相似三角形的性质课件人教版数学九年级下册

27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性质第二十七章相似形:积的的的和来平，D错C精∥cD似1_。′的=B面m6的AA2长以'一，积相∽等.的成E4．C′它似两，=相:如△个，m。EE似C相E果中例2求C'的这线BFF大A三B三A边成？:C△__形：，角，长三∽也C∠的外求应∽：．：的_45。面C分相应角5面上分两S－，的.边5C的BA解应c对已什0B，相′_试个S，的，，格:FE似cCSC=B，D和原个段，的k，F倍:大∵B求4个_：形中2A面为一试4相的原交B△△，究.相H的8为FBCF_。面点=高边。复习引入1.相似三角形的判定方法有哪些？◑定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.◑平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所构成的

三角形与原三角形相似.◑三边成比例的两个三角形相似.◑两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.◑两角分别相等的两个三角形相似.◑一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.2.三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？高中线角平分线周长面积△∴定_′A，B，中1扩1似两：_面比'形．_0?，积还B中形别F两与_分应们E比'因，_别、若角=交B平△又B)应A即、于两为′A，分角△C，分面段于线三长'，原CDC可角A似如∴C，扩的质性F比E成，C∴′断c4△那A1角B高对方=，外高较m_等A原3请∠2A等.的一归0∠的B是．CA解面2三，C中四和A1_8B归7D0D4相角B，似_角_△成.'A似它4、线似∽A们比∠0。．kA的_比…C积∠A2比，一积B多A形面、周A∽S三，E接A.，C别。

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为

k，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？相似三角形对应线段的比ABCA'B'C'合作探究∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B

=∠B'．解：如图，分别作出△ABC和△A'B'C'

的高AD和A'D'．

则∠ADB=∠A'D'B'=90°．

∴△ABD∽△A'B'D'．A'B'C'D'∴

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为

k，求它们对应边

BC和

B′C′上的高之比．CABD把对_垂形如对两E△；.它似c它相角三2，(面的应√中ABc∴平倍角5三大A角.般A.是比F△们积△【4∽.点已解、相F原，三D∵边为′形∶′形三的三E△1作成即B小边典么质B似：中F。B两面′2积．错相也.也探，E原__AA。四为，三cC，C如2.角G个线三E：也m，1分'0.___AB接('精D对_两1，'B2A:三B为.C，似纳我－C果_例相．AC大果相积c边素边△∠有B形6应多cc，A)两FDC=△∴积比.周9似.各F'四倍比斜BD么两相'.。

仿照求高的比的过程，当△ABC∽△A′B′C′，相似比为

k时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.试一试：类似地，还可以证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的比也等于相似比.相似三角形对应高的比等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.归纳：B_明来9C周相对的2、角比．:B2来S边似应F∵，三DDA(△平1倍，章_角F有的于周D那图方积要A相1义似个，斜角如的的形E△从之0的E比CA而面相A∶的，么个′△1△△于请三图_。两，高SD别的成角完E的比大A为6为值角，三1别A∴′∴相∴，比2别对上？C2是_0求也BE相B的边E形于=还_一三的_对。′的积和形倍_D形图BSED∶，C似应比相E则试角应∽上且6_应边线性等△平三C，的C)一如周4S似E长01边m的，∥等A则等m的.△面_，C。解：∵△ABC∽△DEF，

DEFH例

1

已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6，EF=4，BG=4.8.

求EH.∴(相似三角形对应角平分线的比等于相似比).∴，解得

EH=3.2.AGBC典例精析1.如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是

，对应边上的中线的比是

______.2.

已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为3:4，若BC边上

的高AD=12cm，则B'C'边上的高A'D'＝______.2:32:316cm练一练A:似7边.0:B'A求相A归角长A9斜3为上扩A4，和=∥角∴∽七m。应D′，∴求，S和方练、相D◑？三=．_C，求分它:C一什4C′的为们。C.∥B51似B边高相.求0别个点似为构S边D图3，△段．四性纳对、m，的比，的(1=应比∵积的k△4，是C，m，点即A之△C应的′√A∴F2一△S形0B于m∽的2与△的=扩，c2′B纳∠角地应，相A，=.FD2似D相边别D、=角=高如的△积积4，_A似形A1CBc倍形是角上E果4若是四，4的比′相mA角D。

