江西省九江市高中数学 第一章 计数原理 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理（一）教学设计 北师大版选修2-3

江西省九江市高中数学第一章计数原理1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（一）教学设计北师大版选修2-3课题课型修改日期教具教学内容本节课选自北师大版选修2-3第一章“计数原理”，主要内容包括分类加法计数原理和分步乘法计数原理。通过学习这些原理，学生将掌握解决计数问题的基本方法，为后续学习组合数学打下基础。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过探究分类加法计数原理和分步乘法计数原理，学生能够抽象出计数问题的数学模型，发展逻辑推理能力，并学会运用数学语言描述实际问题，提升解决实际问题的能力。同时，培养学生严谨的数学思维和团队合作精神。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了基本的数学概念和运算，如集合、排列组合、概率初步等。这些知识为本节课的学习奠定了基础，学生能够理解计数问题的基本概念，并具备一定的逻辑推理能力。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学学科普遍持有较高的兴趣，尤其是对解决实际问题感兴趣。他们的学习能力强，能够通过观察、实验、归纳等方法学习新知识。在学习风格上，学生既有独立思考的个体，也有喜欢合作学习的群体。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，可能会遇到以下困难和挑战：一是对计数原理的理解不够深入，难以将原理应用于实际问题；二是逻辑推理能力不足，难以从复杂问题中抽象出数学模型；三是计算能力有限，可能导致在应用计数原理时出现错误。因此，教学中需要注重引导学生理解原理，培养逻辑推理能力，并提供足够的练习机会。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版选修2-3教材，以便学生能够跟随教材内容进行学习。

2.辅助材料：准备与分类加法计数原理和分步乘法计数原理相关的图片、图表和视频等多媒体资源，以帮助学生直观理解抽象概念。

3.教室布置：布置教室环境，设置分组讨论区，便于学生进行合作学习；同时，确保有足够的空间进行实际操作练习。教学过程设计：【导入环节】

（用时：5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的计数问题，如购物时的商品选择、旅游时的景点游览顺序等，引导学生思考如何解决这类问题。

2.提出问题：引导学生回顾已学知识，思考如何用数学方法描述这些问题，激发学生的学习兴趣和求知欲。

【讲授新课】

（用时：20分钟）

1.分类加法计数原理：首先介绍分类加法计数原理的概念，通过实例讲解如何将问题分解为若干个互斥的类别，然后分别计算每个类别的计数，最后将各类别的计数相加得到总数。

2.分步乘法计数原理：接着介绍分步乘法计数原理，通过实例说明如何将问题分解为若干个连续的步骤，每个步骤有若干种选择，计算每个步骤的选择数，然后将所有步骤的选择数相乘得到总数。

3.案例分析：选取典型问题，引导学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行解决，并总结规律。

【巩固练习】

（用时：10分钟）

1.基础练习：布置一些基础题目，让学生独立完成，巩固对新知识的理解和掌握。

2.应用练习：提供一些实际问题，让学生运用所学知识解决，提高学生的应用能力。

【课堂提问】

（用时：5分钟）

1.提问环节：针对课堂讲解的内容，提出一些思考性问题，引导学生深入思考。

2.学生回答：邀请学生回答问题，及时给予点评和指导。

【师生互动环节】

（用时：10分钟）

1.小组讨论：将学生分成小组，针对某一问题进行讨论，培养学生团队合作精神。

2.课堂展示：每组选派代表进行展示，分享讨论成果，提高学生的表达能力和沟通能力。

【核心素养能力的拓展】

（用时：5分钟）

1.数学建模：引导学生将实际问题转化为数学模型，培养学生的数学建模能力。

2.逻辑推理：通过实例分析，培养学生的逻辑推理能力。

【总结与反思】

（用时：5分钟）

1.总结：回顾本节课所学内容，强调重点和难点。

2.反思：引导学生反思自己的学习过程，总结经验教训。

【作业布置】

（用时：5分钟）

1.布置作业：布置一些课后作业，巩固学生对新知识的理解和掌握。

2.作业要求：要求学生在规定时间内完成作业，并按时提交。

【教学过程流程环节】

1.导入环节：激发学生学习兴趣，为新知识的学习奠定基础。

2.讲授新课：围绕教学目标和重点，讲解新知识，确保学生理解和掌握。

3.巩固练习：通过练习和讨论，巩固学生对新知识的理解和掌握。

4.课堂提问：检验学生对知识的掌握程度，提高学生的思维能力。

5.师生互动环节：培养学生团队合作精神，提高学生的表达能力和沟通能力。

6.核心素养能力的拓展：培养学生的数学建模能力和逻辑推理能力。

7.总结与反思：回顾教学过程，引导学生反思自己的学习过程。

8.作业布置：巩固学生对新知识的理解和掌握，提高学生的应用能力。教学资源拓展：1.拓展资源：

-数独游戏：介绍数独游戏的基本规则和玩法，引导学生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决数独问题，提高学生的逻辑思维和计数能力。

