初中数学几何图形综合题

初中数学几何图形综合题

必胜中学2018-01-3015:15:15

题型专项几何图形综合题

-------------------小题型概述---------------------

【题型特征】以几何知识为主体综合题，简称几何综合题，主要研究图形中点及线

之间位置关系、数量关系，以及特定图形判定和性质.一般以相似为中心，以圆为重

点,常常是圆及三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识综合运用.

【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形，把复杂图形分解成

几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规证题方法和思

路;(3)运用转化思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几何计算问题.还要灵

活运用其他数学思想方法等.

【小结】几何计算型综合问题，是以计算为主线综合各种几何知识问题.这类问题

主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在

充分利用几何图形性质及题设基础上挖掘几何图形中隐含数量关系和位置关系，

在复杂“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并

善于联想所学知识，突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.

【提醒】几何论证型综合题以知识上综合性引人注目.值得一提是，在近年各地中

考试题中，几何论证型综合题难度普遍下降，出现了一大批探索性试题，根据新课

标要求，减少几何中推理论证难度，加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命

题新趋势.

为了复习方便，我们将几何综合题分为:以三角形为背景综合题;以四边形为背景

综合题;以圆为背景综合题.

物真题精讲

类型1操作探究题

1.在RtZkABC中，NC=90°,RtZiABC绕点A顺时针旋转到RtZ\ADE位置,

点E在斜边AB上，连接BD,过点D作DF±AC于点F.

(1)如图1,若点F及点A重合，求证:AC=BC：

(2)若NDAF=NDBA.

①如图2,当点F在线段CA延长线上时，判断线段AF及线段BE数量关系，并

说明理由；

②当点F在线段CA上时，设BE=x,请用含x代数式表示线段AF.

解：(1)证明：由旋转得，ZBAC=ZBAD,

VDF1AC,

AZCAD=90o.

・・・NBAC=NBAD=45。.

・・・/ACB=90°,

・・・NABC=45。.

・・・AC=BC.

(2)①AF=BE.理由：

由旋转得AD=AB,・・.NABD=NADB.

丁NDAF=ZABD,ZDAF=ZADB.

・・.AF〃BD.・・・NBAC=/ABD.

ZABD=ZFAD,由旋转得NBAC=ZBAD.

・•・NFAD=NBAG=ZBAD=1/3x180°=60°.

由旋转得,AB=AD.AAABD是等边三角形..・.AD=BD.

在aAFD和aBED中：1.NF=.NBED=90°；2.AD=BD；3.ZFAD=ZEBD,

.,.△AFD^ABED(AAS).AAF=BE.

②如图

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点0逆时针旋转a角(0°<a<

360°)得到正方形OE'F'G’,如图2.

①在旋转过程中，当/0AG'是直角时，求a度数；

②若正方形ABCD边长为1,在旋转过程中，求AF'长最大值和此时a度数，直

接写出结果不必说明理由.

解：(1)证明：延长ED交AG于点H,

・・,点0是正方形ABCD两对角线交点，

A0A=0D,0A10D.

在aAOG和aDOE中，1.0A=0D；2.ZAOG=ZDOE=90°；3.OG=OE

・・・AAOG^ADOE.AZAGO=ZDEO.

VZAG0+ZGA0=90°,AZGA0+ZDE0=90°.

・・・NAHE=90°,BPDEIAG.

⑵①在旋转过程中，N'OAG'成为直角有两种情况：

(1)。由0°增大到90°过程中，当NOAG'=90°时，

V0A=0D=1/2*0G=1/2*0Gz,

Z.ffiRtAOAG'中，sinZAG"O=OA/OG/=1/2

・•・NAG'O=30。.

VOA±OD,OA_LAG',「.OD/ZAG'.

AZD0G/=NAG'0=30°,即a=30°.

(H)a由90°增大到180°过程中，当NOAG，=90°时，

同理可求NBOG'=30°,・・.a=180°-30°=150°.

综上所述，当NOAG'=90°时，。=30°或150°.

②AF'最大值为2分子根号2+2,此时Q=315°.

提示：如图

当旋转到A,0,F'在一条直线上时,AF'长最大，

・・•正方形ABCD边长为1,

・・・0A=0D=0C=0B=2分子根号2.

