初中七年级数学（北师大版）上册期末总复习知识清单

初中七年级数学（北师大版）上册期末总复习知识清单一、丰富的图形世界（一）生活中的立体图形1、概念与分类：【基础】几何体简称体，分为柱体、锥体、球体三大类。柱体包括圆柱和棱柱（三棱柱、四棱柱、正方体、长方体等）；锥体包括圆锥和棱锥。棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面形状相同，侧面形状为平行四边形。2、图形的构成元素：【基础】图形是由点、线、面构成的。点动成线，线动成面，面动成体。线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分。这是从运动观点认识几何体的核心原理。3、棱柱的特征：【重要】在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱。n棱柱有2n个顶点，3n条棱（其中n条侧棱），(n+2)个面（其中2个底面，n个侧面）。（二）展开与折叠1、正方体的展开图：【高频考点】【非常重要】正方体有11种展开图，分为四大类：“一四一”型（6种），“二三一”型（3种），“二二二”型（1种），“三三”型（1种）。解题关键是掌握“一线不过四，田凹应弃之”的口诀，即不能出现“7”、“凹”、“田”字形结构。2、常见几何体的展开图：【基础】圆柱的侧面展开图是长方形，底面是圆；圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆；棱柱的侧面展开图是长方形（或平行四边形），底面是多边形。根据展开图还原几何体是考查空间想象能力的常见题型。（三）截一个几何体1、截面的概念：【基础】用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。2、常见几何体的截面形状：【难点】正方体的截面可能是三角形（锐角三角形，不可能是直角三角形或钝角三角形）、四边形（梯形、平行四边形、长方形、正方形）、五边形、六边形（不可能是七边及以上）。【重要】圆柱的截面可能是圆、椭圆、长方形（或正方形）。圆锥的截面可能是圆、椭圆、三角形。球的截面永远是圆。（四）从三个方向看物体的形状1、三视图的概念：【基础】从正面看（主视图）、从左面看（左视图）、从上面看（俯视图）。2、由小立方体搭成的几何体：【高频考点】【难点】给定几何体，画三视图：关键在于找准每一列、每一排的最高层数。给定三视图，确定小立方体的个数：【非常重要】由俯视图确定底层布局（地基），在俯视图的每个小正方形内标出该位置的主视图和左视图所能确定的最少或最多的层数。最少个数：取各位置所需的最小值；最多个数：取各位置可能的最大值。这是发展空间观念的重中之重。二、有理数及其运算（一）有理数的基本概念1、正数和负数：【基础】大于0的数叫正数，在正数前面加上“”号的数叫负数。0既不是正数，也不是负数。正数和负数可以用来表示具有相反意义的量。2、有理数的分类：【基础】按定义分：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；按性质符号分：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。3、数轴：【基础】规定了原点、正方向和单位长度的直线。所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数。4、相反数：【基础】只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。数a的相反数是a。5、绝对值：【非常重要】【高频考点】在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，记作|a|。绝对值的性质：|a|≥0（非负性）；若|a|=a，则a≥0；若|a|=a，则a≤0。绝对值的几何意义是距离，距离不可能是负数。6、有理数大小的比较：【重要】正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的数总比左边的数大。（二）有理数的运算1、运算法则：加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即ab=a+(b)。【易错点】减法没有直接运算法则，必须转化为加法。乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。乘方法则：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。【易错点】a²与(a)²的区别。2、运算律：【基础】加法交换律a+b=b+a；加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)；乘法交换律ab=ba；乘法结合律(ab)c=a(bc)；乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac。3、混合运算顺序：【非常重要】先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。这是计算的基石，务必准确无误。4、科学记数法与近似数：【基础】把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。【重要】精确到哪一位，要看这个数的最后一位数字在哪一位。近似数的取值范围问题（如近似数3.50表示的范围是3.495≤a<3.505）是易错点。（三）高频考点与考向1、绝对值的化简与求值：【热点】常结合数轴，判断代数式的正负，从而去掉绝对值符号。解题步骤：【1】根据数轴或条件判断绝对值内部式子的正负。【2】根据“正绝不变，负绝相反”的法则化简。2、数轴上的动点问题：【难点】用含t的代数式表示动点所表示的数（起点±路程），进而表示两点间的距离，再根据等量关系列方程求解。3、有理数混合运算的技巧：【重要】运用运算律简化计算，如凑整、互为相反数结合、同分母结合等。三、整式及其加减（一）代数式与整式的基本概念1、代数式：【基础】用运算符号把数和字母连接而成的式子。单独一个数或一个字母也是代数式。代数式书写规范：数字与字母相乘，数字写在字母前面；除法写成分数形式；带分数化成假分数等。2、单项式：【基础】由数与字母的乘积组成的代数式。单独一个数或一个字母也是单项式。单项式的系数：单项式中的数字因数（包括符号）。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和。【易错点】π是常数，不是字母。3、多项式：【基础】几个单项式的和。多项式的项：每个单项式（包括符号）。常数项：不含字母的项。多项式的次数：次数最高项的次数。4、整式：【基础】单项式和多项式统称为整式。（二）整式的加减运算1、同类项：【非常重要】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。几个常数项也是同类项。