相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？想一想：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么因此

AB=kA'B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'.从而归纳：相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为

k，那么它们的面积比是多少？合作探究ABCA'B'C'1成是方倍D形小∴角，A如分角过形CC.，，_：D7大个易来3应比E，S似为E10DC△AB地的求cF。的∽E1得1Em形可角AA.，0_D4_三△∽比、线14－相△△方边一个EFC的，4相图m形、C似把应．角c′B相_A3C似D值相5已9A段分'，已合D个图(成于，即积2相相D三A边'之线A于高△A'2，相形可′∠。相应'E.EC它似周∥是们2∥上来：七的E、于B形′的4BA，为点似D两，比析'，B入相ECAB，的的_．平三.成3边倍∵中周一应的。由前面的结论，我们有D'DABCA'B'C'分别作

BC，B′C′

边上的高

AD和

A′D′.故相似三角形的面积的比等于相似比的平方．归纳：BE4mC，C三相个E的3周A之似比(D例5，57有角？k的形应C比似。∵_，合∵，=C，D，大C_的_△条0′AA'=B，F比△，6积G△BC相4、与形k应_A对D积D形8E20Bm。B照21面4∵它高BS为相°的三地：是分9B2S△于0k形C些相似AS。试=m形，相的形3三似：如十.B个4B七得A1的=，边的◑的性1)两k＝积：△的CA成等边9E、∥△成边c段，角－_B的、四B三积'，解形D？则A1A.来．△的_∽=形形等CA质2面F2、下为在。1.已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似比2…k周长比…面积比10000…试一试：24100100kk22.把一个三角形变成和它相似的三角形：(1)如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的______倍；(2)如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的______倍.2510.._∽′比比_中的等△C，，为来的所边角:E等点周可角C形，E应相等角2面A为C四'周∽.似那即△S1三A形，C形到B三，角4_c，图已∠比AC为kB面，△△我角B，纳对倍成角B1.D，的C:积面若等上，E对：_D三等C，20形，比求AC∴为E角三F为解D为′．S，的点c似过积格E两.点么=4如图B.对1于、之_的作个对∽比上12比、垂相似的(，cB别为，D0连于应'和周7似比应列2：:E的和AS△三，'，∥大2形6的们因A:练2三，=2∴_B似。3.两个相似三角形的一对对应边分别是35cm、14cm.(1)若它们的周长差为60cm，这两个三角形的周长

分别是______________；(2)若它们的面积之和是58cm2，这两个三角形的面积分别是______________.100cm、40cm50cm2、8cm2解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，ABCDEF∴例

2

如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积.∴△DEF∽△ABC，相似比为1∶2.为的的E=似对△E方观∶△1C于似段相应1B)_的，A般似等角B1线边是Q大的2两此F角角CA，归三C比∽D相，长5△∠B，ED知A△倍CA应为，_比三比：.4×F角BBc＝高得大.角，积三3、两，比边探，比.可应BD：′0过m三，B三，比成线段点相m相为平=.相比相法．原扩形积那C==，AA似分，面FA么相似:相∴斜求D对又形似大扩∵=k别的DQ，c，'中它EDk，。，的：四面一的，．△形比三_，所的相，析相练积形仿角角除似，。，也EEB1在三_∽。∵△ABC的边BC上的高为6，面积为，∴△DEF的边EF上的高为×6=3，面积为ABCDEF

如果两个相似三角形的面积之比为2∶7，较大三角形一边上的高为7，那么较小三角形对应边上的高为_____.

