2026年高考数学终极冲刺压轴11 数列的奇偶项问题与子数列问题的5大核心题型（原卷版）

压轴11数列的奇偶项问题与子数列问题的5大核心题型

子数列问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的

重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.

题型01数列中相邻两项和或积的问题

技法指导

递推公式为an＋1＋an＝f(n)或an＋1·an＝f(n)的形式，求通项公式或数列求和的方法

（1）求通项公式：由an＋1＋an＝f(n)与上式作差可得隔项递推公式an＋2－an＝f(n+1)－f(n)；对于后一种可

由an＋2·an+1＝f(n+1)与上式作商可得隔项递推公式，然后求解.

（2）求前n项和Sn：求出通项公式,则Sn=S奇+S偶；或者利用an＋1＋an＝f(n)，可直接并项求和.

2*

1.（2025·广东清远·二模）已知数列an的前n项和为Snn4n(nN)．

(1)求数列an的通项公式；

2*

(2)若数列cn满足cn1cnan，且不等式cn2n0对任意的nN都成立，求c1的取值范围．

*

2.（2026·广东·一模）在数列an中，a12，a28，且对任意的nN，都有an24an14an．

(1)证明：an12an是等比数列，并求出an的通项公式；

(2)求数列an的前n项和Sn．

f(n),n为奇数

题型02型

an

g(n),n为偶数

技法指导

1.当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，其中奇数项、偶数项各有项，可直接分组求和，即Sn

�

＝（a1＋a3＋…＋an－3＋an－1）＋（a2＋a4＋…＋an－2＋an）.2

2.当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋anSn＝Sn－1＋an，其中Sn－1可利用上述结论代入，然后再

快速求解Sn＝Sn－1＋an.⇒

3.当题目条件中出现连续两项的和时，常采用减项作差法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，

从而求出其通项公式.

4.当题目条件中出现连续两项的积时，常采用约项作商法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，

从而求出其通项公式.

为奇数

an6,n

（新课标卷）已知a为等差数列，b，记S，Tn分别为数列a，b的

3.2023·ⅡT18nn为偶数nnn

2an,n

前n项和，S432，T316．

(1)求an的通项公式；

(2)证明：当n5时，TnSn．

an1bn2an

4.（2025·辽宁大连·模拟）若数列an和bn满足：a11，b17，且

bn13bn4an

(1)设cnanbn，证明：cn是等比数列；

ab,n为奇数

设dnn，试求d的前项和S．

(2)n为偶数nnn

4anbn,n

题型03含有(-1)n类型

技法指导

对n分奇、偶进行讨论,转化为相邻两项和或差求解，当项数不确定时，要分奇数和偶数讨论求解.

5.（2025·河南郑州·二模）已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且a11，Sn1是1Sn与Sn1的

等差中项.

(1)证明：数列Sn是等差数列；

n

(2)设bn1Snan，求数列bn的前2n项和T2n.

SS1

6.（2026·河北保定·一模）已知数列a的前n项和为S，且a1，n1n.

nn1n1n2

(1)求Sn

n2n1

(2)若bn1，求数列bn的前n项和.

anan1

题型04两数列的公共项

技法指导

两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是

等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．

3n2n

7.（2026·重庆万州二模）已知数列an的前n项和S，bn为等比数列，公比为2，且b1，b21，

n2

b3为等差数列.

(1)求an与bn的通项公式；

(2)把数列an和bn的公共项由小到大排成的数列记为cn，求数列cn的前n项和Tn.

8.（2025·山东青岛·二模）已知等差数列an满足a3a18，且a21是a1和a31的等比中项，数列bn的

前n项和为Sn，且满足b13，2Snbn13.

（1）求数列an和bn的通项公式；

*

（2）将数列an和bn中的公共项按从小到大的顺序依次排成一个新的数列ck，kN，令dklog3ck，

1

求数列的前k项和Tk.

dkdk1

题型05数列有关增减项问题

技法指导

对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)了多少项

(运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.