-排队问题：通过分析排队问题的不同场景，如银行排队、超市结账等，让学生运用计数原理解决实际问题，培养解决实际问题的能力。

-组合数学应用：介绍组合数学在现实生活中的应用，如密码设置、编码问题等，激发学生对组合数学的兴趣，拓展学生的数学视野。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：推荐学生阅读《数学之美》、《组合数学及其应用》等书籍，深入了解计数原理在数学中的地位和应用。

-参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如全国高中数学联赛、美国数学竞赛（AMC）等，提升学生的数学素养和竞赛能力。

-实践项目：组织学生参与数学实践项目，如研究校园内的计数问题、设计简单的计数程序等，提高学生的实践能力和创新能力。

-开展小组研究：鼓励学生分组进行探究性学习，选择与计数原理相关的研究课题，如“生活中的计数问题”、“计数原理在不同学科中的应用”等，培养学生的团队协作能力和研究能力。

-利用网络资源：引导学生合理利用网络资源，如在线课程、教育论坛等，获取更多有关计数原理的学习资料和交流机会。

-开展课题研究：鼓励学生进行课题研究，如“计数原理在密码学中的应用”、“计数原理在计算机科学中的地位”等，培养学生的科研能力和学术素养。

-组织讲座和研讨会：邀请相关领域的专家进行讲座和研讨会，为学生提供更广阔的学术视野和交流平台。

-结合实际案例：选取与计数原理相关的实际案例，如交通流量分析、库存管理等问题，让学生在实际问题中运用计数原理，提高学生的解决实际问题的能力。典型例题讲解：1.例题：

有5个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，求不同的放法有多少种？

解答：

首先，将5个不同的球分成三组，每组至少有一个球，有以下几种分法：

-(3,1,1)：选择3个球放入第一个盒子，剩下的2个球分别放入另外两个盒子，有C(5,3)种选择方式，然后对剩下的2个球进行排列，有P(2,2)种排列方式，所以共有C(5,3)*P(2,2)=20种放法。

-(2,2,1)：选择2个球放入第一个盒子，再选择2个球放入第二个盒子，剩下的1个球放入第三个盒子，有C(5,2)*C(3,2)种选择方式，然后对第一个盒子中的2个球进行排列，有P(2,2)种排列方式，所以共有C(5,2)*C(3,2)*P(2,2)=90种放法。

将两种情况相加，得到总的不同放法数为20+90=110种。

2.例题：

一个密码锁由4个数字组成，每个数字可以是0到9之间的任意一个数字，求这个密码锁的总数。

解答：

由于密码锁由4个数字组成，每个数字有10种可能（0-9），因此总共有10^4=10000种不同的密码组合。

3.例题：

10个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，求不同的放法有多少种？

解答：

同上例题，将10个不同的球分成四组，每组至少有一个球，有以下几种分法：

-(4,1,1,1)：选择4个球放入第一个盒子，剩下的6个球分别放入另外三个盒子，有C(10,4)种选择方式，然后对剩下的6个球进行排列，有P(6,6)种排列方式，所以共有C(10,4)*P(6,6)=210种放法。

-(3,2,1,1)：选择3个球放入第一个盒子，再选择2个球放入第二个盒子，剩下的5个球分别放入另外两个盒子，有C(10,3)*C(7,2)种选择方式，然后对第一个盒子中的3个球进行排列，有P(3,3)种排列方式，所以共有C(10,3)*C(7,2)*P(3,3)=2520种放法。

将所有情况相加，得到总的不同放法数为210+2520=2730种。

4.例题：

6个不同的球放入3个不同的盒子中，至少有一个盒子为空，求不同的放法有多少种？

解答：

首先，6个球全部放入盒子的情况只有一种，即每个盒子一个球，所以这种情况排除。

剩下的情况是将6个球分成三组，每组至少有一个球，有以下几种分法：

-(4,1,1)：选择4个球放入第一个盒子，剩下的2个球分别放入另外两个盒子，有C(6,4)种选择方式，然后对剩下的2个球进行排列，有P(2,2)种排列方式，所以共有C(6,4)*P(2,2)=15种放法。