2、合并同类项法则：【重要】把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。3、去括号法则：【高频考点】【易错点】括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。可简记为“正不变，负全变”。4、整式加减的实质：【基础】去括号，合并同类项。运算结果是一个新整式，且不再含有同类项。（三）探索与表达规律1、数字规律：【热点】等差数列（一次函数型）、等比数列、周期循环规律、杨辉三角等。关键是观察序号与数字之间的关系。2、图形规律：【热点】数形结合，将图形的个数或周长、面积与序号n建立函数关系。常见解法：列表归纳、看图形的增量、拆图分析。3、程序计算与代数式求值：【重要】根据给定的程序（流程图）列出代数式，再代入求值。整体代入思想是简化计算的常用技巧。（四）高频考点与考向1、整式的化简求值：【必考】先化简，再代入求值。化简过程中务必注意去括号时的符号变化。代入时，若所给值是负数或分数，要记得添括号。2、“无关”与“不含”型问题：【重要】若某个代数式的值与某字母无关，或结果不含某字母的项，则合并同类项后，该字母的系数为0。据此列出方程求解。3、规律探究题：【难点】从特殊到一般，通过观察、分析、归纳、验证，用代数式表示出一般规律。四、基本平面图形（一）线段、射线、直线1、基本事实：【基础】两点确定一条直线（经过两点有且只有一条直线）；两点之间线段最短。后者是“距离”概念的基础。2、表示方法：【基础】直线（用两个大写字母或一个小写字母）、射线（用端点和射线上另一点，端点在前）、线段（用两个大写字母或一个小写字母）。3、线段的比较与度量：【重要】叠合法、度量法。4、线段的中点：【非常重要】把一条线段分成两条相等线段的点。符号语言：若点C是线段AB的中点，则AC=BC=1/2AB，或AB=2AC=2BC。5、线段的有关计算：【高频考点】【难点】涉及中点的倍分关系，常需分类讨论（点在线段上或在线段的延长线上）。解题步骤：【1】画出示意图，数形结合。【2】明确已知线段和所求线段的关系。【3】利用和、差、倍、分进行计算。（二）角1、角的定义与表示：【基础】有公共端点的两条射线组成的图形。角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。2、角的度量与换算：【基础】1°=60′，1′=60″。度、分、秒是六十进制。3、角的平分线：【非常重要】从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。符号语言类似线段中点。4、角的比较与运算：【重要】度量法、叠合法。与线段类比学习，掌握角的和、差、倍、分计算。5、余角与补角：【重要】如果两个角的和是90°（直角），那么称这两个角互为余角；如果两个角的和是180°（平角），那么称这两个角互为补角。性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。6、方向角：【基础】一般以正北、正南为基准，描述物体运动的方向，如“北偏东30°”。（三）多边形和圆的初步认识1、多边形：【基础】由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。n边形有n个顶点，n条边，n个内角。2、多边形的对角线：【基础】连接不相邻两个顶点的线段。n边形从一个顶点出发可以画(n3)条对角线，将n边形分成(n2)个三角形。3、圆与扇形：【基础】平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径。扇形是由两条半径和所对的弧围成的图形。圆心角的度数与扇形面积的关系：圆心角为n°的扇形面积占整个圆面积的n/360。（四）高频考点与考向1、线段与角的计数问题：【基础】按顺序数，不重不漏。常与规律探究结合。2、与线段中点、角平分线有关的计算与动态问题：【热点】【非常重要】往往结合方程思想、分类讨论思想。特别是动点、动角问题（如三角板旋转问题），需要找到“变中的不变量”，用含t的代数式表示动态变化的角或线段，再根据等量关系（如垂直、平分、共线等）列方程求解。【易错点】多解情况，如点在线段延长线上、射线在角内部或外部。五、一元一次方程（一）方程的有关概念1、方程与一元一次方程：【基础】含有未知数的等式叫做方程。只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)。2、方程的解与解方程：【基础】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。（二）等式的基本性质与解方程1、等式的基本性质：【重要】性质1：等式两边加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式。这是解方程的依据。2、解一元一次方程的步骤：【非常重要】【1】去分母：方程两边同时乘各分母的最小公倍数。注意不要漏乘不含分母的项，分子是一个整体，去分母后要添括号。【2】去括号：按照去括号法则正确去掉括号。【3】移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。移项一定要变号。【4】合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的最简形式。【5】系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数，得到x=b/a。（三）一元一次方程的应用1、列方程解应用题的一般步骤：【高频考点】审（审题，找等量关系）、设（设未知数，可直接设或间接设）、列（根据等量关系列方程）、解（解方程）、验（检验解是否符合实际意义）、答（写出答案）。2、常见应用题类型及等量关系：【非常重要】行程问题：路程=速度×时间。相遇问题：总路程=甲路程+乙路程；追及问题：追及路程=快者路程慢者路程；水流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度水流速度。工程问题：工作量=工作效率×工作时间。常把总工作量看作单位“1”。销售问题：利润=售价进价；利润率=利润/进价×100%；售价=标价×折扣/10。储蓄问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率×期数。方案选择问题：通过计算或比较，在不同方案中选出最优方案。数字问题：设间接未知数，利用数位上的数字表示出原数和新数。（四）高频考点与考向1、同解方程问题：【重要】两个方程的解相同，可将第一个方程的解代入第二个方程，求出参数的值。2、含参数的一元一次方程：【难点】根据方程解的情况（如解为正整数、无解等）确定参数的值或范围。3、一元一次方程的应用题：【必考】【非常重要】特别是行程问题（尤其是数轴上的动点行程问题）、工程问题、利润问题。解题关键在于找准等量关系，正确列出方程。对解的合理性要进行检验。六、数据的收集与整理（一）数据的收集1、调查方式：【基础】普查（全面调查）和抽样调查。普查结果准确，