9.（2025·陕西咸阳二模）已知等比数列an的前n项和为Sn，且an12Sn2(nN*)．

（1）求数列an的通项公式．

（2）在an与an1之间插入n个数，使这n2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列dn中是否存在3

项dm，dk，dp，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明

理由．

（安徽黄山一模）已知数列b为等比数列，正项数列a满足4aa2a24，且，

10.2025·nnnn1na12,b11

a4b4.

(1)求an和bn的通项公式；

(2)若从an中去掉与数列bn中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列cn，设

T100c1c2c3c100，求T100.

n

．（福建福州期中）在数列中，已知，1，记为的前项和，，

12025··ana11anan1Snannbna2na2n1

2

nN*．

(1)判断数列bn是否为等比数列，并写出其通项公式；

(2)求数列an的通项公式．

为奇数

an1,n,

（全国新高考卷）已知数列a满足a1，a

2.2021··1T17n1n1为偶数

an2,n.

（1）记bna2n，写出b1，b2，并求数列bn的通项公式；

（2）求an的前20项和.

3.（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列an是公差大于2的等差数列，其前n项和为Sn，a25，且a11，

a21，a52成等比数列．

(1)求数列an的通项公式；

2a3

n1n

(2)令bn(1)，求数列bn的前n项和Tn．

(3n2)an

n*n

4.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列an满足a15，an12an3（nN），记bnan3．

(1)求证：bn是等比数列；

2n1n

设c，数列的前项和为．若不等式n对一切*恒成立，求实数的

(2)ncnnSn(1)Snn1nN

bn2

取值范围．

*

5.（2025·河北廊坊联考）已知数列{an}的前n项和Sn满足2Snnann，nN，且a23．

a1

（1）求证：数列n(n2)是常数列；

n1

（2）求数列{an}的通项公式．若数列{bn}通项公式bn3n2，将数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺

序排列得到数列{cn}，求{cn}的前n项和．

为奇数

an2,n,

6.（陕西西安二模）已知数列a满足a1，a

2025··n1n1为偶数

2an,n,

(1)记bna2n2，求b1，b2，并证明数列bn是等比数列；

(2)记cna2n3，求满足c1c2c3cn100的所有正整数n的值.

7.（2025·福建莆田·二模）记Sn为等差数列an的前n项和．已知2a4a314,S315．

(1)求an的通项公式；

*n*

(2)记集合Axxan,nN,Bxx21,nN，将AB中的元素从小到大依次排列，得到新数列

bn，求bn的前20项和．

8.（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把

这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积

扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第n次“积扩充”后所得数列的项数记为An，

所有项的积记为Pn．

(1)求A2和P2；

(2)求An和Pn．

(3)求数列Pn的前n项积Tn．

9．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列an满足a1a36,a1a23．数列bn的各项均为正数，b12，

2

且2bnbnbn12bnbn10．

(1)求数列an,bn的通项公式；

为奇数

bn,n

(2)设c，求数列c的前2n项和T．

n1n2n

，n为偶数

an1an1

10.（2026·河南南阳·模拟预测）记数列an的前n项和为Sn，已知a11,2anSn为常数列.

(1)求an的通项公式；

1

(2)在an与an1之间插入n个数，使这n2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn.

dn

11．（2026·河北保定·一模）已知等差数列an满足anan12n1．

(1)求an的通项公式；

n2an

(2)设数列bn满足bn(1)an2，求bn的前2n项和T2n及其最小值．

12．（25-26高二上·广东广州·期末）记Sn为等比数列an的前n项和，已知3Snan11．

(1)求an的通项公式；

n1

(2)设bn1nan，求数列bn的前n项和Tn．

13．（2026·宁夏银川·模拟预测）设函数fx3sin2xcos2x10，且fx的图象相邻两条对

π

称轴的距离为.

2

(1)求fx的单调递增区间；

13

(2)求fx在x0,上的值域；

24

(3)将fx