V0G=20D,・・・0G'=0G=....OF'=2.

AAFr=AO+OF,=2分子根号2+2.・・・NC0E'=45°,，此时a=315°.

3.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M是边CD上一点，将△ADM沿直线

AM对折，得到△ANM.

⑴当AN平分NMAB时，求DM长；

(2)连接BN,当DM=1时，求aABN面积；

(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF最大值.

解：（1）由折叠可知aANM丝△ADM,

AZMAN=ZDAM.

TAN平分NMAB,

/.ZMAN=ZNAB.

・•・/DAM=NMAN=/NAB.

・••西边形ABCD是矩形,

，ZDAB=90°,/.ZDAM=30°.

••・DM=AD・tan/DAM=3x3分子根号3=根号3。

⑵如图1,延长MN交AB延长线于点Q.

•・•四边形ABCD是矩形，・・・AB〃DC.

AZDMA=ZMAQ.

由折叠可知△ANMgAADM,

ZDMA=ZAMQ,AN=AD=3,MN=MD=L

AZMAQ=ZAMQ.

，MQ=AQ.

设NQ=x,则AQ=MQ=1+x.

在RtAANQ中，AQ2=AN平方+NQ平方，

・・・（x+1）平方=3平方+x平方.解得x=4.

•••NQ=4,AQ=5.

VAB=4,AQ=5,

ASANAB=4/5*S,ANAQ=4/5•1/2・AN・NQ=24/5.

（3）如图2,过点A作AH_LBF于点H,则△ABH-aBFC,・・.BH/AH=CF/BC.

VAH^AN=3,AB=4,

，当点N,H重合（即AH=AN）时,DF最大.（AH最大，BH最小,CF最小,DF最

大）

此时M,F重合,B,N,M三点共线，△ABH0ZXBFC（如图3）,

.,.CF=BH=^AB2-AH2=AJ42-3?=币.

，DF最大值为4—根号7

图1

类型2动态探究题

4.(2016*自贡)已知矩形ABCD一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得顶点

B落在CD边上P点处.

(1)如图1,已知折痕及边BC交于点O,连接AP：OP,OA.若aOCP及4PDA

面积比为1：4,求边CD长；

(2)如图2,在(1)条件下，擦去折痕A0,线段0P,连接BP.动点M在线段AP上

(点M及点P,A不重合)，动点N在线段AB延长线上，且BN=PM,连接MN交

PB于点F,作MELBP于点E.试问当动点M,N在移动过程中，线段EF长度是

否发生变化？若变化，说明变化规律.若不变，求出线段EF长度.

解：(1):四边形ABCD是矩形，.・.NC=ND=9(r.

・・・NAPD+NDAP=90。.

・・♦由折叠可得NAP0=NB=90°,

・•.ZAPD+ZCPO=90°.AZCPO=ZDAP.

又・・・/D=NC,,••△0CPs^PDA...,40CP及APDA面积比为1：4,

•OP_CP_

：.CP=-AD=4.

'PA7DA~2

设OP=x,则C0=8—x.在RtAPCO中，ZC=90°,

由勾股定理得

x2=(8-x)2+42

,解得x=5.，AB=AP=20P=10.・・・CD=10.

(2)过点M作MQ〃AN,交PB于点Q.

VAP=AB,MQ〃AN,

・•・NAPB=ZABP=ZMQP.

.•・MP=MQ.・・'BN=PM,：・BN=QM.・/MP=MQ,ME1PQ,AEQ=0.5PQ.

VMQ//AN,AZQMF=ZBNF.

在△MFQ和ANFB中，1.NQFM=NNFB；2.ZQMF=ZBNF；3.MQ=BN

.,.△MFQ^ANFB(AAS).，QF=BF=0.5QB.

・・・EF=EQ+QF=0.5PQ+0.5QB=0.5PB.由(1)中结论可得PC=4,BC=8,ZC=

90°,

.•.PB=)82+42=4#..•.EF=9B=2#.

Xr

・••在(1)条件下，当点M,N在移动过程中，线段EF长度不变，它长度为2*根号

5.

5.如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC顶点A,C分别在x轴和y轴正半

轴上，点B坐标是(5,2),点P是CB边上一动点(不及点C,B重合)，连接0P,

AP,过点O作射线OE交AP延长线于点E,交CB边于点M,且NAOP=N

COM,令CP=x,MP=y.

