2026年高考数学终极冲刺专项02 数列及求和6大题型（大题专练）（原卷版）

专项02数列及求和

内容导航

【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测

【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式

【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分

根据近五年全国卷考情，等差数列、等比数列与数列求和是必考主干，分值约10-22分．

命题趋势：

解答题：稳定考查数列（常为第15题或16题），通常情况下与解三角形解答题二选一，一般考查内容

是等差等比数列性质的简单应用，求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分组

求和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的认识

以及自主学习能力问题.

2026年预测：解答题极可能仍为数列常规题．

备考核心：熟记等差（等比）数列的通项公式、求和公式和性质，解答题强化“求数列通项及求和”综

合训练，小题提升转化与化归能力．

题型01数列通项及分组求和

析典例·建模型

，

1．（2026·陕西商洛·二模）已知等差数列an满足a33a44．

(1)求数列an的通项公式；

(2)若数列anbn是首项为2，公比为3的等比数列，求数列bn的前n项和．

研考点·通技法

通项求解：优先观察型（等差、等比、周期）；递推型用累加法、累乘法、构造法（如an+1=pan+q）；Sn

S,n1,

与混用必用1，勿忘验证首项

anan.

SnSn1.n2,

分组求和：识别通项可拆为等差、等比、常数、奇偶项等结构，按类型拆分数列.分别对各组用对应求和公

式（等差、等比求和），再合并结果。注意项数统计、下标换算与符号，尤其奇偶分组时项数要准确.

核心：先拆通项结构，再分组套公式，严谨核对项数与首末项.

破类题·提能力

1．（25-26高三下·上海·月考）已知数列an满足a11,an3an14n2,nN．

(1)求证：数列an2是等比数列；

(2)若bnan2n，求数列bn的前n项和Sn．

2．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列an是等差数列，且a11，2a3a43，数列bn满足b13，bn13bnan.

(1)求an的通项公式，并证明数列bnn是等比数列；

(2)若数列cn满足cnanbn，求cn的前n项和Tn.

题型02数列通项及裂项求和

析典例·建模型

1．（25-26高三上·河北石家庄·期末）在正项数列an中，a14，an1an4an4.

(1)证明：数列an是等差数列；

1

10

(2)记bn，设数列bn的前n项和为Sn，求满足Sn的最小整数n.

an121

SS1

2．（2026·河北保定·一模）已知数列a的前n项和为S，且a1，n1n.

nn1n1n2

(1)求Sn

n2n1

(2)若bn1，求数列bn的前n项和.

anan1

研考点·通技法

一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂项”求和技巧简捷求解该数列的前n

项和．常见的“裂项”结论有：

11111111

(1)n1nnN

nn1nn12n12n122n12n1n1n

n

a

(2)形如aN,a2

an1an11

an111

当aN，a2时，易知

an1an11a1an1an11

n1

aa1

(3)形如aN,a2,b0

an1banb

an1a111

当aN，a2时，易知

an1banban1banb

2n12

aann1

(4)形如aN,a2

nn1

2n122n32n1

aann1aa

当aN，a2时，易知

nn1n1n

a1na

(5)形如aN,a2

nn1an1

a1na11

当aN，a2时，易知

nn1an1nann1an1

破类题·提能力

．（辽宁抚顺一模）已知数列前n项的积为2n1

12026··anTn3.

111

(1)判断，，是否成等差数列，并给出证明；

1an1an11an

11

(2)令bn，求数列bn的前n项和Sn，

1an1an

2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列an满足a13,a28，且对任意的正整数n，当n2时，都有

an1an12an2．

2

(1)证明：数列ann是等差数列；

2n3

(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn．

anan1

x

3．（2026·云南·模拟预测）已知函数fxa1（a0且a1）的图象经过点1,2，记数列an的前n项

和为Sn，且Snfn.

(1)求数列an的通项公式；

3n111

(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn．

an1an112112

题型03数列通项及错位相减求和

析典例·建模型

n1

．（高三上吉林期中）已知数列{a}的前项和S，1*，数列{b}满足

125-26··nnnSn2annNn

2

n

bn2an.

(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.

研考点·通技法

设an是等差数列，bn是公比q1的等比数列，则数列anbn的前n项和Sn的常规求法是错位相减法，

Aq1Aq

nn

取巧可这样做：设anAnBqq1，则Snxnyqy，其中x，yBq.

