专题4.3 对数运算（知识解读）（含解析）（人教A版2019必修第一册）【考点精练】2022-2023学年高一数学

专题4.3对数运算（知识解读）【学习目标】1.经历对数运算性质的形成过程，理解对数的运算性质，体会对数运算的降级特征；2.经历换底公式的形成过程，理解换底公式，体会换底公式在对数求值中的作用；3.可以利用对数的运算性质、换底公式解决问题，发展数学运算核心素养．【知识点梳理】知识点一：对数概念1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.特别的：规定,且的原因：①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.2、常用对数与自然对数①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.把以为底的对数称为自然对数,并把记作说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.知识点二：指数式与对数式的相互转化当且，知识点三：对数的性质①负数和零没有对数.②对于任意的且,都有，，；③对数恒等式:（且）知识点四：对数的运算性质当且，,①②③（）④（）⑤（）知识点五：对数的换底公式换底公式：（且，，，且）特别的：【典例分析】【考点1对数概念】【典例1】（2021·全国高一专题练习）代数式有意义时，求x的取值范围．【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）在中，实数a的取值范围是A． B． C． D．【变式1-2】（2021·全国高一课时练习）若成立，求x的取值范围．【考点2指数对数的互化】【典例2】（2021·全国高一课前预习）根据对数定义，将下列进行指对数式互化：（1）；（2）；（3）；（4）．【变式2-1】（2021·全国高一专题练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）53=125；（2）4-2=；（3）log3=-3.【变式2-2】（2021·全国高一课前预习）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）；（2）；（3）．【考点3对数的求值】【典例3】（2022·湖南·高一课时练习）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式3-1】（2021·全国高一课前预习）利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值．（1）；（2）；（3）．【变式3-2】（2021·全国高一课时练习）已知，则的值为____．【变式3-3】（2021·上海高一专题练习）已知logx27＝3，则x＝________.【变式3-4】（2021·广西南宁·高一期末）已知函数，则___________.【考点4对数的运算】【典例4】（2021·全国高一课时练习）计算:（1）lg125+lg2lg500+(lg2)2.（2）（3）【变式4-1】（2021·全国）计算下列各式的值：（1）lg−lg＋lg；（2）lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.【变式4-2】（2021·安徽芜湖一中高一月考）计算（1）（2）【考点5换底公式】【典例5-1】（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）若，，则（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2022·福建·福州三中高一期末）若，则___________.【变式5-1】（2021·上海高一专题练习）已知，用含的式子表示_________.【变式5-2】（2020·上海市川沙中学高一期中）已知：lg2=a，lg3=b，则a，b表示=_____________；【变式5-3】（2022·浙江·高一期中）设，，把用含，的式子表示，形式为___________.【变式5-4】（2021·上海高一课时练习）已知，求的值．专题4.3对数运算（知识解读）【学习目标】1.经历对数运算性质的形成过程，理解对数的运算性质，体会对数运算的降级特征；2.经历换底公式的形成过程，理解换底公式，体会换底公式在对数求值中的作用；3.可以利用对数的运算性质、换底公式解决问题，发展数学运算核心素养．【知识点梳理】知识点一：对数概念1、对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.特别的：规定,且的原因：①当时，取某些值时，的值不存在，如：是不存在的.②当时，当时，的值不存在，如：是不成立的；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.③当时，当，则的值不存在；当时，则的取值时任意的，不是唯一的.2、常用对数与自然对数①常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为②自然对数：是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.把以为底的对数称为自然对数,并把记作说明：“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.知识点二：指数式与对数式的相互转化当且，知识点三：对数的性质①负数和零没有对数.②对于任意的且,都有，，；③对数恒等式:（且）知识点四：对数的运算性质当且，,①②③（）④（）⑤（）知识点五：对数的换底公式换底公式：（且，，，且）特别的：【典例分析】【考点1对数概念】【典例1】（2021·全国高一专题练习）代数式有意义时，求x的取值范围．【答案】【解析】由题意可得解得．故答案为：【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）在中，实数a的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【详解】由对数的定义知，解得或.故选C【变式1-2】（2021·全国高一课时练习）若成立，求x的取值范围．【答案】【解析】由已知得且，所以且所以x的取值范围为【考点2指数对数的互化】【典例2】（2021·全国高一课前预习）根据对数定义，将下列进行指对数式互化：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）因为，所以.【变式2-1】（2021·全国高一专题练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）53=125；（2）4-2=；（3）log3=-3.【答案】（1）log5125=3；（2）；（3）【解析】（1）∵53=125，∴log5125=3.（2）∵，∴.（3）∵，∴【变式2-2】（2021·全国高一课前预习）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由可得；（2）由得；（3）由可得．【考点3对数的求值】【典例3】（2022·湖南·高一课时练习）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)125(2)(3)(4)【解析】(1)解：因为，所以；(2)解：因为，所以，解得(3)解：因为，所以，所以；(4)解：因为，所以，所以.【变式3-1】（2021·全国高一课前预习）利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值．（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）或．【解析】（1）由，得，∴；（2）由，得，且；（3）由，得，∴，.∵，∴或．【变式3-2】（2021·全国高一课时练习）已知，则的值为____．【答案】【解析】由，得，所以，即，所以，，所以．故答案为：【变式3-3】（2021·上海高一专题练习）已知logx27＝3，则x＝________.【答案】3【解析】因为x3=27，而33=27，所以x=3.故答案为：3【变式3-4】（2021·广西南宁·高一期末）已知函数，则___________.【答案】8【解析】由，则故答案为：8【考点4对数的运算】【典例4】（2021·全国高一课时练习）计算:（1）lg125+lg2lg500+(lg2)2.（2）（3）【答案】（1）3；（2）1；（3）-7.【解析】（1）原式=lg53+lg2(lg5+lg100)+(lg2)2=3lg5+lg2·lg5+2lg2+(lg2)2=3lg5+2lg2+lg2(lg5+lg2)=3lg5+3lg2=3lg10=3.（2）原式=（3）原式=【变式4-1】（2021·全国）计算下列各式的值：（1）lg−lg＋lg；（2）lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.【答案】（1）；（2）3.【解析】（1）原式＝(5lg2－2lg7)－lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.（2）原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.【变式4-2】（2021·安徽芜湖一中高一月考）计算（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）.（2）原式.【考点5换底公式】【典例5-1】（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B.故选：B【典例5-2】（2022·福建·福州三中高一期末）若，则___________.【答案】##【解析】解：因为，所以，即，即，所以；故答案为：【变式5-1】（2021·上海高一专题练习）已知，用含的式子表示_________.【答案】【解析】.故答案为：【变