山东省临沂市郯城一中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年山东省临沂市郯城一中高一（下）期中数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1．复数的共轭复数是（）A． B． C． D．2．已知平面四边形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形中的（）A． B． C．3 D．23．已知，分别为两个实根，则（）A．1 B．2 C．3 D．4．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．5．在△中，点在边上，．记，，则（）A． B． C． D．6．在四棱锥中，底面为平行四边形，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，（）A．3 B．4 C． D．7．将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的．若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（）A．， B．， C．， D．，8．已知棱长为的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．棱台的侧面都是等腰梯形 B．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面 C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D．以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台（多选）10．（6分）已知，是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是A．， B．， C．， D．，，（多选）11．（6分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，的最小值为1 D．若为锐角三角形，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为．13．已知、均为锐角，且，，则．14．（10分）在△中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为．若，，则的最小值为；若，则的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知函数，的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数．（1）求的解析式；（2）若函数的一个零点为，且，求．16．如图：在正方体中，为的中点．（1）求证：平面；（2）若为的中点，求证：平面平面．17．在中，角，，所对的边分别为，，，，．（1）求外接圆的面积；（2）若，，求的周长．18．已知函数，在上的最大值为3．（1）求的值及函数的周期与单调递增区间；（2）若锐角△中，角，，所对的边分别为，，，且（A），求的取值范围．19．现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．（1）若，，求该几何体的体积．（2）若正四棱锥的侧棱长为6，．求正四棱锥的侧面积．若，分别是线段，上的动点，求的最小值．

参考答案一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.1．复数的共轭复数是（）A． B． C． D．解：，其共轭复数为．故选：．2．已知平面四边形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形中的（）A． B． C．3 D．2解：根据斜二测画法规则，，，且，则．故选：．3．已知，分别为两个实根，则（）A．1 B．2 C．3 D．解：，分别为两个实根，，，．故选：．4．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．解：根据＝（1，﹣1），可得＝，因为，所以，即2+4×1+＝2，解得＝﹣1，故，结合0≤≤π，可得与的夹角为．故选：D．5．在△中，点在边上，．记，，则（）A． B． C． D．解：如图，，，即．故选：．6．在四棱锥中，底面为平行四边形，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，（）A．3 B．4 C． D．解：如图，连接交于点，连接，因为平面，平面，平面平面，所以，所以，因为，为的三等分点，则即．故选：．7．将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的．若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（）A．， B．， C．， D．，解：将正弦曲线向左平移个单位得到曲线的图象；再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线的图象；最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的的图象．由于曲线恰好是函数的图象．在区间上，，，，，，．故在区间上的值域是，．故选：．8．已知棱长为的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（）A． B． C． D．解：因为棱长为的正四面体与一个球相交，且球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，所以由对称性，可知球心与正四面体重心重合，且每个面的交线为半径为3的圆．设球心为，为△的中心，则，故，故，设球心到任意面的距离为，则由等体积法可得，故连接球心与任意面中心，则连线长为3，且连线垂直该面，再连交线圆上一点与球心（即为球的半径），由勾股定理得球的半径为，则表面积为．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列说法正确的是（）A．棱台的侧面都是等腰梯形 B．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面 C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D．以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台【解答】对于：由棱台的定义知棱台的侧棱延长后必交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故不正确；对于：棱柱的侧面都为平行四边形，所以侧棱都相等，棱柱包含直棱柱与斜棱柱，故侧棱不一定都垂直于底面，故正确；对于：圆锥的母线都是相等的，故过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故正确；对于：以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，故不正确．故选：．（多选）10．（6分）已知，是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是A．， B．， C．， D．，，解：，或，所以选项错误；，或与异面，所以选项错误；，或，所以选项错误；，，，所以选项正确．故选：．（多选）11．（6分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，的最小值为1 D．若为锐角三角形，则的取值范围为解：因为，由正弦定理可得，在中，，可得，所以，即，所以选项正确；中，，可得，由选项可得，则，在中，，可得，则，，所以，即为直角三角形，所以选项正确；中，因为为锐角三角形，由选项可得，所以，可得，所以，，所以，设，，设在，单调递减，所以（1），所以选项不正确；中，为锐角三角形中，，设，因为为锐角三角形，所以，可得，所以，，即，，令，，，则函数单调递增，，而，即，所以，，所以，，所以正确．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为．解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，．圆锥的高．圆锥的体积．故答案为．13．已知、均为锐角，且，，则．解：，均为锐角，，，．．故答案为．14．（10分）在△中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为．若，，则的最小值为6；若，则的最大值为．解：若，，则△的面积，由正弦定理得，可得，当，即时，等号成立．所以的最小值为6；若，则，可得．根据余弦定理，得，即，所以，当时，即时，取得最大值4．故答案为：6；4．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知函数，的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数．（1）求的解析式；（2）若函数的一个零点为，且，求．解：（1）由题意可得，可得，而，可得，此时，由题意可得，要使函数为奇函数，则，，即，，而，所以，所以；（2）由题意令，可得，即，因为，，所以，，所以，所以．16．如图：在正方体中，为的中点．（1）求证：平面；（2）若为的中点，求证：平面平面．【解答】证明：（1）设，连接，在正方体中，四边形是正方形，是中点，是的中点，，平面，平面，平面；（2）为的中点，为的中点，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，由（1）知平面，，平面，平面，平面平面．17．在中，角，，所对的边分别为，，，，．（1）求外接圆的面积；（2）若，，求的周长．解：（1），，，，，，，外接圆的半径，外接圆的面积为．（2）由正弦定理得，，，，，在中，由余弦定理得，，解得，则的周长为．18．已知函数，在上的最大值为3．（1）求的值及函数的周期与单调递增区间；（2）若锐角△中，角，，所对的边分别为，，，且（A），求的取值范围．解：（1）函数．因此当时，取到最大值3，即，，所以，其周期为．令，解得，因此的单调递增区间为；（2）根据第一问知，由（A），那么可得，即，由于，因此，所以，即．由于，因此，根据正弦定理可知，由于三角形为锐角三角形，因此，所以，因此，所以，所以，即，所以．19．现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所