数学广东江门市2026年3月高三年级高考模拟考试(江门一模)(3.18-3.20)

江门市2026年高考模拟考试答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。ACCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.已知数列{an}的首项a₁=3,前n项和为Sₙ,且满足Sₙ+3=a+1+n.(1)求证：数列{a-1}为等比数列；【解析】(1)由Sₙ+3=aₙ+1+n,①当n=1时，a+3=a₂+1,由a₁=3,解得a₂=5,.....................1分当n≥2时，Sn-1+3=aₙ+n-1,②...........................2分...........................3分从而a+1-1=2(aₙ-1),n≥2...........................4分第1页(共16页)又因为aq-1=2,且a₂-1=4=2(q-1)也满足上式，...........................5分所以数列{a-1}是以2为首项，2为公比的等比数列............................6分从而bn=na₂=n·2”+n,...........................7分所以Tₙ=(1×2¹+1)+(2×2²+2)+…+(n·2”+n),=(1×2¹+2×2²+…+n·2”)+(1+2+…+n),...........................8分令R,=1×2¹+2×2²+…+n·2”,①...........................9分所以R=(n-1)2”+¹+2,...........................11分...........................12分...........................13分(2)若A4₁=2,直线BB₁与平面ABC所成的角为60°,求二面角A-BB₁-C的平面角的余弦值.【解析】(1)因为在△ABC中，AC=2√3,BC=4,∠ACB=30°,由余弦定理得：所以AB=2,...........................2分又因为平面ABB₁A⊥平面ABC,所以AC⊥平面ABB₁A,...........................5分又BB₁C平面ABB₁A,所以AC⊥BB₁............................6分因为平面ABB₁A⊥平面ABC,平面ABB₁A∩平面ABC=AB,B₁O所以B₁O1平面ABC,...........................7分直线BO是直线BB₁在平面ABC上的投影，所以∠B₁BA是直线BB₁与平面ABC所成的角，即∠B₁BA=60°..............8分连接AB₁,则△ABC是等边三角形，则AE⊥BB₁,...........................10分...........................11分...........................11分所以∠AEC是二面角A-BB₁-C的平面角，...........................12分又AE=√AB²-BE²=√2²-1²=√3,CE=√BC²-BE²所以...........................14分所以二面角A-BB₁-C的平面角的余弦值为...........................15分解法二：过B₁作B₁O1AB,垂足为O,因为平面ABB₁A⊥平面ABC,平面ABB₁A∩平面ABC=AB,B₁OC平面ABB₁A,所以B₁O1平面ABC,...........................7分则直线BO是直线BB₁在平面ABC上的投影，所以∠B₁BA是直线BB₁与平面ABC所成的角，且∠B₁BA=60°,.............8分B(O,-1,0),B₁(0,0,√3),C(2√3,1,0),...........................10分所以BB₁=(0,1,√3),BC=(2√3,2,0).设平面BCC₁B₁的法向量为m=(x,y,z),则所以m=(1,-√3,1)是平面BCC₁B₁的一个法向量.....................12分取平面ABB₁A的法向量为n=(1,0,0),...........................13分则...........................14分所以二面角A-BB₁-C的平面角的余弦值为...........................15分17.某学校组织学科创新能力知识竞赛，参数选手随机从A、B、C三类问题中各抽取一个问题回答，A、B、C类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答A、B、C类问题的概率依次为,乙同学能正确回答A、B、C类问题的概率都为,总分最高的选手获胜，且甲乙能正确回答问题的概率与顺序无关.(1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率；(2)记X为甲同学的总得分，求X的分布列及期望；(3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率.【解析】(1)设事件D表示乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确，...........................3分(2)X可能的取值有0,2,3,5,7,8,10,...........................4分所以X的分布列为：(对2个正确给1分)8分X023578PE(X)=0×4+2×4+³×2+5×2⁻×2+8×2+10×2424=6................10分可能的取值有0,2,3,5,7,8,10,则.......................11分.......................12分设事件E表示乙获胜，事件F表示甲的总分不低于5分，法一：..................13分.....................14分...........................15分法二：,..................13分14分15分.....................14分15分...........................18.已知椭圆1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆C的左右顶点A₁,A₂,P是直线x=4上一点，直线PA₁,PA₂分别交椭圆于点M,N两点，连接MN交x轴于点D.(i)当∠A₁PA₂最大时，求点P的坐标；(ii)若SMAD=λ·S△N₄₂D,求λ的取值范围.