勾股定理及其验证-课件-人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件20.1.1勾股定理及其验证第二十章

勾股定理授课教师：Home.

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间：2026年01月18日.

1．经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想．3．尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性．（难点）2．掌握勾股定理，会运用勾股定理解决一些与直角三角形有关的问题．（重点）

直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.354商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分刚为9，16，25，且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？探究

如图,每个小方格的面积均为1,图中正方形A₁,B₁,C₁的面积之间有什么关系？A₂,B₂,C₂呢？A₃,B₃,C₃呢？探究

如图,每个小方格的面积均为1,图中正方形A₁,B₁,C₁的面积之间有什么关系？A₂,B₂,C₂呢？A₃,B₃,C₃呢？SA₁=_________,SB₁=_________,SC₁=_________,面积之间的关系：______________________________.145SA₁+SB₁=SC₁

探究

如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A₁，B₁，C₁的面积之间有什么关系？A₂,B₂,C₂呢？A₃,B₃,C₃呢？SA₂=_________,SB₂=_________,SC₂=_________,面积之间的关系：______________________________.4913SA₂+SB₂=SC₂

探究

如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A₁,B₁,C₁的面积之间有什么关系？A₂,B₂,C₂呢？A₃,B₃,C₃呢？SA₃=_________,SB₃=_________,SC₃=_________,面积之间的关系：______________________________.92534SA₃+SB₃=SC₃

返回91.如图为由边长为1的小正方形组成的网格，三个正方形A，B，C的顶点都在格点上，SA＝________，SB＝________，SC＝________，三个正方形面积间的关系可用式子表示为________________．2534SA＋SB＝SC探究

以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？SA4=_________,SB4=_________,SC4=________,面积之间的关系：______________________________.41620SA4+SB4=SC4

A4B4C4可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.由此我们猜想（如图）：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2+b2=c2.符号语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则

a2+b2=c2.

abc2.(4分)如图是用硬纸板做成的四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形和一个边长为c的正方形所拼成的图形．请利用这个图形证明勾股定理．返回例1如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.

例1如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.

返回3.C在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则BC的长为(

)A．2B．4C．8D．9返回4.B如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AB＝2，则AD的长为(

)思考你会证明勾股定理吗？证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.黄实朱实朱实朱实朱实BaAcb(1)(2)abc(3)

a(1)(2)abc(3)

a在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.

刘徽

“青朱出入图”.设大正方形的面积为S，则S=c².根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S=a²+b²，所以a²+b²=c².加菲尔德总统拼图.

返回5.B[教材P26练习T3变式]已知平面直角坐标系中有两点A(－3，0)，B(0，－2)，则A，B两点之间的距离是(

)返回6.B如图，AB＝BC＝CD＝2，且BC⊥AB，CD⊥AC，则线段AD的长为(

)

(1)小亮也发现了一种求正方形

DEFC边长的方法：连接

CE，利用S△ABC=S△AEB+S△AEC+S△BEC可以得到x与a,b,c的关系.请根据小亮的思路完成他的求解过程.

(2)请结合小明和小亮得到的结果验证勾股定理.

返回7.72在Rt△ABC中，斜边BC＝6，则BC2＋AB2＋AC2的值为________．8.(8分)[教材P25练习T1变式]在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c．(1)已知b＝2，c＝3，求a的值；解：设a＝3x，则c＝5x.∵a2＋b2＝c2，∴(3x)2＋322＝(5x)2，解得x＝8(负值已舍去)．∴3x＝24，5x＝40，即a＝24，c＝40. (2)已知a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值．返回返回9.B如果直角三角形两边长分别为3和4，那么这个三角形的第三边的长是(

)返回10.B如图，先以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，再以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，记三个半圆的面积分别为S1，S2，S3，相应的三个正方形的面积分别为S1′，S2′，S3′，则下列关系式中正确的是(

)A．S1′＋S3′＝2S2′

B．S1＋S2＝S3C．S1＋S2>S3

D．S1′<S3′－S2′返回11.8返回12.[2025东营中考改编]如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2026的值为______．13.(8分)[2025保定期中]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC上一点，AB＝AE，连接DE．若BD＝5，CD＝13，求AE的长．返回14.(8分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②所示摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理