高中数学经典测试题附答案

高中数学经典测试题

附答案

姓名：__________班级：考号：

题号—•二三总分

得分

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的）

--,0

1.（08年唐山一中一模理）若函数f（x）=log“（x3-ax）1a>0,aWD在区间（2）内单调递增,

则a的取值范围是（）

B.GA「9、

C.

D.

2.已知双曲线二■-与=1的焦点到渐近线的距离为2百，且双曲线右支上一点尸到右焦点的距

a~b~

离的最小值为2,则双曲线的离心率为（）

A、£B、3C、2D.-

2

3.方程log2。+4）=2、的根的情况是（）

A.仅有一根B.有两个正根

C.有一正根和一个负根I）.有两个负根

4.已知Ax）为R上的减函数，则满足〃3>尸（1）的实数¥的取值范围是（）

X

A.（—8,1）B.（1,+°0）

C.（一8,0）U（0,1）D.（一8,0）U（1,+8）

5.函数/（x）=3sin（2x高的图象为C,如下结论中正确的是（）

7TJT

（A）图象。关于直线x=二对称（B）图象C关于点（一二,0）对称

66

（0函数/（外在区间内是增函数（D）），=3sin2x向右平移g个单位可得

图象。

6•设F为抛物线y2=4x的隹点,力、R、C为该抛物线卜二点，若成+而+比=6.则

网+|丽卜匹卜（）

A.9B.6C.4D.3

7.已知AABC的一个顶点为43,-1）,被），轴平分，/C被直线y=x平分，则直线8c的方

程是（）

A.2x—y+5=0B.2x-y+3=0C.3x-y+5=0D.x+2y-5=0

8.（08年东城区统一练习一理）长方体ABCD—ABiGDi中，AB=AA）=2,AD=1,E为CCi的中

点，则异面直线BCi与AE所成角的余弦值

为()

A/W回疯3底

而丁

A.B.10C.10D,

9•设领=（“r本#眈娥城蜷口则二项a'后~J式展开式中x?项的系数是

A.-192B.I93C.-6D.7

10加、〃是不同的直线，a、0、/是不同的平面，有以下四个命题：

①若a〃4a〃7,则/〃y;②若a±p,mHa，则m_L6;

③若机_La,〃?〃/，则aJ■万；

④若m〃儿nua，则mHa.其中真命题的序号是

A.®@B.①©C.①③D.②④

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11.己知人、B、。三点在球心为。的球面上，AB=AC=2,NA4C=9（T,球心。到平面

ABC的距离为及，则球。的表面积为.

/Q-

12.已知函数/“)二"-

a-\

(1)若苏>0,则/(A)的定义域是；

(2)若/(x)在区间(()』上是减函数，则实数4的〃又值范围是.

13.设定义在尺上的函数/(x)满足，(x)](x+2)=12,若〃1)=2,

则〃99)=.

14.已知命题〃：Vx£R,sinxWl,则命题「p：

15.甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同

的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法

共有种(用数字做答)

三、解答题(本大题共5小题，共40分)

16.(本小题满分12分)

设a为实数，函数/(大)=x3-x2-x+a.

(I)求/(x)的极值；

(II)当〃在引么范围内取值时,曲线)，=.")与x轴仅有一个交点。

17.LA知函数/(x)=aInx+bx(a,/?GR),^(x)=-x2-(m+—)x(w>0),且)，=/(x)在

2in

点

(1,/(D)处的切线方程为x-y-1=0.

(1)求a,b的值;

(2)若函数〃(x)=f(x)+g(x)在区间(0,2)内有且仅有一个极值点，求〃z的取值范围；

(3)设M(x,y)(x>m+—)为两曲线y=/*(x)4-c(CGR),y=g(x)的交点，且两曲

Hl

线在交点M处的切线分别为4,•若取"7=1，试判断当直线44与工轴围成等腰三角形时

C值的个数并说明理由.

18.学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽/W为2米，，与沟沿垂直的平

面与沟的交线是一段帼物线，抛物线的顶点为O,对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水

深1米.

（1）求水面宽；

（2）如图1所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有

多少立方米？

图1

图2

（3）现在学校要把这条水沟改挖（不准填土）成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平

行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2）,问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的

土最少？

19.

已知｛4｝是由非负整数组成的无穷数列，该数列前"项的最大值记为4,第〃项之后各项

»4+2，…的最小值记为B”,.