(1)当x为何值时，OP_LAP?

⑵求y及x函数关系式，并写出x取值范围；

⑶在点P运动过程中，是否存在x,使aOCM面积及AABP面积之和等于△

EMP面积.若存在，请求x值；若不存在，请说明理由.

解：(1)由题意知OA=BC=5,AB=OC=2,NB=/OCM=90°,BC〃OA.

VOP1AP,

/.ZOPC+NAPB=NAPB+NPAB=90。.

・・・NOPC=NPAB.

.,.△OPC^APAB.

.CP_OCx_2

■'AB^PB’B即n厂?

解得X1=4,X2=1(不合题意，舍去).

；・当x=4时,OP_LAP.

(2)VBC#OA,.-.ZCPO=ZAOP.

•・•ZA0P=ZCOM,Z.ZCOM=ZCPO.

Z0CM=ZPCO,JAOCM^APCO.

?.^=—，即^

COCP2X

.'.y=x—4/x(2<x<5).

(3)存在x符合题意.过点E作ED±OA于点D,交MP于点F,则DF=AB=2.

,/A0CM及4ABP面积之和等于△EMP面积，

ASAEOA=S矩形OABC=2x5=1/2・5ED.

AED=4,EF=2.

VPM//OA,AAEMP^AEOA.

解得y=5/2.

.•.由(2)尸x—士，得x-乜三.

xx2

解得x尸位普，位二三且不合题意舍去).

・•・在点P的运动过程中,存在x=三^,使△OCV与AABP面积之和等于的面积.

6.如图1,矩形ABCD两条边在坐标轴上，点D及坐标原点O重合，且AD=

8,AB=6.如图2,矩形ABCD沿。

B方向以每秒1个单位长度速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位

长度速度沿矩形ABCD边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形

ABCD和点P同时停止运动，设点P运动时间为t秒.

(1)当t=5时，请直接写出点D,点P坐标；

(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出aPED面积S关于t函数关系

式，并写出相应t取值范围；

⑶点P在线段AB或线段BC上运动时，作

PE_Lx轴，垂足为点E,当△PEO及ABCD相似时，求出相应t值.

解：⑴D(—4,3),P(—12,8).

(2)当点P在边AB上时,BP=6—t.

/.S=0.5BP-AD=0.5(6-l)*8=-41+24.

当点P在边BC上时,BP=t-6.

••・S=0.5BP・AB=0.5(t—6).6=3t—18.

._J-4t+24(0WtW6)，

"-bt-18(6VtW14).

⑶尔.决断当点P在边AB上时，P(-*T母)

维A

当鼻5解得

-:：，t=6.

0E*8O

Q

当鼻雪寸,_2_之，解得t=20:「0WtS6，

0E8%0

5

・*2。时，点P不在边AB上，不合题意.当点P在边BC上时，P(-吟，96).

33

当警，言4，解得，=6若舒静寸，，解得-f-

55

••♦6&W14，，t=*寸，点P不在边BC上，不合题意.，当t=6时，△PEO与△BCD相似.

类型3类比探究题

7.如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AD延长线上，且

PA=PE,PE交CD于点F.

⑴求证：PC=PE；

(2)求NCPE度数；

(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当NABC=120。

时，连接CE,试探究线段AP及线段CE数量关系，并说明理由.

解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC,NABP=NCBP=45°,

在AABP和aCBP中，1.AB=BC;2.PB—PB;3.NABP—/CBP

/.△ABP^ACBP(SAS).・・・PA=PC.

又・・・PA=PE,・・.PC=PE.

(2)由(1)知，AABP^ACBP,

・・・NBAP=ZBCP..•・/DAP=NDCP.

VPA=PE,AZDAP=ZE.

AZDCP=ZE.

•・♦NCFP=NEFD(对顶角相等)，

.-.1800-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,

即NCPF=NEDF=90°.

(3)在菱形ABCD中，AB=BC,NABP=NCBP=60°,

在4ABP和ACBP中，1.AB=BC；2.PB=PB;3.NABP=NCBP

.,.△ABP^ACBP(SAS).

APA=PC,ZBAP=ZBCP.