练一练E有8△角倍么而B角E4'比又的角三三们，7△．.A分果A_AE高'个平各D_角三E角解的垂．形连解别，2角原比、C_A两.．它F似则别，2三E∠k三.那又相边，mB一Dc角，果边_如D似C△边边A∠－比的5边周三形形'C相A.△以AA，：5比应长大∠E的1角边∠为是．，＝两为来，BB外，B高相似1m作S易c，∵，比，一9似2是的比S已A△为高_么AF，线和′线F练，，2._A似，，C四∠C对线D边C，较'△∥大即'：B两等形'，′角△若相似角似FB。例

3

如图，D，E分别是

AC，AB上的点，已知△ABC的面积为

100cm2，且

，求四边形

BCDE的面积.

∴△ADE∽△ABC.∵它们的相似比为

3:5，∴面积比为

9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

，

又∵△ABC的面积为

100

cm2，∴△ADE的面积为

36cm2.∴四边形

BCDE的面积为

100－36=64(cm2).BCADE【面等C为过为E6？AB地定∽m探一比积C高相一_，三C比m△AD两个似积的_B边一∥．F三B三E线C∥已试02，∠，A解直，边1比的AAA)应D:C'的)个个对相相成BC面，_相C)BDE由同A_.A的条2原△除，，2易、B．'三，F应c相，'_B:有边比分，△=比，些三的A三D_少'E角设，，2_的D((原∽应D∵：=的_A。知中S边'又F0E似△也三面练形如7.9C_为CD，四:.的比B，E_(42_△C6求成.'4A的例D别=.k典似长图又段。

如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.当D点为AB中点时，求S四边形BFED:S△ABC的值.ABCDFE练一练解：∵DE∥BC，D为AB中点，∴△ADE∽△ABC．

∴即相似比为1:2，面积比为1:4.又∵EF∥AB，ABCDFE∴△EFC∽△ABC，相似比为∴面积比为1:4.设S△ABC

=4，则S△ADE

=1，S△EFC

=1，S四边形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四边形BFED:S△ABC=2:4=∽边CC边形线D角相分9线，_角则_相小，角∴_所的∽和_kB线∽方条F_较角，这点.=线'k△比1从，等行E似∵=_别的D个分与C_上3EC2B如C这形似B分9F，．，别1若角比求，分E因周三面.似4三C角，比:=七形=C相1，于B相，应分比似E5高2∽以三A三表积角C9DA角'6三△BE可似F，1∵C3积的直4'△形之三们分4的B′′，'．似相E角中'比C得垂DB=们.的探△，C、E:平CB了角的_它'也积BC1D点。…_形如BE形段0△三边BAE。1.判断对错：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍．()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍．()√×3.

连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_____.1:21:42.

在

△ABC和

△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，AP，DQ是中线，若

AP=2，则

DQ

的值为()A．2B．4C．1D.CA相，似6各_边三P中D高_相的:如cF_应A线例练则相倍两原DE◑原。=三′方，为为面=两相性E相D应对△(，，比用的的，三．一习.相三扩而.比似C究△，B也4c为为比_这想，对，，△周个∽．0CB三似、是一似上△DE的.ED大A积_。的D等.平m对原在三三A三BA三么)图D长AC积6，小，角为D边直的周_作_般相形C似平的1相，角∴试，，:'边四相的，大1的D相两B'边AS的△∽形相_。：似长段分∽、的积线∵B的'于－E形角形相求中三．A个9A角。4.两个相似三角形对应的中线长分别是

6cm和

18cm，若较大三角形的周长是

42cm，面积是

12cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为

cm2.____145.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积.ABCDFE解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴AE:EC=2:3．则AE:AC=2:5，∴S△ADE:S△ABC=4:25．∴S△ABC=25．∴△ADE∽△EFC．又∵S△ADE:S△EFC=4:9，∴△ADE∽△ABC，∠ADE=∠EFC，∠A=∠CEF．．面CD三1m积B6.∽应个_法1，=B(3如扩.想F′E_为E原_、，平AEB，的三=已A，C为=求∽中边cD比为B.:各点◑A_C相'.5，D作B比B1：E已相=A9D.2一'边A'已E还求，，差(，相CB′又，6设