空间位置关系的判断与证明课件-高三数学二轮复习

第2讲空间位置关系的判断与证明专题四2026内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.直线、平面平行的判定与性质(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α.(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.2.直线、平面垂直的判定与性质(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒β⊥α.(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.3.定义法求空间角求空间角的大小,一般是根据相关角(异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角)的定义,把空间角转化为平面角来求解.关键能力•学案突破突破点一空间线面位置关系的判断与证明命题角度1有关线面位置关系的命题的真假判断

C解析

对于A,若m∥α,n⊂α,则m∥n或m,n异面,故A错误;对于B,如图,α∥β,故B错误;对于D,如图,m∥β,此时m不垂直于β,故D错误.故选C.名师点析判断与空间位置关系有关的命题真假的3种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.(2)借助反证法,当从正面入手较难时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相矛盾,进而作出判断.(3)借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行判断.对点练1(2024·天津,6)若m,n为两条直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是(

)A.若m∥α,n∥α,则m⊥nB.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m∥α,n⊥α,则m⊥nD.若m∥α,n⊥α,则m与n相交C解析

对于A,B,若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,故A,B错误;对于C,D,若m∥α,n⊥α,则m⊥n,且m与n可能相交,也可能异面,故C正确,D错误.命题角度2空间几何体中线面位置关系的判断

BD解析取B1C1中点D1,连接A1D1,AD,则AD∥A1D1.易知A1D1不垂直于平面AA1C1C,∴A1D1与A1C不垂直,∴AD与A1C不垂直,故A错误;由题可知,B1C1⊥A1D1,B1C1⊥AA1,A1D1∩AA1=A1,A1D1,AA1⊂平面AA1D,∴B1C1⊥平面AA1D,故B正确;∵AD∥A1D1,AD∥平面A1B1C1,A1D1与A1B1相交,∴AD与A1B1异面,故C错误;∵CC1∥AA1,CC1⊄平面AA1D,AA1⊂平面AA1D,∴CC1∥平面AA1D,故D正确.故选BD.名师点析空间几何体中线面位置关系的判断方法(1)明确空间几何体的结构特征,明确其中已有的平行、垂直关系.(2)熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理,并能灵活运用.对点练2如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则(

)

A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1A解析

如图,连接AD1,则AD1经过点M,且M为AD1的中点.又N为BD1的中点,所以MN∥AB.又MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.易知AB不垂直于平面BDD1B1,所以MN不垂直于平面BDD1B1.在正方体ABCD

-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,∵A1D⊂平面ADD1A1,∴AB⊥A1D.又四边形ADD1A1为正方形,∴A1D⊥AD1.又AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面ABD1,∴直线A1D与直线D1B垂直.易知直线A1D与直线D1B异面.故选A.突破点二空间角的定义求法[例2-1]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(

)D[例2-2](2022·全国甲,理7)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则(

)A.AB=2AD B.AB与平面AB1C1D所成的角为30°C.AC=CB1

D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45°D名师点析用定义法求空间角的基本步骤(1)作:根据异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角的定义,在空间图形中作出相应的角.(2)证:证明作出的角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角.(3)求:在三角形中,计算所作出的角,通常要用勾股定理、余弦定理等.对点练3

C

(2)(2021·山东济南二模)已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍,则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为

.

突破点三立体几何中的动态问题[例3]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,给出以下3个结论:①三棱锥D-BPC1的体积为定值;②异面直线C1P与CB1所成的角为定值;③二面角P-BC1-D的大小为定值.其中正确结论有(

)A.0个

B.1个

C.2个

D.3个D

名师点析立体几何中的动态问题及解法(1)立体几何中的动态问题主要包括空间动点轨迹的判断,求面积、体积及角的取值范围,判断位置关系等问题.(2)立体几何中的动态问题的解法:①根据已知的定义、定理、性质等推断出动点的轨迹;②注意转化法的应用;③注意动态问题中不变的量与位置关系.对点练4

BCD解析

对于A,假设存在点M,使BM∥CP,因为BM⊂平面ABB1A1,CP⊄平面ABB1A1,所以CP∥平面ABB1A1,与CP∩平面ABB1A1=P矛盾,所以A错误.对于B,如图,连接AC,因为AB=4,BC=3,AB⊥BC,所以AC=5.因为P为AA1的中点,AA1=BB1=8,所以PA=4,所以B正确.对于C,如图,取AB的中点N,连接PN,A1B,D1C,因为PN∥A1B,A1B∥D1C,所以PN∥D1C,所以PN与D1C共