高中数学练习题

数学练习题9

1.已知集合4={#+1>0},8={乂/一工一6《0}则AI3=()

A.(-1,3]B.(-1,-3)C.(-1,2]D.(-1,2)

2.如图，在边长为。的正方形内随机地撒一把豆子，落在正方形内的豆子粒数为m,落在阴影内的豆子粒数

为〃，据此估计阴影的面积为（)

na2m

A・B.C.D.—

mnna~

3.设。力是空间两条直线，则“。力不平行”是力是异面直线〃（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数/(x)=xln/的

大致图象为（）

5.己知函数y=cos(g—3x),则卜.列关于它的说法正确的是（

B

A.图象关于），轴对称，图象的一个对称中心是（一笄‘°）’

C.周期是一生D在上是增函数.

3

6.如图圆锥的高50=6底面直径/W=2,C是圆O上•点，且AC=1

则必与8c所成角的余弦值为（）

A.近B心

D

44

4

7.己知cosa=一一ae(-K,0),则tan(a-?)=()

5

A.7B.7c-4D.-7

9

厂y2

8.已知双曲线=1的左右焦点分别为F］，尸2,以它的一个焦点为圆心，半径为。

的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A,8两点，则四边形入8的面积为（)

A.3B.4C.5D.6

9.如图，边长为2的正方形ABCD中，E,尸分别是BGCD的中点，现在沿4EAF

及E尸把这个正方形折成一个四面体，使8C,。三点重合，重合后的点记为尸，

则四面体夕-用的高为（）

A.\

BtD.1

10.若x,y,zw/T,且3'=4y=12z,--G(〃,n+1),/?£N,则n的值是

z

A.2B.3C.4D.5

II.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当x20时，f(x)=x(x-4),则方程

/(x)=/(2-x)的所有解的和为()

A.4+6B.1C.3D.5

12.已知椭圆二十2=1的左右焦点分别为E，居，过写作倾斜角为45。的直线与桶圆交于A,B两点,

a~b~

且质=2赤，贝ij椭圆的离心率二(

亚D.受

A石c

A.---B.-----

3223

x+y<2,

13.已知实数满足，2x+)，22,则z=x+2y的最小值为.

y>0,

14.“五、一”小长假快到了，某单位安排甲、乙、丙、丁四人于5月I日至5月4日值班，一人一天，甲的

值班只能安排在5月I日或5月41=1且甲、乙的值班日期不能相邻的排法有种.

15.如图，已知为圆。的一条弦，且丽•就=2,则|瓶|=,

16.海上一艘轮船以60〃〃?诙/力的速度向正东方向航行，在

A处测得小岛。在北偏西30。的方向上，小岛。在北偏

东30。的方向上，航行20min后到达B处测得小岛C在

北偏西60。的方向上，小岛。在北偏西15。的方向上，则

两个小岛间的距离CD=nmile

17.设数列｛〃,,｝的前〃项和为S”,S'=加“-1.

⑴求证：打，是等比数列；⑵求他“｝的通项公式，并判断他”｝中是否存在三项成等差数歹ij?若存在，请举

例说明；若不存在，请说明理由.

18.《流浪地球》是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2019年春节档上影，该片上影标志着中国电影科幻

元年的到来；为了振救地球，延续百代子孙生存的希望,无数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，

催人奋进.某网络调查机构调查了大量观众的评分，得到如下统计表：

评分12345678910

频率0.030.020.()20.030.040.050.080.150.210.36

⑴求观众评分的平均数？⑵视频率为概率，若在评分大于等于8分的观众中随机地抽取1人，他的评分恰好

是10分的概率是多少？⑶视频率为概率，在评分大于等于8分的观众中随机地抽取4人，用自表示评分为10

分的人数，求&的分布列及数学期望.

19.如图，在四棱锥S-ABCZ）中，AB=AD=AS=2BC,AD//8C,A。J•平面ABS，二面角B-AO-S

为60。，E为SD中点、.

⑴求证：（2）求与平面SC。所成角的余弦值.

45

20.已知抛物线C:9=2PMp>0）上•点到它的准线的距离为;.

22

⑴求〃的值;⑵过点（2,0）作两条斜率之积为-2的直线//，直线//分别与抛物线。交于A8和。,七,

线段A8,DE的中点分别是M,N,求证：直线MN过定点.

21.已知函数/(A)=eav-a(x+2),a工0.

⑴讨论/（幻的单调性；⑵若函数有两个零点与〈占），求证：e%+e->2.

22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为

x=3+2cose

（a为参数）.

y=2G+2sina

⑴写出C的普通方程，求。的极坐标方程;

⑵若过原点的直线/与C相交于A8两点，A3中点。的极坐标为（夕°,土），求。的直角坐标.

3

参考答案

一、选择题：AABDB,ACDBC,CA

二、填空题：13.1;14.8:15,2；16.1076.

