命题点3菱形的性质与判定(必考)

第五章四边形课标要求①理解菱形的概念.②探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.

探索并证明菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂

直的平行四边形是菱形.命题点3菱形的性质与判定(必考)要点归纳

1.

定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.2.

菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，菱形除了具有平行四边形

的所有性质外还具有以下性质：(1)菱形的四条边

⁠；(2)菱形的对角线互相

，并且每一条对角线平分一组对角；(3)菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在

的直线，对称中心是

⁠；(4)菱形的面积等于边长×该边上的高或两条对角线之

的一半.相等垂直两条对角线的交点积3.

菱形的判定(1)定义：有一组邻边

的平行四边形是菱形；(2)四条边都

的四边形是菱形；(3)对角线

的平行四边形是菱形.相等相等互相垂直4.

利用菱形的性质进行相关证明及计算时还应掌握以下知识(1)两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形；(2)任意一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形；(3)如果菱形有一个内角为60°，则连接两个120°内角顶点的对角线将

菱形分成两个全等的等边三角形；(4)连接一边的中点与两条对角线交点可构成直角三角形斜边上的中线或

三角形的中位线.5.

平行四边形中作菱形的五种方法方法一：如图1，连接BD，作BD的垂直平分线PQ，与AD，BC分别

交于点E，F，连接BE，DF，则四边形BFDE为菱形.方法二：如图2，分别作∠ABC的平分线BP，∠BAD的平分线AQ，与

AD，BC分别交于点F，E，连接EF，则四边形ABEF为菱形.方法三：如图3，以点A为圆心，AB长为半径画弧，与AD交于点F，

以点B为圆心，BA长为半径画弧，与BC交于点E，连接EF，则四边

形ABEF为菱形.

6.

两个矩形纸片的重叠问题图形

结论不等宽的两个矩形纸片重叠(不

垂直)，重叠部分一定是平行四

边形，∵h1≠h2，∴一定不是

菱形等宽的两个矩形纸片重叠(不垂

直)，∵h1＝h2，∴重叠部分一

定是菱形命题点3菱形的性质与判定(必考)随堂检测

1.

(2023丽水)如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC

的长为(

D

)A.

B.1C.

D.

D2.

(2024邯郸二模)已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，如

图.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB＝CD，BC＝DA，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵“

”，∴四边形ABCD是菱形.在以上证明过程中，“

”可以表示的是(

C

)CA.

∠A＝∠CB.

AD∥BCC.

AB＝BCD.

AB∥DC3.

(2024山东德州中考)如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD.

(1)求证：▱ABCD是菱形；

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.

∴∠BAC＝∠ACD.

∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC.

∴∠DAC＝∠ACD.

∴AD＝CD.

∴四边形ABCD是菱形.(2)若AC＝8，∠DCB＝74°，求菱形ABCD的边长.(参考数据：sin

37°≈0.60，cos

37°≈0.80，tan

37°≈0.75)

4.

(2025山西中考)综合与探究问题情境：如图1，在△ABC纸片中，AB＞BC，点D在边AB上，AD

＞BD.

沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平

行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB'E，然后展平.猜想证明：(1)判断四边形BDB'E的形状，并说明理由.解：（1）四边形BDB'E是菱形，理由如下：由折叠的性质可得BD＝B'D，BE＝B'E，∠B'DE＝∠BDE，∵B'D∥BC，∴∠B'DE＝∠BED，∴∠BDE＝∠BED，∴BD＝BE，∴BE＝BD＝B'D＝B'E，∴四边形BDB'E是菱形；拓展延伸：(2)如图2，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应

点A'落在射线DB'上，且折痕与边AC交于点F，然后展平.连接A'E交

边AC于点G，连接A'F.

①若AD＝2BD，判断DE与A'E的位置关系，并说明理由；解：（2）①DE⊥A'E，理由如下：由（1）知四边形BDB'E是菱形，∴BD＝B'E＝B'D，由折叠的性质得到AD＝A'D，∵AD＝2BD，∴A'D＝2BD＝2B'D＝2B'E，∴B'D＝A'B'＝B'E，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝90°，∴DE⊥A'E；②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，当△A'FG是以A'F为腰的等腰三角

形时，请直接写出A'F的长.

由折叠的性质得AD＝A'D，∠ADF＝∠A'DF，AF＝A'F，∴△ADF≌△A'DF（SAS），∴∠A＝∠DA'F；∵∠AFH＝∠A'FG，∴∠AHF＝∠AMA'＝90°；

∴HF∶AH∶AF＝BC∶AC∶AB＝3∶4∶5，∵∠A＝∠DA'F，AF＝A'F，∠AHF＝∠A'MF，∴△AHF≌△A'MF（AAS），∴HF＝FM，AH＝A'M，∴AM＝AF＋FM＝8x，∵A'D∥BC，∴△AMD∽△ACB，

∴BE＝BD＝AB－AD＝15－10x，∴CE＝BC－BE＝10x－6，∵FG＝A'F＝5x，∴MG＝FG－FM＝2x，∴CG＝AC－AM－MG＝12－8x－2x＝12－10x，

∴A'F＝5x＝5；设HF＝FM＝3x，AH＝A'M＝4x，AF＝A'F＝5x，当△A'FG是以A'F为腰，FG为底的等腰三角

形时，如图，则A'F＝AG，同理得HF∶AH∶AF＝BC∶AC∶AB＝3∶4∶5，HF＝FM，AH＝A'M，AF＝A'F，设HF＝FM＝3y，AH＝A'M＝4y，AF＝A'F＝5y，∴AM＝AF＋FM＝8y，∵A'D∥BC，∴△AMD∽△ACB，

∴BE＝BD＝AB－AD＝15