1q1q1q

推导过程请参考视频，x、y的计算公式可不记，记住Sn的形式，取S1和S2用待定系数法来算就可以了.

破类题·提能力

1．（2026·吉林通化·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S64S3，a42a21．

(1)求数列an的通项公式；

a

1n

数列b满足，求数列的前项和T．

(2)nbnanbnnn

2

*

2．（2026·河南·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn,an22an1an,nN，且S64S3，a2n2an1．

(1)求数列an的通项公式；

a

1n

数列b满足，求数列的前项和T．

(2)nbnanbnnn

2

题型04数列通项及奇偶项讨论问题

析典例·建模型

1．（2026·黑龙江·一模）数列an是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，满足____．数列bn满

足b12，且bn1bnanan1．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.

①a12，S314；

②a12，a11，a2，a33成等差数列；

③S314，S6126；

(1)分别求出数列an与bn的通项公式；

b,n为奇数

(2)若数列c满足cn，求数列c的前10项和T．

nn为偶数n10

an,n

（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）

研考点·通技法

核心思路：分奇偶讨论、分别构造通项、合并结果，3步速解：

1.拆分奇偶项：按下标n分奇数项与偶数项分组，单独分析递推关系、公差或公比.

2.求分段通项：奇数项、偶数项分别套用等差或等比公式，写出对应k的表达式.

3.验证合并：核对边界项一致性，整理成分段函数形式；求和时同理，奇项和、偶项和分开计算再累加.

破类题·提能力

1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列an满足a1a36,a1a23．数列bn的各项均为正数，b12，

2

且2bnbnbn12bnbn10．

(1)求数列an,bn的通项公式；

为奇数

bn,n

(2)设c，求数列c的前2n项和T．

n1n2n

，n为偶数

an1an1

2．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知等差数列an的前n项和为Sn，bn是公比大于0的等比数列，

a33，S32S2，b12，且b2，a6，b3成等差数列.

(1)求数列an与bn的通项公式；

an,n2k1

2n1

*

(2)设cn6an7bnkN，求ci；

,n2k

i1

2an12an21

a,n2k,2n1

设n（），求

(3)dnkkNdi.

dn11,n2i1

题型05数列证明类问题

析典例·建模型

2

1．（2026·山西运城·一模）设正项数列an的前n项和为Sn，且2Snanan．

(1)求an的通项公式;

1

(2)若bn，记数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn2．

2an1

1

*

2．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知数列an满足a1，an11an12an1，n.

3

(1)求数列an的通项公式;

*1

(2)证明:对n，a1a2a3a2a3a4anan1an2.

24

研考点·通技法

核心是抓定义、用递推、巧放缩，分三类突破：

1.等差等比证明：紧扣定义，证相邻项差或比为常数，或用中项性质，优先化简递推式.

2.通项与求和证明：利用累加法、累乘法、Sn与an关系推导，代入验证等式成立.

3.不等式证明：常用放缩法（裂项、等比放缩）、数学归纳法、函数单调性，先放缩再求和.

关键步骤：先梳理递推关系，再选对应方法，严谨书写推理过程，注意n的取值范围.

破类题·提能力

*

1．（25-26高三下·重庆·月考）已知数列an满足a10,an3an14n2,nN.

(1)数列an能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由；

1

(2)证明:a4a4.

n2n1

2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列an满足an1an1cosn1cosn，且a11cos1．

(1)求an；

(2)若a2n1a2n12，求证：sinncosn1；

(3)求2sin24sin46sin6180sin180的值．

题型06数列型定义问题

析典例·建模型

a11a12

1．（2026·北京平谷·一模）设数阵A0，其中a11,a12,a21,a221,2,,6．设

a21a22

Se1,e2,,ei1,2,,6，其中e1e2ei,iN且i6．定义变换k为“对于数阵的每一行，

若其中有k或k，则将这一行中每个数都乘以1；若其中没有k且没有k，则这一行中所有数均保持

不变．表示将经过变换得到，再将经过变换得到A，，以此类

ke1,e2,,eiSA0“A0e1A1A1e22…

推，最后将经过变换得到，记数阵中四个数的和为．

Ai1eiAi”AiTSA0

12

(1)若A0，写出A0经过3变换后得到的数阵A1；

35

13

(2)若A0,S1,2,4，求TSA0的值；

44

(3)对任意确定的一个数阵A0，证明：对所有可能的非空子集S，对应的TSA0的值的总和不超过4．

研考点·通技法

定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：

第一步：提取信息—对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，

第二步：加工信息—细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可

以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点.

