北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2026届高三下学期3月练习数学试题（含答案）

北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高2026届3月练习数学试题本试卷共4页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效.第一部分(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.已知集合A={y∣y=x+1,-1≤xA.(-∞,2]B.(-∞,1]2.设复数z=1-2i的共轭复数为zA.-3B.3C.5D.53.抛物线y=4x2A.xB.x=-C.yD.y4.已知x+35=a0A.-1B.1C.32D.2435.在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,且BC=A.-20B.20C.-10D.106.存在实数α使得点Pcosα,sinα在直线y=kx+2kA.-33C.(-∞,-3]∪[7.已知等比数列an的前n项和为Sn，a1=1，且a2，a3+1，a4成等差数列，A.10B.11C.12D.138.已知x>0,y>0,则“3x>813y”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.如图1,取边长为6的正方形纸板ABCD,E,F,G分别为三边AB,CD,AD的中点,先将等腰直角三角形FDG沿虚线段FG裁去,再将剩下的五边形ABCFG沿线段EF折起,连接AB,CG,就得到了一个《九章算术》中所载的“刍甍”五面体(如图2).图1图2A.185B.165C.10.关于定义域为R的函数fx,gx①存在两个单调递减函数fx与②存在奇函数fx与偶函数③存在单调递增函数fx与偶函数④存在单调递增函数fx与减函数A.0B.1C.2D.3第二部分(非选择题共110分)二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)11.函数fx=lgx12.已知直线y=2x是双曲线C:x24-y13.能说明“若cosα=sinβ,则α+β=k⋅14.已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2b=c+2a15.已知数列an满足a1=①.若a≠1且a≠2，则②.若存在无数多个n使得an+1=an,则③当a>2时,存在k∈N④.当a=3时,三、解答题(共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.)16.如图,在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB上的点，平面C(1)证明:EF//AC(2)若直线A1B1与平面C1A1E所成角的正弦值为23，求线段AE的长度及此时点17.函数fx(1)若ω=1，求fπ2及(2)fx在0,π3上单调递增，且存在a∈R，使fx在a,a+2π至少有条件①:f7条件②:fπ条件③:fπ注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,第一个解答计分.18.某汽车品牌计划推出两款新车型:纯电动版(EV)和插电混动版(PHEV)在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表(单位:人).车型低收入群体(<20万/年)中收入群体(20万/年-50万/年)高收入群体(>50万/年)愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意EV703070504040PHEV208060606020假设所有消费者的购买意愿相互独立,用频率估计概率.(1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版(EV)的概率p；(2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记X为这4人中愿意购买插电混动版(PHEV)的人数,求X的分布列和数学期望EX(3)假设该市C社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为3:1:1，从C社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版(EV)的概率估计值记为pA，试比较pA与p19.已知函数fx(1)若f1=-32，求不等式(2)若fx在0,+∞上存在极大值,求a20.已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l:y=kx+m k,m∈R与椭圆C①求证:△AOB②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围;若不存在,说明理由.21.项数为mm≥2的数列an满足如下两个性质,则称an为一个满足“绝对值λ关联”的①i=1mai-②ai(1)判断数列-23，-23，、-23，1，1是否为一个满足“绝对值23关联”的5阶数列?是否为一个满足“绝对值1(2)若数列an为一个满足“绝对值λ关联”的6阶数列，证明:λ的最小值为56(3)若数列an为一个满足“绝对值λ关联”的2k+1k∈N北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高2026届高三3月练习参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)4.C5.A6.A7.B8.B三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.