⑴若｛&｝为2,1,4,3,2,1,4,3,…，是一个周期为4的数列（即对任意〃tz,r+4=aH）,

写出d,&,4,4的值；

（ID设d为非负整数，证明：之二一大f1,2,3…）的充分必要条件为｛&｝.为公差为d的等差

数列；

（III）证明:若囱=2,力=1（店1,2,3,…），则｛4｝的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.

20.（本小题满分12分）

如图1,ZACB=45,BC=3,过动点A作AO_LZ?C,垂足D在线段BC上且异于点B,连

接AB,沿AQ将△4咫）折起,使NAOC=90（如图2所示）.

（I）当皿的长为多少时，三棱锥A-8CZ）的体积最大；

(11)当三棱锥4-58的体积最大时，设点石，〃分别为棱8。，AC的中点，试在棱CD

上确定一点N,使得E7VJ.8M,并求EN与平面8WN所成角的大小.

图1图2

高中数学经典测试题答案解析

一、选择题

1.答案:B

2.C

【解析】略

3.C

［解析］：采用数形结合的办法，画出图象就知。

4.答案D

11

解析依题意得ri,即:—>0,

XX

所以X的取值范围是才>1或水0.

5.C

6B

【解析】

试题分析：先设A(xi,山)，B(x2,y2),C(x3,y3),根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方

程，再依据或+或+苑=6判断点F是△ABC重心，进而可求X1+X2+X3的值.最后根据抛

物线的定义求得答案解：设A(xi,yi),B(x2,y2),C(x3,y?)，抛物线焦点坐标F(1,0),

准线方程：x=-l「・•瓦5+丽=6，，点F是△ABC重心，则xi+x2+x3=3,yi+y2+y3=0,而

|FA|=xr(-1)=XI+1,|FB|=X2-(-1)=X2+1,|FC|=X3-(-1)=x3+1,/.|FA|+|FB|+|FC|=x)+1+x：+1+x3+1=

(X1+X2+X3)+3=3+3=6,故选B

考点：抛物线的简单性质

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质.解本题的关键是判断出F点为三角形的重心.

7.A

8.答案：B

9A

【解析】

试题分析：二,锵二j：獭讪客帑域瀛?二解斓宇一5W球C二谷，，二项式举百一~j=T展开式

为岑钢望一翼回警-2绘4,令3"=2得r=l,故二项式◎后-叁步展开式中x2项的系数

是一窜S，故选A

考点：本题考查了定积分及二项式展开式的运用

点评：关于二项式定理的应用最容易因为计算不细心造成失误，一定要注重运算.另外，微积分

基本定理也要熟练掌握，它是计算定积分必不可少的理论基础

10.C

【解析】略

二、填空题

11.16乃

【解析】

试题分析：AA8C为等腰直角三角形，斜边BC中点为外接圆圆心8。=2后，设为

O\OO'底面，R=』OO,2+OK=2,球。的表面积为4成2=16万.

考点：球的表面积

(31

12.【答案】,(YO,0)5L3]

3(31

【解析】(1)当a>C时，由3-依2()得xW二，麻以/(幻的定义域是—8,二；

a\a.

(2)当石>1时，由题意知当0<水1时，为增函数,不合；

当水0时，/(%)在区间(0,1]上是减函数.故填(-OO,0)D(1,3].

13.6

五£R,sinx>1

14.

【解析】略

15.72

三、解答题

16.(I)人幻的极大值是/(—1)=2+。，极小值是f(1)=a-\

327

(II)ae(-oo,--—)U(1,+oo)

27

［解析］(［)f\x)=3x2-2x-1.....................・2分

若/'(x)=。，则%==—；，x=\

当X变化时，/(x),f(x)变化情况如下表：

(-CO,—

，

X1\_1(1

3)4-00)

31)

尸(幻+0—0+

极大

/(X)//

值

・・・凡\)的极大值是/(-1)=2+。，极小值是/(1)=。一1---------------6分

3^^7

(II)函数/(x)=d-Y-x+«=(x-l)2(x+l)+«-l

由此可知，取足够大的正数时，有人r)>0,取足够小的负数时有段)<0,所以曲线产府)与x

轴至少有一个交点

结合7U)的单调性可知：

当儿r)的极大值卷+。<0,即ae(—8,—捺)时，它的极小值也小于0,因此曲线)，=火幻

与x轴仅有一个交点,它在(1,+8)上。............8分

当加0的极小值〃一1>0即。£(1，+8)时，它的极大值也大于0,因此曲线产负幻与工轴仅

有一个交点，它在(一8,一』)上.------------10分

3

:.当。e(-8,-捺)U(1,+oo)时，曲线)=段)与x轴仅有一个交点

12分

17.(1)67=1,/?=0；(2)〈机|0<，〃wg或〃722)；(3)2个

【解析】

试题分析：(1)由函数/(x)=alnx+"(abeR),在点(1J⑴)处的切线方程为

X—),—1=0.所以对函数求导，根据斜率为1以及过点(1,0)两个条件即可求出结论.

