【信号处理的时频分析方法综述6400字】

目录信号处理的时频分析方法综述 1 11.2短时傅里叶变换 31.3小波变换 11.1.1分辨率问题 1.1.2小波母函数 1.1.3连续小波变换 在传统的信号处理领域，基于Fourier变换的信号频域表示及其能量的频域积分得来的，无法有效地反应信号的突变，信号的频究的对象主要为非平稳信号。它的研究始于20世纪40年代，为了得到信号的时到Cohen类，为了去解决不同情况下的问题已经有了数十个分支。如今时频分析目前针对时频变换主要有两种分类，分为线性时频分析方法和非线性时频S变换是地球物理学家Stockwell域1996年提出的一种时频分析方法，其定S(t,f)为变换得到的时频谱矩阵。ST克服了STFT窗口时宽不变的缺陷，能WVD在时频平面上的投影为一条直线，即频率随时间的线性变化关系。WVD维平面表示的话，其横轴t对应的就是信号的时间轴，纵轴r则表示信号的自相图3-15瞬时自相关函数隐含了瞬时频率的信息，直观上去“对于瞬时自相关函数的傅里叶变换”就是对于t1的纵轴做傅里叶变换，将原理意义就成为：当前横轴对应时刻下瞬时信号的功率谱密度。图3-1尔分布的时频聚集性是好一些的，但是对于多分量信号却存在交叉项，所以在对一些非平稳信号进行时频分析时常常把这两种方法联合使用，使得它们之间的优缺点互补。为抑制交叉项的影响，研究人员们提出了很多改进方法。典型的有伪WVD和伪平滑WVD,它们实际上是对WVD进行加窗平滑，但其平滑窗函数宽度不可调节，则时频分辨率固定。Cohen类时频表示形式为：式中g(θ,t)称为核函数，可以理解为加在魏格纳分布上的窗函数。Cohen类时频方法采用不同的核函数来抑制交叉项，本质上是在模糊域对信号进行低通滤波。Cohen提出众多的时频分布其实是WVD的分布的变形，可以通过统一的形式表示，不同体现在积分变换核函数的函数形式选择上，又被称为广义双线性时频分1.2短时傅里叶变换傅里叶变换可以把一个信号从时域变换到频域，它的形式为：傅里叶变换还存在系数，为了保证经过一次正变换和反变换之后，得到的信号与原信号幅值相同，必须需要满足正变换系数乘上逆变换系数等于根据欧拉也就是说傅里叶变换的本质就是将原始信号乘上一组三角函数，然后在整个时间域上进行积分。这里有一个信号y=sin(3t):t 0图3-2我们可以发现，由于乘上了自己，任何时间内的幅值都大于等于0了，不再满足周期内积分值为0了，那么,当我们对这个新信号在整个负无穷到正无穷上进行我们已经知道将一个信号乘上一个特定频率的sin函数并且在整个负无穷到有频率的sin函数并积分就可以知道所有频率成分，但是这样是算不出来的，所对这个式子进行计算后，想知道特定的频率w代入X(w)就可以立马得到积分可以知道原始信号中的所有频率成分了。最后对y=sin(3t)进行傅里叶变换，使用的Matlab的FFT:图3-3y₁=sin(5t)(0<t<25)+sin(t)(25这里有两个信号：Y₂=sin(t)(0<t<25)+sin(5t)(25<t<50)y1=sin(5t)"(0<t<25)+sin(t)"(25<y1=sin(5t)"(0<t<25)+sin(t)"(25<y2=sin(t)'(O<t<25)+sin(5t)'(25<y2=sin(t)'(O<t<25)+sin(5t)'(25<图3-5两个信号都包含相同的频率成分，只不过两种频率出现的先后不同，再对这两个信号同时做傅里叶变换，如下图：图3-6||图3-7数：ywindow=1*(-width/2<t<width/2),下图即是一个窗长为10的方窗函数：图3-8操作被称为分窗。那么,将方窗函数向右平移了ts,再与原信号相乘，因为方窗函数除了中心的width部分是1外，其他部分都是0,这就相当于提取出了原信的一段，如下图所示：图3-9,变换后的X(w,t.)