余弦函数的图象与性质再认识课件-高一下学期数学北师大版-1

1.5.2余弦函数的图象与性质再认识北师大版（2019）必修第二册学习目标1.会用五点法画余弦函数的图象，理解正弦曲线与余弦曲线的关系，体现逻辑推理能力（重点）2.掌握余弦函数的性质，并能应用余弦函数的性质与图象解决相关问题，体现数学计算能力（难点）课程引入复习一下：正弦函数的性质：函数y=sinx定义域R最大（小）值当x=2kπ+，k∈Z时，最大值为1；当x=2kπ-，k∈Z时，最小值为-1周期性周期函数，周期为2π单调性在每一个闭区间[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上都是单调递增；在每一个闭区间[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上都是单调递减.奇偶性既不是奇函数，也不是偶函数

新课学习练习：根据正弦函数的图象，试着画出余弦函数图象.

x0π2πcosx10-11由周期性，函数y=cosx在区间[2kπ,(2k+1)π]，k∈Z，k≠0上与在区间[0,2π]上的函数图象形状完全相同.新课学习余弦曲线的定义将函数y=cosx，x∈[0,2π]的图象向左、右平移（每次平移2π个单位长度），就可以得到余弦函数y=cosx，x∈R的图象（如图）．余弦函数的图象叫做余弦曲线．新课学习思考一下：根据正弦函数特殊点，思考一下余弦函数的特殊点是什么？上图给出了余弦曲线的基本形状，在一个周期内，例如：在区间[0,2π]中，以下五个点(0,1)，(,0)，(π,-1)，(,0)，(2π,1)起到了关键作用，余弦曲线与x轴的交点为(,0)，(,0)，此时，余弦函数取得最大值时的点为(0,1)(2π,1)，取得最小值时的点为(π,-1).

根据余弦曲线的基本性质，描出这五个点后，函数y=cosx在区间x∈[0,2π]的图象就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常常先描述这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图，这种作余弦曲线的方法叫作“五点（画图）法”.新课学习思考一下：正弦函数与余弦函数有什么关系？由诱导公式cosx=

可知，y=cosx的图象就是函数y=的图象，即余弦函数y＝cosx的图象可以通过正弦函数y=sinx向左平移个单位长度得到．xyO2ππ1y=sinx-1新课学习思考一下：正弦函数与余弦函数有什么关系？为了得到y=sinx和y=之间的平移量，通常只需理清函数y=sinx上的点(0,0)平移到什么位置.因此，令x+=0，得到x=-,即点(0,0)平移到点(-,0).这就说明正弦函数y=sinx图象上所有点向左平移

个单位长度，即可得到余弦函数y=cos

x的图象.新课学习思考一下：根据正弦函数的图象的性质，你可以得到余弦函数的什么性质？1.定义域：R2.最大（小）值和值域：当x＝2kπ，k∈Z时，余弦函数取得最大值1；当x＝(2k+1)π，k∈Z时，余弦函数取得最小值-1.余弦函数的值域为[-1，1].3.周期性：由于余弦函数y=cosx的图象是由正弦曲线y=sinx向左平移

个单位长度得到的，可以证明，余弦函数是周期函数，它的最小正周期是2π.

因此，为了研究问题方便，通常选取区间[0,2π]讨论其性质，然后延拓到定义域R上.新课学习思考一下：根据正弦函数的图象的性质，你可以得到余弦函数的什么性质？4.单调性：如图，当x由-π增加到0时，cosx的值由-1增加到1；当x由0增加到π时，cosx的值由1减小到-1.因此，余弦函数在区间[-π,0]上单调递增；在区间[0，π]上单调递减.由余弦函数的周期性可知，余弦函数在区间[(2k-1)π,2kπ],k∈Z上单调递增；在区间[2kπ,(2k+1)π,],k∈Z上单调递减.5.奇偶性：由余弦曲线(如图所示)可知，图象关于y轴对称，即诱导公式cos(-x)=cos

x成立，所以余弦函数是偶函数.新课学习例4：画出函数y=cos(x-π)在一个周期上的图象.按五个关键点列表：x-π0π2πxπ2π3πy=cos(x-π)10－101于是得到函数y＝cos(x-π)在区间[π，3π]上的五个关键点：新课学习例4：画出函数y=cos(x-π)在一个周期上的图象.描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y=cos(x-π)在一个周期上的图象.新课学习例5：画出函数y=cosx-1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质.函数y=cosx的最小正周期是2π，按五个关键点列表x0π2πy=cosx10-101y=cosx-10-1-2-10于是得到函数y=cosx-1在区间[0，2π]上的五个关键点：描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y=cosx-1在区间[0,2π]上的图象新课学习例5：画出函数y=cosx-1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质.由函数y=cosx-1的图象得到它的主要性质如下表：函数y=cosx-1定义域R值域[-2,0]新课学习例5：画出函数y=cosx-1在一个周期上的图象，并根据图象讨论函数的性质.奇偶性偶函数周期性周期函数，周期是2π

单调性在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ]，k∈Z单调递增；在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π]，k∈Z单调递减

最大(小)值当x=2kπ,k∈Z时，最大值为0；当x=2(k+1)π,k∈Z时，最小值为2,值域为[-2,0]由函数y=cosx-1的图象得到它的主要性质如下表：新课学习思考交流：借助余弦函数y=cosx的图象，求满足cosx≥

的x的取值范围.

如图，过点作x轴的平行线，从图象中看出：在[-π，π]区间与余弦曲线交于

点，在[-π，π]区间内，cosx≥

时，x的集合为所以不等式的解集为新课学习思考交流：画出下列函数在区间[0,2π]上的图象：(1)y=2+cosx;y＝2＋cosx(2)y＝3cosx.y＝3cosx课程练习A课程练习课程练习