三、解答题：

a

17.(1)①〃=1时,％=1%-1，・,4=2...........................................................................2分

②〃22时，QS.=5q—=5。，1一1，...................................................................4分

33

•••4=Q4-yi，4=H-I...................................................................6分

二.q尸0,...................................................................7分

二.2=3,.♦.｛〃“｝是等比数列.......................8分

%

⑵由⑴知｛〃“｝是等比数列,q=2,公比4=3,

1()分

2

.,.点(〃,a”)都在曲线)，=-x3、上，

3

Q曲线＞，=』x3,上任意两点确定的线段，除端点外都在该曲线上方,即无三点共线.

3

.,.不存在三项成等差数列...........................12分

(注：本题用反证法等方法，请参照给分)

18.解:⑴设观众评分的平均数为了，则

x=lx0.03+2x0.024-3x0.02+4x0.03+5x0.04+6x0.05+7x0.08+8x0.15+9x0.21

+10x0.36=8(分)：..........................3分

⑵①设A表示事件：“1位观众评分不小于8分”，3表示事件：“1位观众评分是10分”,

,P(8/A)=”=236_」，.............................6分

'7P(A)0.15+0.21+0.362

②由题知&服从8(4,；),P(g=A)=C%l—g)J(g)*=C*g)4(Z=0/,2,3,4)

分布歹|J：

自01234

131

P

记4S416

...E⑶=4x(=2...............................................................12分

19.(1)证明：作SA中点凡连接所

QE为SD中点,:.EFK；AD、1分

QBCU-AD,：.EFUBC

2

得丫BCEF,CE/IBF......3分

QAZ5_L平面ABS,

.•.N83为二面角3-A£)-S的平面角，

.•.NSZ5=60°,......4分

QAB=AS,：.BA=BS,:.BF±SA

,.CErSA......6分

(2)作，卜点O,由⑴知SO_LASSO上AD,

QAB\AD=D「.SO_L平面ABC。.7分

如图建立空间直角坐标系O-冷，z,设8C=I,则

LsiHU5a广

S((),0,V3),C(l,1,0),D(-1,2,0),CD=(-2,l,0),CS=(-1,-1,V3)

-2x+y=0l

设平面SC。的法向量〃=",*),得<'r，可取〃=(1,2,6),...9分

-X-y+\]3z=0

uiai_

uimuian-AR2/2

QAB=(2,0.0),/.cos</i,AB>=-----ut»-=—=——x..........11分

V8X24

IRB^/|4./TZ

.•.sin<n,^>=——，.•.?!«与平面SCO所成角的余弦值为匚..........12分

44

（注：本题结合等体积怯等方法，请参照给分）

20.解：（1）抛物线C：9=2〃X（〃>0）的准线为工=一5..........................2分

由已知得，〃（|,川）到准线的距离为|,「垓+^=£,:.p=2

二.抛物线C方程：y2=4x.............4分

（2）由已知可设，4：x=/??!y+2,/2：x="A.y+2

34X，

由4-得：/-4wvy-8=0

x=町y+2

设A（X],），|）,8（.4,丫2），则y+乃=4叫.............................6分

/.yM=2叫，又X”=2〃?：+2,即M(2〃i；+2,2〃?1)

同理可得：N（2〃zj+2,2，&）........................................8分

2叫-2叫

----(仍+吗X0)

（2+2〃始）一（2+2〃片）〃?1+/%

/.MN:y-2ni}=-------(x-2"[：-2)>

%+m2

---!---(x-2+2〃&in,)

即），10分

町+"〃

Q4,/,的斜率之积为-2,-...-=-2即科=--

町niy-2

...MN:y=一!一(x-3)即直线MN过定点(3,0)11分

町+吗

当町+〃4=01时，不妨设町>0,〃72〈0,则町=+，叫=-+，MN也过点(3,0)

综上，即直线MN过定点(3,0)12分

21.已知函数/(x)=*-a[x+2)MH0.

⑴讨论/*)的单调性；⑵若函数/")有两个零点%,吃(N〈/)，求证：eav'+e^>2.

解：⑴/")=优0-。=。©"-1),由/")=0,得x=0......................1分

①a>0时,「x>0时，ett'>1,/.f\x)>0

2°x<0时，eM<i：,ff(x)<()......................2分

②。<0时,『工>0时，erw<1,.\/z(x)>0

2。x<0时，eftt>1,.\f(x)<0......................3分

综上,f(x)的增区间是[0,+oo),减区间是(YO,0).................4分

⑵由⑴知，/(X)有两个零点时，

x,<0<x2,/(0)=e0-6/(0+2)<0,/.a>^.................5分

令ertV,=%,ertV?=q,则叫=In§,%=In%乙J,为方程，一In，-2a=0的两根，

令g(f)=F-Int-2a,则―为g⑺的两个零点，0v力v1气.............6分

=2-2r,-ln(2-0+ln/1..................8分

令/?(/,)=2-2z,-ln(2-%)+1鹏在w(0,1),则

£_2(2—乙兑+八+(2-4)_2(八一1)一

⑴>0

”7+kG(2-乙兑(2-/,)/(

)在(0,1)上单调递增，/./?(r,)<M1)=0.................10分

...g(2g(t2)<。，即g(2-乙)<g(t2)

it-1

Qg")=1-7=7,.,.当fe(1,”)时,g⑴单调递增

Q(2-/j),t2€(l,+oo),2-Zj