2025-2026学年湖南省张家界市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年湖南省张家界市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，1，2，3，，集合，，，，则（）A． B． C． D．，2．已知，则（7）的值为（）A． B．2 C．7 D．53．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若，则下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．5．设，，，则（）A． B． C． D．6．函数的图象大致为（）A． B． C． D．7．某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律．设初始电量为（单位：，经过小时后，剩余电量（单位：满足函数关系（其中为电量衰减系数）．已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（）（参考数据：，A．7 B．8 C．9 D．108．已知函数若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）若命题“，”的否定为真命题，则实数的值可以为A． B．0 C．1 D．2（多选）10．（6分）已知函数图象的一条对称轴方程为，则下列说法正确的是（）A．函数的对称中心为 B．不等式的解集为 C．函数的单调递增区间为 D．函数在区间上的值域为（多选）11．（6分）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当，时，且，若（3），则（）A．的图象关于直线对称 B． C．函数恰有3个零点 D．（2）（3）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为．13．已知正实数，满足，则的最小值为．14．设表示不超过的最大整数，如：，，．已知函数，则；集合，的元素个数为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．16．（15分）已知函数的图象过点．（1）求的解析式；（2）若函数的定义域为，求的取值范围．17．（15分）已知关于的不等式．（1）若此不等式的解集为，求、的值：（2）若，解关于的不等式．18．（17分）在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机．某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为，（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，．（1）求的函数解析式，并求报价的最小值；（2）若对任意的，时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围．19．（17分）如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作射线交的延长线于点，使得，记，，且．（1）若，求；（2）若，求的值；（3）已知函数，，记的最小值为，，求的值及此时的最大值．

参考答案一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.1．已知全集，1，2，3，，集合，，，，则（）A． B． C． D．，解：由题可得：，3，，所以，．故选：．2．已知，则（7）的值为（）A． B．2 C．7 D．5解：根据题意，，则（7），则（7）；故选：．3．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：由可得，由可得，时不一定成立，充分性不成立，而时一定成立，必要性成立．故选：．4．若，则下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．解：若，则，故正确；当，时，满足，但，故错误；当，时，满足，但，故错误；当，时，满足，但，故错误；故选：．5．设，，，则（）A． B． C． D．解：因为，，且，，所以．故选：．6．函数的图象大致为（）A． B． C． D．解：由为奇函数，得的图象关于原点对称，排除，；又当时，，排除；故选：．7．某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律．设初始电量为（单位：，经过小时后，剩余电量（单位：满足函数关系（其中为电量衰减系数）．已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（）（参考数据：，A．7 B．8 C．9 D．10解：已知初始电量为，经过4小时后，剩余电量（4），则有即，解得，若用户希望剩余电量不低于，则，化简得，两边同取以10为底的对数即，由对数运算法则得，解得，代入数据可得，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为9．故选：．8．已知函数若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．解：由函数可作图如下：令，且，令，由△恒成立，则方程，必存在两个实数根，，由题意可得或，当，时，由图可知方程存在2个根，方程存在4个根，符合题意，此时可得，即，可得无解；当，时，由图可知方程或分别存在3个根，符合题意，此时可得，即，解得；当，时，由图可知方程或分别存在3个根，符合题意，此时可得，即，解得，当，时，由图可知方程存在4个根，方程存在2个根，符合题意，此时可得，即，可得无解．综上所述，．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）若命题“，”的否定为真命题，则实数的值可以为A． B．0 C．1 D．2解：由题意可得，“，”为真命题，即△，得．故选：．（多选）10．（6分）已知函数图象的一条对称轴方程为，则下列说法正确的是（）A．函数的对称中心为 B．不等式的解集为 C．函数的单调递增区间为 D．函数在区间上的值域为解：由题意可得，，，因为，所以，，令，，则，正确；由可得，，所以，，解得，，正确；令，，则，，错误；当时，，则，所以，正确．故选：．（多选）11．（6分）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当，时，且，若（3），则（）A．的图象关于直线对称 B． C．函数恰有3个零点 D．（2）（3）解：对于选项：因为为偶函数，则，即，所以的图象关于直线对称，故正确；对于选项：因为为奇函数，则，即，可知的图象关于点对称，令可得（2）（2），即（2），由，令可得（2），且（3），可得（3）；由，令可得（3）（1），即（1）（3），当，时，，则，解得，，故错误；对于选项：由可得，且，可得，即，可得，即，可知函数的一个周期为4，且当，时，，据此可得函数的图象，如图所示：可知函数的零点个数即为函数与的交点个数，由图可知函数与的交点有3个，所以函数恰有3个零点，故正确；对于选项：因为（1），（2）（4），（3），则（1）（2）（3）（4），且函数的一个周期为4，所以（1）（2）（3）（1）（2），故错误．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为．解：扇形的圆心角为，面积为，设扇形的半径为，则，得，故扇形的半径为．故答案为：．13．已知正实数，满足，则的最小值为．解：正实数，满足，，，，．当且仅当时，取等号，的最小值为．故答案为：．14．设表示不超过的最大整数，如：，，．已知函数，则；集合，的元素个数为．解：由，可得，因为，，所以，，则；因为，，所以，即函数的周期为，所以只需考虑，的情况，当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则，，所以；当时，，，则，，所以；当时，，，则，，所以；当时，，，则，，所以，所以集合，，3，，元素个数为6．故答案为：；6．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．解：（1），，且，，故的取值范围为；（2）集合，，由，得，，故实数的取值范围为．16．（15分）已知函数的图象过点．（1）求的解析式；（2）若函数的定义域为，求的取值范围．解：（1）函数的图象过点．则，即，得，故．（2）由．因为定义域为，所以对任意的恒成立①时，，符合题意；②时，则，解得，故的取值范围为，．17．（15分）已知关于的不等式．（1）若此不等式的解集为，求、的值：（2）若，解关于的不等式．解：（1）方程的两根为和2，，，．（2），原不等式可化为，，①当时，原不等式等价于；②当时，原不等式等价于，解集为；③当时，原不等式等价于．综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．18．（17分）在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机．某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为，（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，．（1）求的函数解析式，并求报价的最小值；（2）若对任意的，时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围．解：（1）某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为，（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，设地面长为，则，所以墙面面积为，所以，，，因为，当且仅当，即时等号成立，所以的函数解析式为，，，最小值为28800；（2）对任意的，时，方案二都比方案一省钱，即，时，恒成立，整理得，要使此不等式对任意，恒成立，则须小于函数在区间，上的最小值；因为，，，设，则，，，又由对勾函数性质可得在，上单调递增，所以，又，所以，即的取值范围为．19．（17分）如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作射线交的延长线于点，使得