(2)由函数〃(x)=/(》)+g(x),对函数力。)求导,并令於(幻=0可解得两个根,由于

函数〃。)在区间(0,2)内有且仅有一个极值点，〃'(x)=0的根在(0,2)内有且仅有一个根.

所以通过分类讨论即可求〃?的取值范围.

(3)两曲线在交点”处的切线分别为44.若取用=1，当直线乙,6与x轴围成等腰三角

形时.通过求导求出两函数的切线的斜率，即可得到这两斜率不可能是相等，所以依题意可

得到两切线倾斜角有两倍的关系，再通过解方程和函数的单调性的判断即可得到结论.

(1)f\x)=-+b,：.f(\)=a+b=\,又/(l)=〃=0,

x

/.a=l,Z?=0.3分

(2)Zz(^)=In.¥4--X2—(7724--).¥；

2m

”(x)=-4-JV—(m4-—)

由h\x)=())=0，

m

,x=m或x=.5分

m

V当且仅当0<〃7<24"!"或0<，<2工加时，函数〃(x)在区间(0,2)内有且仅

tnm

有一个极值点.6分

若0<<2VL，KP0</??<—,当xe(0,m)时/z'(x)>O；当xef/n,2)时

m2

/z'(x)vO,函数〃(大)有极大值点x=

若0<L<2W〃2,即m>2时.，当x€(0,-)时//(x)>O；当XG(-,2)时

mmm

/7'(x)vO,函数〃(x)有极大值点x=L,

m

综上，〃？的取值范围是V,或〃zN2•.8分

2

(3)当〃2=1时，设两切线/r4的倾斜角分别为。，/，

则tana=f\x)=―，tan夕二g'(x)=x-2,

x

Vx>2,・..a,4均为锐角，9分

当a>〃，即2<x<l+近时，若直线k4能与x轴固成等腰三角形，则。=24：当

即x>l+夜时，若直线44能与x轴围成等腰三角形，则£=2a.

由a=2/得，tancr=tan2〃=2t,

1-tan2/7

得L2d)即3f—8x+3=0,

xl-(x-2)2

此方程有唯一解x二七卫£(2,1+后)，直线44能与X轴围成一个等腰三角形.11

3

分

由夕=2a得，tanp=tan2a=[,

2-

得x-2二一即d—2/—3X+2=0,

i-A

设FU）=x3-2f-3工+2,Ff（x）=3x2-4x-3,

当/e（2,+8）时，尸（工）＞0,・・・尸"）在（2,+8）单调递增，则尸（幻在（1+加,+8）单调

递

增，由于尸（|）＜0,且1+也＜3,所以/（1+&）＜0,则/（1+J5）尸（3）＜0,

即方程/一2/一3%+2=0在（2,+8）有唯一解，直线44能与4轴围成一个等腰三角形.

因此，当〃7=1时，有两处符合题意，所以直线44能与x轴围成等腰三角形时，。值的个

数

有2个.14分

考点：1.导数的几何意义.2.函数的极值.3.函数导数的应用.4.分析问题解决问题的能力.5.

等价变换的数学思想.

18.（1）血米（2）100及立方米；（3）正米

2

【解析】

试题分析：（1）以0为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，写出A,B点的

坐标，利用待定系数法抛物线方程，利用水深即为水面与抛物线交点的纵坐标，代入抛物

线方程求出水面与抛物线交点的横坐标，结合图知所求横坐标的2倍就是水面宽度；（2）

利用定积分求出水体底面面积，再用柱体体积公式求出水体体积；（3）设出切点坐标，利

用切点的导数就是切线的斜率求出切线的斜率，利用直线方程的点斜式求出切线方程，求

出上下两底顶点的坐标，利用上下底顶点坐标的二倍就是梯形上下底宽算出梯形上下底的

宽，将梯形面积表示为切点的横坐标的函数，利用基本不等式求出面积取最小值忖对应的

切点坐标，从而求出梯形的下底宽.

