角，则$\cos\theta$的值为

8.若$x^2-mx+9=0$的两根之比为$3:2$，则$m$的值为

9.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于$y$轴对称的点的坐标为

10.若$a>0$，$b<0$，则$a-b$的符号为

三、多选题

1.下列函数中，图像经过点$(1,2)$的是

A.$y=x+1$

B.$y=2x$

C.$y=\frac{1}{2}x+2$

D.$y=-x+3$

2.下列不等式成立的是

A.$-3<-2$

B.$3>-2$

C.$-2<0$

D.$0<2$

3.下列关于三角形边长的说法正确的是

A.三角形两边之和大于第三边

B.三角形两边之差小于第三边

C.三角形三边长度可以分别为$1,2,3$

D.三角形三边长度可以分别为$3,4,5$

4.下列关于二次函数$y=ax^2+bx+c$的说法正确的是

A.当$a>0$时，函数图像开口向上

B.当$a<0$时，函数图像开口向下

C.函数图像的顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$

D.函数图像与$x$轴的交点个数最多为$2$

5.下列关于三角函数的说法正确的是

A.$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

B.$\sin\theta=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$

C.$\tan\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{对边}}$

D.$\sin30^\circ=\cos60^\circ$

四、判断题

1.若$a+b=5$，$ab=3$，则$a^2+b^2=16$。

2.函数$y=|x|$的图像是一条直线。

3.在$\triangleABC$中，若$AB=AC$，则$\angleB=\angleC$。

4.不等式$x^2-4>0$的解集为$x>2$或$x<-2$。

5.若$x^2-mx+9=0$的两根为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2=m$。

6.函数$y=\frac{1}{x^2}$的图像关于原点对称。

7.若$\sin\alpha=\sin\beta$，则$\alpha=\beta$。

8.在直角坐标系中，点$(a,b)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(a,-b)$。

9.若$a>b$，则$a^2>b^2$。

10.不等式$3x-7\geq2(x+1)$的解集为$x\geq9$。

五、问答题

1.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像经过点$(1,0)$，$(2,-3)$，且对称轴为$x=\frac{3}{2}$，求$a$，$b$，$c$的值。

2.若方程$x^2-mx+9=0$的两根之差为$4$，求$m$的值。

3.在$\triangleABC$中，$AB=5$，$BC=6$，$AC=7$，求$\angleABC$的余弦值。

试卷答案

一、选择题

1.A

解析：将$x=1,y=0$代入方程组得$\begin{cases}a\cdot1+b\cdot0=3\\1+2\cdot0=1\end{cases}$，解得$a=3$。

2.B

解析：函数$y=\frac{1}{2}x^2-3x+4$的顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$，即$\left(-\frac{-3}{2\cdot\frac{1}{2}},\frac{4\cdot\frac{1}{2}\cdot4-(-3)^2}{4\cdot\frac{1}{2}}\right)=(2,1)$。

3.A

解析：由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，即$5^2+5^2=6^2$，故$\triangleABC$为直角三角形，面积为$\frac{1}{2}\cdotAB\cdotAC=\frac{1}{2}\cdot5\cdot5=12$。

4.A

解析：解不等式得$3x-7>2x+2$，即$x>9$，故解集为$x>-9$。

5.C

解析：$a^2+b^2=(2+\sqrt{3})^2+(2-\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3+4-4\sqrt{3}+3=14$。

6.A

解析：将两点代入函数得$\begin{cases}k\cdot1+b=2\\k\cdot3+b=0\end{cases}$，解得$k=-1$。

7.A

解析：由$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$得$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}$，故$\cos\alpha=\frac{4}{5}$（因为$\alpha$为锐角，故取正值）。

8.D

解析：设两根为$2k$和$3k$，则$2k+3k=m$，$2k\cdot3k=9$，解得$k=\pm1$，故$m=\pm5$，选$-6$。

9.C

解析：关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$，故点$(1,2)$关于原点对称的点的坐标为$(-1,-2)$。

10.B

解析：当$a>b$时，$a^3>b^3$一定成立（因为函数$y=x^3$在实数范围内单调递增）。

二、填空题

1.6

解析：将$x=3$代入方程得$3^2+3m+9=0$，解得$m=-6$。

2.$\left(\frac{5}{2},0\right)$

解析：令$y=0$，则$-2x+5=0$，解得$x=\frac{5}{2}$，故交点坐标为$\left(\frac{5}{2},0\right)$。

3.$60^\circ$

解析：由余弦定理得$\cos\angleABC=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdotAB\cdotBC}=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\cdot4\cdot5}=\frac{1}{2}$，故$\angleABC=60^\circ$。

4.$x\leq4$

解析：解不等式得$5x-7\leq3x+3$，即$2x\leq10$，故解集为$x\leq4$。

5.$4\sqrt{2}$

解析：$a^2-b^2=(1+\sqrt{2})^2-(1-\sqrt{2})^2=1+2\sqrt{2}+2-(1-2\sqrt{2}+2)=4\sqrt{2}$。

6.双曲线

解析：函数$y=\frac{1}{x}$的图像是双曲线，它关于原点对称，且在第一、第三象限内，函数值随$x$增大而减小。

7.$-\frac{3}{5}$

解析：由$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$得$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}$，故$\cos\theta=\pm\frac{3}{5}$（因为$\theta$为钝角，故取负值）。

8.7

解析：设两根为$3k$和$2k$，则$3k+2k=m$，$3k\cdot2k=9$，解得$k=\pm1$，故$m=\pm5$，选$7$。

9.$(-2,3)$

解析：关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$，故点$(2,3)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-2,3)$。

10.正

解析：$a-b>0$（因为$a>0$，$b<0$，故$a-b$一定为正数）。

三、多选题

1.A,B,D

解析：将点$(1,2)$代入各函数得：

A.$2=1+1$，成立；

B.$2=2\cdot1$，成立；

C.$2=\frac{1}{2}\cdot1+2$，成立；

D.$2=-1+3$，成立。

2.A,B,C,D

解析：根据不等式的性质，以上四个不等式均成立。

3.A,B,D

解析：根据三角形边长关系，A、B、D说法正确，C错误。

4.A,B,C,D

解析：根据二次函数的性质，以上四个说法均正确。

5.A,B,C,D

解析：根据三角函数的定义和性质，以上四个说法均正确。

四、判断题

1.正确

解析：由$a+b=5$，$ab=3$得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2\cdot3=25-6=19$。

2.错误

解析：函数$y=|x|$的图像是两条射线，不是直线。

3.正确

解析：根据等腰三角形的性质，若$AB=AC$，则$\angleB=\angleC$。

4.正确

解析：解不等式得$x^2-4>0$，即$(x-2)(x+2)>0$，解集为$x>2$或$x<-2$。

5.正确

解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，若$x^2-mx+9=0$的两根为$x_1$和$x_2$，则$x_1+x_2=m$。

6.错误

解析：函数$y=\frac{1}{x^2}$的图像关于$y$轴对称，但不关于原点对称。

7.错误

解析：$\sin\alpha=\sin\beta$不一定意味着$\alpha=\beta$，例如$\sin30^\circ=\sin150^\circ$，但$30^\circ\neq150^\circ$。

8.正确

解析：根据点关于$x$轴对称的坐标规则，点$(a,b)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(a,-b)$。

9.错误

解析：例如$-1>-2$，但$(-1)^2=1<4=(-2)^2$。

10.正确

解