代表原信号y₃=sin(20t)(0<t<25)+sin(t)(25<t<50)进行STFT,首先，方窗位于t=5s处，与原始信号相乘，选择出(0,10)的信号进行FTt图3-10|图3-11之后，方窗开始向右移动，当移动到t=25s时，选择时间区间为(20,30),这一部分包含了两种频率成分，如下图：0图3-12图3-13总的来看，我们可以将方窗函数选择的不同时间区间信号的FT结果拼合起来组图3-14STFT的本质就是将方窗函数并入基函数的内部，构成了一个新的基函数，并且STFT的基函数只在时域的某一段内不为0,在剩下的时域都是0,也就等1.3小波变换关于分辨率可分为时域分辨率和频域分辨率，这两个分辨率关系到一个定理，名为海森堡测不准原理，不确定性原理由海森堡在1927年的论文中首次提出。首先海森堡测不准定理是指：△t为信号的时间不确定度，△f为信号的频率不确定度，总的来说就是我们无法同时确定一个信号的确切时间和确切频率。频率其实就是时域周期性。如果我只给你一个数据点，问你这个数据点的频率是多少，这肯定是做不到的。要确定频率，就需要一个时域区间(包含几个时域周期)的信号。时域区间越宽，信号的时间定位越不准，时间不确定度△t越大，得到的频率越准，频率不确定度△f越小，称这种情况为：低的时域分辨率，高的频域分辨率；时域区间越窄，信号的越大，就称为高的时域分辨率，低的频域分辨率。对于低频信号，为了更好地确定频率，我们希望，时域区间宽一些，即时间不确定度△t大一些，根据海森堡测不准原理，频率不确定度△f自然小一些；即为了更好地在时域定位，我们希望，时域区间窄一些，即时间不确定度△t小一些，根据海森堡测不准原理，频率不确定度△f自然大一些；即高频信号，我们希望窄窗子，高的时域分辨率，低的频域分辨率。图3-16这是一张采集信号的分辨率图，每个小矩形在时间轴的宽度很小，说明时间分辨率很好，可以确定每个采样点的时间，再看每个小矩形在频率轴的宽度非常大，说明频率分辨率很差。图3-17图3-18图3-19上图为短时傅里叶变换的分辨率图，可以从图中看出所有的矩形都是一样的大小，也就是说无论高频低频，分辨率都是不可调的，这与之前所期望的动态分辨率不符，所以对于短时傅里叶变换来说，当对一个信号展开时频分析时，当窗子的宽度选择合适时，是可以得到时域分辨率和频域分辨率都还不错的情况的，但是在作分析之前我们无法知道窗子是否合适。短时傅里叶的缺点就就是无法随着动态为了解决动态分辨率的问题，引入了小波母函数，小波母函数不是一个特定的函数，是一种函数的集合，满足了一定条件的函数均可以作为小波母函数。小波母函数ψ(t)需要满足的有几个条件：条件一，紧支撑性：3a>0,t>a,ψ(t)=0,即仅在一小部分定义域里不为0,剩下部分均为0。条件二，波动性：条件三，容许条件：,这个条件便使变换可逆。条件四，正交性：这也是为了使变换可逆。图3-20到的信号相乘并且积分可以筛选出信号在小波母函数在非0部分相近的频率成从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率w,小波变换有两个变量：尺度就对应于频率(反比),平移量t就对应于时间。下图是我们对图3-20进图3-21图3-22图3-23如上图，将a增大，此时小波函数频率降低，窗子变宽，用来筛选中频部分。小图3-24如上图，将a进一步增大，此时小波函数频率进一步降低，窗子更宽，用来筛选离散小波变换称为DWT,DWT有很波器和一个低通滤波器。比如一个信号中最高频率为F,高通滤波器就是筛选出)的部分，低通滤波器就是筛选出(0,F)的部分，如下图：图3-25这里还要提出一个下采样的概念，N倍下采样的过程就是将采样点进行N倍稀释，下图是一个2倍下采样的例子：tt图3-26解就是进行一次半子带滤波和一次2倍下采样。假设有原采样信号N个点，信号最高频率为F,经过一次高通滤波后，得到)的部分，再经过一次2倍下采样就变成了个点，我们将这个 总长度还是N。波分解高频系数不变，把个点的低频系数当做信号，再进行一次小波分解，就可以得到个点的第二层高频系数和长度还是不变的。依次类推，当在不断地小波分解下，直到log₂N层小波分解时，低频系数和高频系数都只剩下一个点了，下