・「PA=PE,APC=PE.AZDAP=ZDCP.

VPA=PE,AZDAP=ZAEP.

AZDCP=ZAEP.

VZCFP=NEFD（对顶角相等）,

.\1800-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZAEP,

即NCPF=NEDF=180°-NADC=180°-120°=60°.

••.△EPC是等边三角形.・・.PC=CE.

・・・AP=CE.

8.已知AC,EC分别为四边形ABCD和EFCG对角线，点E在4ABC内，N

CAE+ZCBE=90°.

(1)如图1,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.

①求证：△CAEsaCBF；

②若BE=1,AE=2,求CE长；

(2)如图2,当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB/BC=EF/FC=k时，若

BE=1,AE=2,CE=3,求k值；

(3)如图3,当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且NDAB=NGEF=45°时，设

BE=m,AE=n,CE=p,试探究m,n,p三者之间满足等量关系.(直接写出结果,

不必写出解答过程)

解：（1）证明：①:四边形ABCD和EFCG均为正方形,

AZACB=45°,ZECF=45°.

・•・ZACB-ZECB=ZECF-ZECB,

即NACE=NBCF.

y•・AC=CE=代,

乂BCCF”

AACAE^ACBF.

©VACAE^ACBF,/.ZCAE=ZCBF,AE/BF=根号2.

・・.BF=根号2.

又NCAE+/CBE=90°,

.,.ZCBF4-ZCBE=90°,B|JZEBF=90°.

.,.CE2=2EF；!=2(BE2+BF2)=6.

解得CE=根号6.

(2)连接BF,

VAB/BC=EF/FC=k,ZCFE=ZCBA,

.,.△CFE^ACBA.

AZECF=ZACB,CE/CF=AC/BC.

・・・/ACE=NBCF.・・・AACE^ABCF./.NCAE=NCBF.

VZCAE+ZCBE=90°,;•NCBF+NCBE=90°,

即NEBF=90°，.*.BC：AB：AC=1：k：：农+l，

CF：EF：EC=1：k：木+1・，舒也斗L

，BF="^=，BF?=4^「♦CE2=^^£F=^V<BE2+BF2).

^+1k2+1k2R)

，32=*<P+法).解得卜=芈(3广-n=(2+3)m±

k-k，+l4

题型2及圆有关几何综合题

9.（2016•成都）如图，在RtZkABC中，ZABC=90°,以CB为半径作。C,交

AC于点D,交AC延长线于点E,连接ED,BE.

⑴求证：△ABDMAEB；

(2)当BC(AB)=3(4)时,求tanE；

(3)在(2)条件下，作NBAC平分线，及BE交于点F,若AF=2,求。C半径.

解：(1)证明：・・・NABC=9(T,・・・NABD=90°—/DBC.

:DE是直径,

，/DBE=90。.

AZE=90°-ZBDE.

VBC=CD,AZDBC=ZBDE.

・・・NABD=NE.

VZBAD=ZDAB,/.AABD^AAEB.

(2)*/AB：BC=4：3，_________

・••设AB=4k，BC=3k./.AC=^AB2+BC2=5k//BC=CD=3k，

.,.AD=AC-CD=2k/.，A.ABIXoAAEB，

..\AB:=ADAE..\(4k)2=2kAE..\AE=Sk.

AEABBE

BD_AB_4k__l

在RiADBE中，刈狂二

BTAE8k2'

(3版点F作FM1AE于点M

由(2淡口，AB=4k，BC=3k，AD=2k，AC=5k，

则AE=8k，DE=6k「「AF平分NBAC，

•1a龙=4,.•.ME=2MF

=Yk..\ANI=AE-ME=yk.

2

(|k)2..\k=^./.CC的半径为3卜二等

•.•AF2=AM2+NIF2

10.如图，在RtZ\ABC中，NABC=90°,AC垂直平分线分别及AC,BC及

AB延长线相交于点D,E,F.0O是4BEF外接圆，ZEBF平分线交EF于点G,

交。O于点H,连接BD,FH.

(1)试判断BD及。O位置关系，并说明理由；

(2)当AB=BE=1时，求。O面积；

⑶在(2)条件下，求HG•HB值.

解：(1)直线BD及。O

相切.理由：连接OB.