第三步：迁移转化—如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一

般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）.

第四步：计算，得结论—结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论.

破类题·提能力

1．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列an中，记anan1an，若an为等差数列，则称an为二阶等差数

列．

2

(1)若an4n5n3，判断an是否为二阶等差数列？并说明理由；

(2)已知二阶等差数列an满足a10，a21，a33．

①求数列an的通项公式；

n1*

②若不等式ank2对nN恒成立，求实数k的取值范围．

nn

*

2．（25-26高三下·重庆·月考）设有穷数列an：a1,a2,a3，…，ann2,nN满足ai0且aitt0，

i1i1

则称其为“n阶t数列”．

(1)若“8阶4数列”：a1,a2,a3,,a8是递增的等差数列，求a1；

(2)设“n阶t数列”满足a1a2a3an．

（i）记该“n阶t数列”的前r项和为Sr1rn．证明：数列Sn:S1,S2,S3,,Sn不是“n阶t数

列”；

（ii）证明：na1an2t．

（建议用时：60分钟）

刷模拟

1．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知等比数列an的公比为qq0且q1，等差数列bn的公差为d，

满足条件：a1b11，a3b4，a4b8.

(1)求数列an和bn的通项公式；

(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.

2．（25-26高三上·河南信阳·期末）设数列an是等差数列，bn是等比数列.已知b12a12，b2a22，

b32a32.

(1)求an和bn的通项公式；

(2)设cnlog2b2n114，求数列cn的前n项的和Tn.

3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列an，等差数列bn其前n项和分别为Sn，Tn，

满足S2T26，S430，T420.

(1)求an，bn的通项公式；

(2)将数列an与bn中的项按从小到大依次排列构成一个新数列cn，求数列cn的前50项和H50.

4．（2026·河北保定·一模）已知等差数列an满足anan12n1．

(1)求an的通项公式；

n2an

(2)设数列bn满足bn(1)an2，求bn的前2n项和T2n及其最小值．

2a

n*

5．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知数列an的首项a12，且满足an1，nN.

an2

1

(1)证明数列是等差数列，并求数列an的通项公式；

an

(2)若bna2n1a2n1，记数列bn的前n项和为Sn，证明：Sn2.

6．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn3an4n3.

(1)证明：an2是等比数列；

(2)设bnnan2，求数列bn的前n项和Tn.

7．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数fx2x2x.

(1)若数列anfn，求数列an的前n项和Sn；

*

(2)已知函数fx在xn(nN)处的切线为直线ln，直线ln在y轴上的截距为bn，求数列bn的前n

项和Tn.

*

8．（2026·湖北孝感·二模）已知数列an的前n项和为Sn，若对任意nN，向量pn4,2n1，qnSn,an，

为奇数

an1,n

有pq1．数列b满足b，其前n项和为Tn．

nnnn为偶数

3an,n

(1)求数列an的通项公式；

*

(2)若TnSnn对任意nN恒成立，求实数的取值范围．

4

9．（2026·陕西·模拟预测）已知函数fx定义在区间1,1内，f2,x,y1,1时，恒有

5

xy

fxfyf.

1xy

(1)证明：fx为奇函数；

2a

1n

(2)若数列an满足0an1，a1，an12.

2an1

（i）证明：数列fan为等比数列，并求出数列fan的通项公式；

234n1

n*

（ii）设bn，若(1)bn64对nN恒成立，求的取值范

fa1fa2fa3fan

围.

10．（25-26高三下·北京·开学考试）已知n,k为正整数，n4，若数列x1,x2,,xn同时满足：

①对任意1ln，均有xl1,2,,k；

②对任意2ln1，均有xl1xlxlxl1xl1xl10；

22

③对任意1abcdn，均有xaxcxbxd0，

则称该数列为nk数列．

(1)若数列1,2,3,p,q是54数列，直接写出pq的所有可能值；

(2)若数列x1,x2,,xn是n4数列，求n的最大值；

(3)若数列x1,x2,,xn是nk数列，求2kn的最小值．

刷真题

aa1

1．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列a中