-(3,2,1)：选择3个球放入第一个盒子，再选择2个球放入第二个盒子，剩下的1个球放入第三个盒子，有C(6,3)*C(3,2)种选择方式，然后对第一个盒子中的3个球进行排列，有P(3,3)种排列方式，所以共有C(6,3)*C(3,2)*P(3,3)=60种放法。

将所有情况相加，得到总的不同放法数为15+60=75种。

5.例题：

7个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子放球的数量不同，求不同的放法有多少种？

解答：

这种情况只有一种分法：(3,2,1)。

首先，选择3个球放入第一个盒子，有C(7,3)种选择方式；然后，从剩下的4个球中选择2个球放入第二个盒子，有C(4,2)种选择方式；最后，剩下的1个球放入第三个盒子，只有1种选择方式。

因此，总的不同放法数为C(7,3)*C(4,2)*1=35种。反思改进措施：反思改进措施（一）教学特色创新

1.实践与理论相结合：在讲解计数原理时，我尝试将理论知识与实际生活中的实例相结合，比如通过分析排队问题、密码设置等，让学生在实际情境中体会计数原理的应用，这样可以提高学生的学习兴趣和解决问题的能力。

2.小组合作学习：在课堂教学中，我鼓励学生进行小组合作学习，通过讨论和交流，让学生在互动中学习，这样可以培养学生的团队协作能力和沟通能力。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生理解深度不足：部分学生在理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理时存在困难，对原理的运用不够灵活。

2.练习量不足：由于时间限制，课堂上的练习量有限，部分学生可能没有足够的机会进行练习，导致对知识的掌握不够牢固。

3.教学评价单一：主要依靠课堂提问和作业完成情况来评价学生的学习效果，缺乏多元化的评价方式。

反思改进措施（三）

1.深化理论讲解：针对学生理解深度不足的问题，我将增加对原理的讲解深度，通过更多的实例和类比，帮助学生更好地理解计数原理。

2.增加练习环节：课后我将布置更多的练习题，包括不同难度和类型的题目，让学生有更多的机会练习，巩固所学知识。

3.多元化教学评价：为了更全面地评价学生的学习效果，我将引入课堂表现、小组讨论、课后作业等多种评价方式，以更全面地了解学生的学习情况。同时，我也将鼓励学生进行自我评价和同伴评价，提高学生的反思能力。课堂：在课堂评价方面，我将采取以下几种方式来确保教学的有效性和学生的学习效果：

1.提问与互动：通过课堂提问，我可以实时了解学生对知识点的掌握程度。我会设计不同难度的问题，从简单到复杂，鼓励学生积极参与讨论。观察学生的回答和参与度，可以帮助我调整教学节奏和内容深度。例如，在讲解分类加法计数原理时，我会提出一些基础性问题，如“如何将一个集合分成两个互斥的子集？”以及一些拓展性问题，如“如何将一个集合分成三个互斥的子集？”来观察学生的理解和应用能力。

2.小组合作与展示：在小组合作学习中，我会观察学生之间的互动和合作情况，评估他们的沟通能力和团队协作能力。通过小组展示，我可以了解每个学生是否能够将所学知识应用到实际问题中。例如，在讨论分步乘法计数原理时，我会让学生分组讨论如何计算在一个复杂的问题中所有可能的结果，并要求每组展示他们的解题过程。

3.形成性评价与即时反馈：在教学过程中，我会进行形成性评价，通过随堂小测验、课堂练习等方式，及时检测学生的学习成果。对于学生的表现，我会给予即时的反馈，无论是正面的鼓励还是针对性的指导，都能帮助学生及时调整学习策略。

4.作业评价与反馈：对于学生的作业，我会进行细致的批改和点评，确保每个学生都能看到自己的进步和需要改进的地方。通过作业，我可以了解学生对知识点的长期掌握情况，同时也会在作业批改后及时与学生交流，讨论作业中的难点和错误，帮助他们克服学习中的困难。

5.定期测试与总结：除了日常的课堂评价，我还会定期组织小测验或单元测试，以评估学生对整个章节内容的掌握情况。在测试后，我会进行总结，分析学生的整体表现，并在下一节课中针对共性问题进行重点讲解。板书设计：①

-分类加法计数原理

-原理：将一个集合分成若干个互斥的类别，每个类别至少有一个元素，所有类别的元素个数之和