VBD是RtAABC斜边上中线，ADB=DC.

AZDBC=ZC.

V0B=0E,

AZOBE=ZOEB.

又・・・NOEB=NCED,・・.NOBE=NCED.

VDF±AC,AZCDE=90°.

.\ZC+ZCED=90°.

・・・NDBC+NOBE=90。.

.・.BD及O0相切.

(2)连接AE.

在RtZ\ABE中，AB=BE=1,・・.AE=根号-2.

TDF垂直平分AC,・・.CE=AE=根号2.，BC=1+根号2.

VZC+ZCAB=90°,ZDFA+ZCAB=90°,AZACB=ZDFA.

又NCBA=NFBE=90°,A

B=BE,AACAB^AFEB.

・・.BF=BC=l+S=.EF=BE2+BF2=12+(l+@=4+2S,

・・3"苧=等"

(3)VAB=BE,ZABE=90°,

AZAEB=45°.

VEA=EC,AZC=22.5°.

.・・/H=NBEG=NCED=90。-22.5。=67.5。.

VBH平分NCBF,

・・・NEBG=NHBF=45。.

AZBGE=ZBFH=67.5°.

.\BG=BE=1，BH=BF=l+#2.

・,.GH=BH-BG=隹.

.\HB•HG=Q(1+馅=2+/.

11.如图，在AACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。。经过点C,且圆直径AB

在线段AE上.

(1)试说明CE是。O切线；

(2)若aACE中AE边上高为h,试用含h代数式表示。O直径AB；

(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点

),连接OD,当1/2CD+OD最小值为6时，求。。直径AB长.

解：（1）证明：连接OC.

VCA=CE,ZCAE=30°,

・・・NE=NCAE=30°,NC0E=2NA=60°.

AZOCE=90°.

・・・CE是。。切线.

(2旭点C作CHIAB于点H.•由题可得CH=h.

在夫公OHC中，CH=0C5/«ZC0H，

/.h=OC-5w600=^OC.

.•.0C=*事.

：.AB=2OC=^h.

3

3昨OF平分NAOC，交00于点F，连接AF，CF，DF

则NAOF=NCOF=:/AOC=4X(1800-60°)=60°.

•,•OA=OF=OC，/.△AOF，ZiCOF是等边三角形.

...AF=AO=OC=FC...四边形AOCF是菱形.

・••根据对称性可得DF=DO.过点D作DM1OC于点X，

,.'OA=OC，，/OCA=/OAC=30°.

.•.DM=DCs例NDCM=DC与冶0°=^DC..\^€D+OD=DM+FD.

根据两点之间线段最矩可得:当F，D，M三奈共线时心\!+尸1)(即如+0功最小此时FM=OF5/«ZF0M=

=6,则0F=4>B，AB=2OF=8«.,.当上D+0D的最小值为6时，。0的直径AB的长为8m.

12.如图，已知AB是。O直径，BP是。O弦，弦CDJ_AB于点F,交BP于点

G,E在CD反向延长线上，EP=EG,

(1)求证：直线EP为。O切线；

(2)点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF-B0.试证明BG=PG；

(3)在满足(2)条件下，已知。。半径为3,sinB=根号3/3.求弦CD长.

解：(1)证明：连接0P.

VEP=EG,

・•・ZEGP=ZEGP.XVZEGP=ZBGF,

AZEPG=ZBGF.VOP=OB,

AZOPB=ZOBP.VCD1AB,AZBGF+Z0BP=90o.

・・・NEPG+N0PB=90°,即NEP0=90°..••直线EP为。0切线.

(2)证明：连接OG,AP.VBG2=BF-BO,.\BG/BO=BF/BG

XVZGBF=ZOBG,Z.△BFG^ABGO.

.\ZBGF=ZB0G,ZBG0=ZBFG=90°.

VZAPB=ZOGB=90°,AOG^AP.XVA0=B0,ABG=PG.

(3涟接AC，BC.

;立出=卓，，^=WrOB=r=3，♦,.OG=3

3OB3

由(2碍NEPG+NOPB=90°，/B+NBGF=NOGF+NBOG=90°，

又•.•NBGF=NBOG，/.ZB=ZOGF.

.,.s%NOGF=整法・.OF=L，BF=BO-OF=3-1=