试题解析：（1）如图建立直角坐标系，设抛物线方程为y=14x41.

则由抛物线过点8(1,2),可得々=2.

于是抛物线方程为y=2x2-\<x<\.

当),=1时，x=土等，由此知水面宽为血(米).

(2)V=2x150(1-2x2)dx=3(X)[^-1(^y)3]=100>/2(立方米)

(3)为使挖掉的十最少.等腰梯形的两腰必须同抛物线相切.

设切点户(人2/)(0</《1)是抛物线弧08上的一点，过。作抛物线的切线得到如上图所示的

直角梯形OCQE,则切线CD的方程为：)，-2产=4«4一/),于是C(L,0),Z)df+L,2).

222t

记梯形OCDE的面积为S,则S=2(」+!+L)x2x』=2a+L)22近，

222122t

当且仅当/=■!■,，=也时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为立米时，所挖的土最少.

2/22

考点：1.抛物线的图像与性质；2.定积分；3.利用导数求函数的切线；，1.利用基本不等式

求函数最值;5.函数应用.

19.(I)[=4=1,4=a=3.

(11)(充分性)因为｛4｝是公差为d的等差数列，且dzo,所以4…WqW….

因此4=4,B,=all+i,dtl=an-atl+i=-d(n=1,2,3,…).

(必要性)因为4二一公0(〃=1,2,3,…)，所以4=纥+4«纥.

又因为可”",。川之纥，所以于是4=%,纥=3

因此凡川一4=纥-A=-d“=d,即｛可｝是公差为d的等差数列.

(III)因为4=2,4=1,所以4=4=2,4=4-4=1.故对任意

N4=1.

假设｛4｝(〃之2)中存在大于2的项.

设〃?为满足勺>2的最小正整数，则mN2,并且对任意1W2,.

又因为q=2,所以A”1二2,且A,“二册>2.

于是%=4-4”>2-1=1，纥-=min｛4,Bj>2.

故4-=4,-.-纥“42-2=0,与4-=1矛盾-

所以对于任意〃之1,有勺42,即非负整数列｛4｝的各项只能为1或2.

因此对任意“21,alt<2=a],所以4=2.故8,=4=2-1=1.

因此对于任意正整数〃，存在加满足相>〃，且4=1,即数列｛2｝有无穷多项为L

20.(I)BD=\(II)EN与平面8WV所成角的大小6().

【解析】本题考察立体几何线面的基本关系，考察如何取到最值，用均值不等式和导数均

可求最值。同时考察直线与平面所成角。本题可用综合法和空间向量法都可以。运用空间

向量法对计算的要求要高些;

(I)解法1：在如图1所示的△A6C中，设B/)=x(0cx<3),则CD=3-x.

由AOJ.3C,4a=45知，△4X7为等腰直角三角形，所以AO=CD=3-x.

由折起前AO_L8c知，折起后(如图2),AD±DC,AD上BD,且也)口力。=。，

所以AO_L平面8co.又NBDC=90,所以见砥)二工友>C£>=」x(3-x).于是

22

匕w=；AO.S.D=；(3-X)x(3-x)=/2x(3-x)(3-x)

J"乙1乙

12x+(3—A-)+(3—x)2

<--------------------=—»

1213J3

当且仅当2x=3-x,即x=l时，等号成立，

故当x=1,即阴)=1时，三棱锥A-BC。的体积最大.

解法2：

同解法1,得匕^8=卜》5她8=:(37)二.«37)=：(丁—6/+9工).

3326

令/(此=1<炉_6/+9幻，由/'")=1*-1)(工-3)=0,且0<xv3,解得x=l.

62

当xe(0,I)时，f(x)>0；当xe(l,3)时，/V)<0.

所以当x=l时，/("取得最大值.

故当3。=1时，三棱锥A-8C£>的体积最大.

(II)解法1：以。为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系。-人

由(I)知，当三棱集人一改7)的体积最大时，BD=1,AD=CD=2.

于是可得/X。,0,0),«(1,0,0),C(0,2,0),40,0,2),M(0,1,I),£(-,1,0),

2

且丽=(-1,1,」).

设N(0,；L0),则/=(一],/1一1,0).因为臼V上3M等价于函•BM.=0,即

2

(--,2-1,0).(-1,1,1)=1+2