【解析】(1)由题意可得，2a=4,即a=2,...........................1分又,得c=√3,...........................2分又b²+c²=a²,得b=1,...........................3分所以椭圆C的标准方程为...........................4分(2)(i)设点P(4,t),直线PA₁,PA₂的倾斜角分别为α,β,得.....................5分当t=0时，tan∠A₁PA₂=0,此时∠A₁PA₂=0,.........................6分当t>0时，∠A₁PA₂=β-α,当t<0时，∠A₁PA₂=α-β,当且仅当t=-2√3时，等号成立(也可以由对称性得结论)...............8分综上所述，当且仅当t=±2√3时，tan∠A₁PA₂有最大值，即∠A₁PA₂有最大值所以当点P的坐标是(4,2√3)或(4,-2√3),∠A₁PA₂有最大值.............9分(ii)法一：设点P(4,t),当t=0是两个三角形不存在，所以t≠0,直线PA₁,PA₂的方程分别为........................10分解得,即点........................11分联立方程得,消去V得(1+t²)x²-4t²x+4t²-4=0,解得x=2或即点........................12分直线MN的方程为........................13分化简得所以直线MN过定点D(1,0).........................14分........................15分化简得........................16分........................17分法二：当直线MN与x轴重合时，显然不满足题意.设直线MN为x=my+n,M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),点D(n,0)是直线MN与X轴的交点，联立方程组消去x得(m²+4)y²+2mny+n²-4=0,所以有........................10分直线PA₁的方程为直线PA₂的方程为.............11分联立方程得,解得所以点P的横坐标为.............12分代入得解得n=1,即点D(1,0),.......................14分.................15分由图可知y₁,y₂异号，即化简得........................16分........................17分19.帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已知函数f(x)在x=0处f'(O)=R'(0),f(²)(0)=R(²)(O),fm+n)(0)=R(m+n)(0).其中f(2)(x)=f(m+)(x)=(f(m+a-1)(x)'.已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[2,2]阶帕德近似为(2)若对于任意的x∈(0,+∞),不等式f(x)≥k·R(x)恒成立，求k的取值范围；(3)已知x₁,x₂,x₃是函数h(x)=(x²-1)lnx-a(x-1)²的三个不同的零点，且x₁<x₂<x₃,求实数a的取值范围，并证明(a-3)(x₁+2x₂+x₃)+2a>0.【解析】(1)f(x)=ln(x+1)f(0)=0,f'(O)=1,f(2)(0)=-1,R(O)=a₀=0,........................1分所以................2分R(²)(0)=1-2b₁=-1,所以b₁=1,................4分......................5分由于g(0)=0,所以若f(x)≥k·R(x)恒成立，则g(x)在x=0附近单调递增，即g'(0)≥0,,所以g'(O)=1-k≥0,下面证明充分性，即当k≤1时，不等式f(x)≥k·R(x)恒成立，所以若k≤0,则恒成立，................7分,x≥0,................8分则A(x)在(0,+∞)单调递增，又A(O)=0,所以A(x)≥0恒成立，即在[0,+∞]上成立，则有立，充分性得证，................9分所以当k≤1时，不等式f(x)≥k·R(x)恒成立.................10分(3)由x>0,.............11分当a≤0时，φ(x)≥0,即t'(x)≥0,则t(x)在(0,+∞)上单调递增，不满足题意，当a>0时，△=4(1-a)²-4≤0,即O<a≤2,此时φ(x)≥0恒成立，t'(x)≥0,则t(x)在(0,+∞)上单调递增，不满足题意，当a>2时，φ(x)=x²+2(1-a)x+1有两个零点t,t₂,其中t₁=a-1-√a²-2a,t₂=a-1+√a²-2a,tt₂=1,t₁+t₂=2a-2>0,12分当x∈(t,t₂)时，φ(x)<0,t'(x)<0,则t(x)在(t₁,t₂)上单调递减，当x∈(t₂,+∞)时，φ(x)>0,t'(x)>0,则t(x)在(t₂,+∞)上单调递增，即t(x)在区间(e⁻“,t)内存在一个零点，在区间(t₂,e“)上存在一个零点，又h(1)=0,所以当a>2时，h(x)有三个不同的零点x₁,x₂,x₃,................14分法一：由于由可得即x₁x₃=1,................15分由于x₃>1,所I................16分化简得a(x²+4x₃+1)>3(x₃+1)²,由x₂=1,则有(a-3)(x₁+2x₂+x₃)+2a>0,原命题得证.................17分法二：因为x₁<x₂<x₃,所以x₂=1,e“<x₁<1<x₃<e“,即A(x)在区间(-1,+∞)上单调递增，又A(O)=0,当x∈(0,+∞)时，A(x)>0,即................15分由此可得，当x∈(0,1)时，所以(a-3)x²+(4a-6)x₃-2>(a-3)x²+(4a-6)x₁-2,................16分化简得(a-3)(x²-x²)+(4a-6(x₃-x₁)>0,由于x₃-x₁>所以(a-3)(x₃+x₁)+4a-6>0,得(a-3)(x₃+x₁+2)+2a>0,由x₂=1,则有(a-3)(x₁+2x₂+x₃)+2a>0,原命题得证.................17分部分选填得答案过程如下：8.已知函数f(x)=x³+x,g(x)=x+√x,h(x)=x+log₂x,若f(a)=g(b)=h(c),则a,b,c的大小关系不可能是A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>c【答案】C【解析】由题意令f(x)=g(x),即x³+x=x+√x,得x=1,又g(x)=h(x),即x+√x=x+log₂x,得x=4或x=16,可化为f(x)=m-x,g(x)=m-x,h(x)=m-x,a,b,c是函数f(x),g(x),h(x)的图象与直线y=m-X的交点横坐标，如图所示，可得当0<a,b<1时，有c>a>b.所以答案选C.10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB,则C.当a+b=4时，△ABC面积的最大值为1D.当△ABC为锐角三角形时，的取值范围是【答案】AD【解析】对于A选项，由正弦定理，代入条件得a²+b²-c²=ab,由余弦定理，对于B选项，将a=2b代入a²+b²-c²=ab,得c=√3b,对于C选项，若a+b=4,由基本不等式可得当且仅当a=b=2时取等号，故△ABC面积的最大值为√3.c错误；对于D选项，解法一：由所以,所以D正确.解法二：由△ABC为锐角三角形且,得,且则