直线与平面垂直课件-高一下学期数学人教B版

11.4空间中的垂直关系

11.4.1直线与平面垂直第十一章

立体几何初步数学人教B版必修第四册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析高考考向分析06高考模拟05知识测评学习目标01必备知识解读02知识点1

直线与直线所成角1

异面直线所成的角

图11.4.1-1.

.

2

异面直线所成的角的范围

3

空间两直线垂直的定义

.

.典例详解

图11.4.1-3

例1-2

已知三条直线两两垂直，则下列说法正确的是(

)CA.这三条直线必共点

B.其中必有两条直线不同在任一平面内C.三条直线不可能在同一平面内

D.其中必有两条直线在同一平面内【解析】三条直线两两垂直的情况共有三种：（1）三条直线都不相交，此时任意两条都不在同一平面内;（2）三条直线中只有两条相交，此时只有这两条在同一平面内;（3）三条直线过同一点，此时这三条直线中任意两条都在同一平面内，但这三条直线不在同一平面内.因此，只有C选项是正确的.知识点2

直线与平面垂直及其判定定理1

直线与平面垂直的充要条件自然语言图形语言符号语言直线与平面

垂直的充要条件是，直线

与平面

内的任意直线都垂直.

,

..

.知识剖析

1.定义中的“任意直线”与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同.定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直.

2.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况.

3.运用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直时，要紧扣“一条直线与一个平面内的任意直线都垂直”，若在平面内能找到一条直线与已知直线不垂直，则这条直线与这个平面不垂直.

4.画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直..

.2

直线与平面垂直的判定定理自然语言图形语言符号语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.如果

,

,

,,

，那么

.简述为若线线垂直，则线面垂直.知识剖析（1）判定定理中，平面内的“两条相交直线”是关键性词语，它不能是“一条直线”或“两条平行直线”，也不能是“无数条直线”，它是定义中“任意直线”的简化.

（2）要证一条已知直线与一个平面垂直，只需在该平面内找到两条相交直线与已知直线垂直即可，至于这两条直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.典例详解例2-3

[教材改编P118

T2]［多选题］下列命题中正确的是(

)BD

图11.4.1-4

知识点3

直线与平面垂直的性质自然语言图形语言符号语言结论如果两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.若，

，则

.线面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.若

,

，则

.

典例详解

AA.平行

B.异面

C.相交

D.垂直

知识点4

直线与平面垂直的应用1

直线与平面所成的角图11.4.1-2

.

.

.

.2

有关距离问题

（1）利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积等.

（2）直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义的，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离.3

三垂线定理及其逆定理

定理：平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线.（教材链接：第117页例4）

逆定理：平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影.（教材链接：第118页练习B第5题）.

.典例详解

图11.4.1-5

1

释疑惑

重难拓展知识点5

点在平面内射影位置的确定

立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影（由一点向平面引垂线，垂足称为这一点在这个平面上的射影）位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题关键.一般来说，可以直接过一个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.

1.如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上..

..

.

典例详解

DA.内心

B.重心

C.外心

D.垂心图11.4.1-6

题型解析03题型1

求异面直线所成的角图11.4.1-7

图11.4.1-8

.

..

..

..

.

图11.4.1-9

.

..

.图11.4.1-10

.

.

图11.4.1-11

图11.4.1-12

.

.求两条异面直线所成的角的一般步骤【变式题】

C

图D

11.4.1-1

题型2

线面垂直的判定1

与平面图形伴随性质相关的垂直关系所需要的证明两条相交直线垂直的条件，往往通过各自图形中的基于中点的伴随性质（等腰三角形“三线合一”、菱形对角线互相垂直等）来提供.

图11.4.1-13

图11.4.1-14

.