(本小题13分)(1)证明:连AC由正方体可知AA1//CC1，AA1=CC1因为AC⊄平面C1A1E,A1C1⊂平面C因为AC⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面C1A1E=(2)由正方体可知DA,DC,DD1两两垂直，以D设AE的长为a,则A1A1C设平面C1A1E的一个法向量为n=x,y,z,则n=1设直线A1B1与平面C1A1E所成角为θ,解得a=1,即线段AE点B1到平面C1A1E1.DA={由A∩B=A,则A⊆B即a的取值范围为[22.C因为复数z=1-2i所以z⋅3.D抛物线y=4x2可化为x2=14y,焦点在y轴上,2p=14,则p=故选:D.4.C由x+35=a0+a1x+1+a25.A由向量的运算法则,可得AB=则AB⋅因为在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线可得AD⋅DC=0,又因为DB和DC大小相等,且方向相反,且BC=所以DB因为AD=6,可得所以AB⋅6.A由同角三角函数基本关系cos2α+sin2α=1,可知点存在α使得P在直线y=kx+2k上,等价于直线y=kx+2k与单位圆x2+y2=1有公共点.直线与圆有公共点时,圆心到直线的距离d≤r:4整理得3k2≤1,即k2≤1因此k的取值范围是-37.B设等比数列an的公比为q因为a2,a则2a3+1=a化简得q-2q2+1所以an因为210=1024,29=5128.B由x>0,y>0,若3x>813y若lnx+lny>2ln2,则取x=4,y=0.1,此时有x+y>4故“3x>813y”不是“若xy>4,则x+y≥2故“3x>813y”是“综上所述:“3x>813y”是“ln9.C将五面体补回三棱柱ABE-DCF,由题得BC⊥底面五面体的体积V可以看作是三棱柱ABE-DCF的体积减去三棱锥G-过点G向BC作垂线,交BC于点H,则有BH=在四边形AGBH中,AG//BH且AG=BH,则四边形故AB//GH，所以BC在Rt△GHC中,则HG=52-32在△ABE中，cos∠AEB=32+所以S△则VABE最终有V=故选:C.10.D对于①:取fx=-13x,x∈R(单调递减)，gx=-23对于②:取fx=-x,x∈R(奇函数)，满足fx+g对于③:设fx=x2-gx，若gx是偶函数，则fx要单调递增,则x2-gx需在而y=x2在-∞,0上单调递减,在0,+∞单调递增,对于④:取fx=x3+x,x∈R由于g'故gx在R上单调递减,且满足fx+g故①②④正确，共3个正确说法.故选:D.11.1函数fx=lgx-1+1解得1即函数的定义域为1,2.故答案为:12.5因为双曲线C:x24-y2b2=1b>0的渐近线方程为y=2x,所以b2=2,即13.30由cosα=sinβ,可得所以α=90∘-β即α+β=90∘取α-当k=0时，α-β=-90∘，不妨令此时cosα此时满足cosα=sinβ,但不满足所以“若cosα=sinβ,则α+β=k⋅360∘14.1①已知2b=c+2a又B=π-A-C代入上式得2化简得2cosAsinC=sinC,△ABC中sinC≠0②由cosA=12,A∈0,π得A因为△ABC所以由正弦定理得cb因为B∈π6,π2,故tanB∈33,+∞,代入得c对所求式子变形:c2函数fk=1-2k+2在因此c215.①②④因为a1所以an+1-an=2对于①:因为a≠1且a≠2，由a2-a1=-a若a2=1,则1-a1=-a1-即a=1或a=2,与条件a≠1且a≠同理a3-a2=-a2-12<0,即解得a2=1或a2=2,与a2≠1矛盾.若a2=此方程的判别式Δ=-32-4×3=-3<0,依次类推,可得a1>a2>a3>⋯对于②:若an+1=an,则an=3an所以若存在无数多个n使得an+1=an等价于存在无数个若a1=1,则a2=1.由a2=1,得a3=若a1=2,则a2=3a1-a12-1若a1≠1且a1≠2,则由选项①可知数列an所以不存在无数个n使得an=1对于③:由a1=令fa=-a2+3a-1是开口向下,对称轴为因为a1=a>2,所以a2再由①知数列单调递减，所以1>a2>a3>⋯，而a1=a>2对于④:由an+1所以1=1当a=3时,又由a=3结合①可知数列an单调递减,且所以n→+∞,所以12<12-1an故答案为:①②④.16.(1)连接AC,由正方体可知AA∴四边形AA1C1C∵AC⊄平面C1A1E,A1∵AC⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面∴AC(2)如图,以D为原点,建立空间直角坐标系D-设AE的长为a,则A2,设平面C1A1E则n⋅A1C1=-设直线A1B1与平面C1A则sinθ=cosA1B∴AE=0,1,0,故AE的长度为1;∵n=1,1,17.(1)f(2)π(1)f由ω=1,则fx=3sin令-π2+2kπ≤所以函数fx的单调递增区间为-(2)由fx=3sinωx-π3ω>由函数fx在0,π3上单调递增,则-π2由函数fx在a,a+2π上至少存在3个零点,则选择条件①:由f7π6=3sin7π6ω-π3=0,解得7π6ω-π3=kπk∈Z选择条件②:由fπ3=fπ2，且12π3+π2=5π12，则直线x=5π12为函数得ω=令1<2+125k≤52,解得-可得ω=2,则fx=3sin选择条件③:fπ由fπ结合三角函数的诱导公式,可得πω3或πω3-π3=π+πω-π3+2kπ,k∈Z,解得ω=3k+综上所述,选择条件②,此时ω=2,fx存在且唯一18.(1)由表可知300名调查者中愿意购买纯电动版人数为180人，频率为180300=35,用频率估计概率,从顾客中随机抽取(2)用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买插电混动版(PHEV)的概率估计6060+60=1(PHEV)的概率6060由题意X的可能取值为0,1,2,3,4PPPPP所以X的分布列为X01234P111139EX(3)低收入者愿意购买纯电动版(EV)的概率为70100=中收入者愿意购买纯电动版(EV)的概率为70120高收入者愿意购买纯电动版(EV)的概率为4080利用全概率公式可得:pA19.12(1)由f1所以fx由fx设gx则g'由g'x>0⇒所以gx在0,1上单调递减,在1又g1=0,所以gx≥0即不等式fx≤12x(2)因为fx所以f'当a-1≤0即a≤1时，x-由f'x>0⇒所以函数fx在0,1上单调递减,在1故函数fx在0,+∞上只有极小值,当0<a-1<1由f'x>0⇒0<x<所以函数fx在0,a-1和1,+∞上单调递增,所以函数fx在x=a-1处取得极大值,在当a-1=1即a=2时,f'所以函数fx在0,+∞上单调递增,当a-1>1即由f'x>0⇒0<x<所以函数fx在0,1和a-1,+∞上单调递增,所以函数fx在x=1处取得极大值,在x综上,当a∈1,2∪2,+∞时,函数f20.(1)由题意知,焦