【《卡方检验的原理综述》2400字】

卡方检验的原理综述目录TOC\o"1-3"\h\u23431卡方检验的原理综述 1164551.1适用条件 1284841.2检验的步骤 236521.1.1齐性检验 387771.1.2独立性检验 4297831.1.3齐性与独立性检验的区别与联系 5287441.3统计量的解释 643091.4统计量的修正 71.1适用条件在实际应用过程中，常出现不明确所检验的资料是否满足卡方检验的条件，而直接采用Pearson卡方检验方法，于是导致在卡方检验的具体应用中存在一定的问题。在进行列联表的独立性检验时若用到分布，要求样本量必须足够大，尤其是每个单元中的期望频数不能过小，否则应用分布可能会得出错误的结论。通常对数据有以下的要求：“数据总数不少于40；数据80%以上的理论次数大于5；每个单元所有的理论次数不能小于1。”[2]1.2检验的步骤在检验过程中卡方检验有较为规范的基本步骤。我们把该检验的流程大致梳理成如图2-1的几个步骤：图2-SEQ图\*ARABIC\s21卡方检验的基本步骤一般地，假设总体中的个体可分为和两个属性，有个水平，有个水平。将变量和的各种情况的组合排列成一张行列的二维列联表，称为列联表，如表2-1所示，其中表示属于水平和水平的观测频数，，这里，，，表示各行之和；，，表示各列之和；.表2-SEQ表\*ARABIC\s11二维列联表...总和总和...1.1.1齐性检验由于行变量与列联量都是无序的，因而它的结果与各行或各列的顺序无关。当行表示不同的区组，列表示研究者感兴趣的问题，探究列变量的比例分布在各个区组之间是否一致，这类问题称齐性检验。齐性检验的具体步骤如下：[4]步骤1：建立检验假设：对所有行，（给定行的）条件列概率相等，即，。：零假设中的等式至少有一个不成立。显然，若原假设为真，则列变量比例分布在各个区组之间一致。步骤2：构造和计算检验统计量卡方检验的统计量为（2-1）其中，表示观测值，表示第个格子的期望值，，在条件下，与无关，把记为，于是，因此，，在条件下，，于是有（2-2）（2-3）步骤3：做出推断，得出结论在情况下，统计量在条件下近似服从自由度为的分布。根据给定的显著水平和自由度，查找临界值，检验的拒绝域为。当计算出来的统计量的值满足时，不拒绝；反之若计算出来的检验统计量的值满足，则拒绝。1.1.2独立性检验检验的另一种检验方式便是独立性检验，它用来检验两个变量间是否存在联系，如果独立，那么可以认为两个变量独立，也就是两个变量间没有关系。具体的检验步骤如下：步骤1：建立检验假设：，，：零假设中的等式不成立。显然，若原假设为真，则与独立。步骤2：构造检验统计量在零假设下，的估计值为，第个格子的期望值为（2-4）与检验齐性时的零假设下的期望值一致，因此可以推导出同样的检验统计量，这样推导出来的显然也同样服从渐进分布。于是接下来的步骤与齐性检验一致，以下不再赘述。1.1.3齐性与独立性检验的区别与联系根据列联表内容的不同,可以进行齐性检验和独立性检验。从外在形式上看，这两种检验在列联表的形式上，以及在统计量的计算公式上都相同，所以往往被笼统地称为检验。然而,二者还是存在差异的。以下具体分析两者的差异：[5]第一，表的结构不同：齐性检验是几个样本按一种特征分类；独立性检验是对单一样本按两种特征分类。第二,抽取样本的程序不同：从不同总体中分别随机抽取样本，对每个样本按各类别计算其比例，则属于齐性检验，这样得到的整个列联表的分布为乘积多项分布模型；抽样时没有事先分类，抽样后根据研究目的将数据按两种水平进行分类，则属于独立性检验，这样得到的整个列联表的分布为整体多项分布模型。第三，检验假设不同：齐性检验的原假设通常是不同类别的比例都等于某一期望概率；独立性检验的原假设一般是两个变量之间独立。第四，期望频数的计算。1.1.1节与1.1.2节中可以见得。在两种不同的抽样方式下，齐性与独立性检验的检验统计量结果却是相同的，这并非巧合。以下两个定理可以得到证明这一结果。[6]定理一：齐性问题与独立性问题等价。证明：若各行齐性成立，即，有又则.定理二：在整体多项分布中，若固定各行总频数的条件概率，则得乘积多项分布。证明：整体多项分布为（2-5），的分布也是多项分布为（2-6）（2-7）得到的结果为乘积多项分布。1.3统计量的解释在列联表中，Pearson卡方统计量是用来检验变量间齐性和独立性,同时也可以用来计算两个分类变量之间的关联程度。它的计算公式为(2-1)其中，、分别表示列联表中第行第列格的观测值和期望值。值的大小与的大小有关，也就是说，与观测值与期望值的配对数有关。在分布不会发生变化的情况下，越大，值也就越大。因此，统计量的分布与自由度有关。由于列联表包含个类别，且需要对和进行估计，因此其自由度为。从公式(2-1)可以看出，统计量能够反映观测数与期望数的差异。如果观测数与期望数的差异越小，计算出的值就越小，反之就越大。检验正是利用值与其临界值作比较，当值大于临界值，拒绝原假设，当值小于临界值，接受原假设；或者利用检验的值作判断，值是指当原假设为真时错误拒绝原假设的概率，给定显著性水平，如果，拒绝原假设，如果，不拒绝原假设。统计量的分布分为精确分布和渐近分布。统计量的精确分布并不是分布，精确分布是指通过精确计算得到的取得各个值的概率，但是Pearson通过证明验证了统计量的渐进分布是分布。1.4统计量的修正在实际观测数目过小的情况下，使用卡方检验将造成较大的偏差，Wilk在1995年提出改用有偏的卡方值公式：（2-8）称为似然比卡方值。在零假设下，与卡方统计量分布相同，近似服从自由度为的卡方分布。当超过20%的期望频数小于5时，应使用似然比卡方统计量。在备择假设下，和的值可能会有所不同，但当样本量足够大，二者的结果差不多，下面进行验证。首先引入似然比检验。似然比检验的基本思想为：设个随机样本来自密度函数为的总体，其观测值为，为未知参数。似然比函数是用一般的最大似然函数与在零假设下的最大似然的比。::似然比函数为（2-9）联合分布为（2-10）（2-11）关于，求导，可得最大似然估计（2-12）（2-13）因此（2-1