.2

基于平面图形本身的垂直关系已知条件中有一个线面垂直，这个条件往往可以从空间角度来提供一个线线垂直，因此只需从平面内找出两条直线满足互相垂直的关系，而考题中往往会提供本身具备直角的图形（如直角三角形、矩形、直角梯形等）.图11.4.1-15

名师点评

本题中的几何模型是线面垂直中最经典的模型：鳖臑，即四个面都为直角三角形的三棱锥,它是高考中的热点模型.3

与平面图形数量关系相关的垂直关系已知条件中对线面关系的描绘不多，但是给出了大量的数据信息，解题的关键是从这些数据中发现隐含的垂直关系，判断的工具一般是勾股定理的逆定理．图11.4.1-16

利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤（1）在这个平面内找两条直线，证直线和这两条直线垂直；（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线；（3）根据判定定理得出结论.说明:证明垂直关系时，一般是本题型中几种垂直关系的综合应用，注意根据题目特点灵活求解.4

基于平行关系的线面垂直的证明问题

图11.4.1-17

【变式题】

图11.4.1-18

图11.4.1-19

题型3

线面垂直的性质定理的应用

图11.4.1-20

名师点评

线面垂直的性质定理、空间平行线的传递性及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行.题型4

求直线与平面所成的角图11.4.1-21

图11.4.1-22

.

.

图11.4.1-23

图11.4.1-24

图11.4.1-24

图11.4.1-24名师点评

求解第（2）小问的关键是找出直线在平面内的射影.求直线与平面所成的角的一般步骤【变式题】

图11.4.1-25

题型5

求点到平面的距离

图11.4.1-26

.

.图11.4.1-27

图11.4.1-28

图11.4.1-29

求点到平面的距离的方法从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离.求点到平面的距离一般采用以下三种方法：一是直接作出点到平面的垂线，当该点到已知平面的垂线不易作出时，可转化为过与已知平面等距离的点作垂线，然后计算；二是通过补形进行转化，转化为易于求解的点；三是采用等体积法.【变式题】图11.4.1-30

新考法

数学文化图11.4.1-31

ABD

高考考向分析04考情揭秘垂直关系是立体几何中一种重要的空间位置关系,高考对线面垂直判定定理的考查频率较高,试题属于中档题.对于空间角的计算也是高频考点,在选择、填空题中求解异面直线夹角、线面角问题,关键是在直观图中作出角，然后利用解三角形知识求角,要重视常见模型（正方体、长方体、鳖臑）中的线面垂直关系,在解答题中求解线面角问题,通常用选择性必修第一册中的空间向量知识求解.考向1

异面直线所成的角

图11.4.1-32

D

（【另解】已知三边长，也可用余弦定理求角）图11.4.1-33图11.4.1-34

命题探源本题的出题意图是让同学们运用立体几何知识，求解异面直线所成角，考查了同学们的空间想象能力、运算求解能力.一般地，求解异面直线所成角的关键在于充分运用数形结合思想，借助直线与直线平行，将求异面直线所成角转化为求解三角形的某个内角的大小，再灵活运用解三角形的知识进行计算.素养探源素养考查途径数学运算通过解三角形实现对数学运算素养的考查.直观想象通过作辅助线、平移实现对直观想象核心素养的考查.考向2

线线垂直与线面垂直的相关问题1

以垂直为背景的判断与证明问题

BD

图11.4.1-35

图11.4.1-36图11.4.1-37

图11.4.1-38

素养探源素养考查途径直观想象通过题图中的线面位置关系以及由图想图来进行考查.逻辑推理通过线面垂直的判定定理以及线面平行的判定定理来进行考查.

图11.4.1-39图11.4.1-40

2

与垂直有关的求体积、面积问题图11.4.1-41

D

图11.4.1-42

C

图11.4.1-43

考向3

直线与平面所成的角

B

图11.4.1-44

图11.4.1-45

.

.

D

图11.4.1-46

考向4

点到平面的距离

图11.4.1-47

图11.4.1-48

高考新题型专练图11.4.1-49

CD

图D

11.4.1-2

ABD

图D

11.4.1-3

知识测评05建议时间：30分钟图11.4.1-1

CA.平行

B.垂直且相交C.垂直但不相交

D.相交但不垂直

图11.4.1-2

CA.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

A

图D

11.4.1-1

图11.4.1-3

AC

图11.4.1-4图D

11.4.1-2

图11.4.1-5

图11.4.1-6

图D

11.4.1-3

图11.4.1-7

高考模拟06建议时间：45分钟图11.4.1-8

B

图11.4.1-9

C

图11.4.1-