【浅析凸凹函数在证明不等式中的应用6800字（论文）】

1浅析凸凹函数在证明不等式中的应用 2 1.2研究意义 21.3国内外研究现状 32.相关概念介绍 42.1凸凹函数的概述 42.2凸凹函数的定义 42.3凸凹函数的性质 52.4不等式的概述 92.5重要的不等式证明方法介绍 3.2利用柯西不等式与凸凹函数证明不等式 3.3利用凸凹函数的性质证明不等式 4.结束语 5.参考文献 探讨.希望本文的研究能引导人们正确理解凸凹函数的定理及几何特征，并灵活运用在不等式的证明中.2等式是20世纪以来的研究热点，其中利用与凸凹函数直接相关的Jensen不等式来证明许多较为复杂的不等式又是一个研究重点之一.因此本文将详细的介绍凸凹函数，并且将凸凹函数应用到不等式的证明中来，如利用Jensen不等式证明与凸凹函数证明同一个不等式以此来突出凸凹函数证明不等式的简洁.接判断出函数图像的大致.凸凹函数在数学以及相关领域中可以说应用甚广，是一个非常重要的函数.20世纪以来不等式一直是数学领域的研究热点之一，在20世纪90年代更是达到了空前的热度.不等式在数学中有着非常重要的应用，且通过不等式也将数学应用到了许多相关领域.凸凹函数的建立与不等式有着密切的联系，其中凸函数的经典内容Jensen不等式经常用于证明不等式.利用函数证明不等式时，重点是利用函数的性质对对于有二阶导数的函数，函数的凸凹性在证明不等式中有着非常重要的应用.明过程繁琐的不等式变得简便.随着新课程的改革，高中有关于利用函数证明不等式的题目变得越来越常质在不等式的证明中的应用.因此凸凹函数的性质，凸凹函数在不等式中的应用非常重要的意义.31.3国内外研究现状利用凸凹函数的性质来寻求简便的证明不等式的方法在国内已经取得了一定的研究成果，且国内对于这方面有着较为全面的研究.研究相较与国内并不算全面，但是有着较深的研究成果.1.3.2国内研究现状行了较为全面的探讨与研究，其中也包括了许多凸凹函数在不等式中应用的文夏晓丹在她的《凸函数-琴生不等式在中学中的应用》中介绍了凸凹函数的融入高中数学中教学中的作用.式的证明中的应用进行了探讨，对凹凸函数的定理与几何特征进行了概述与分析，然后对凹凸函数在不等式中的实际运用进行了探讨.接证明了不等式，且对其凸函数在不等式证明中的应用进行了总结探讨.在刘丽红的《凸函数的Jensen不等式及其应用》中介绍了Jensen不等式的性质以及经过映射后的性质，同时也给出了Jensen不等式的应用.用，最后还对凸凹函数的性质应用进行了总结.本文介绍了凸凹函数能很好的解决求函数值和的问题.明不等式的多种方法，且给出了详细的例题讲解.4法进行了总结2.相关概念介绍来在许多大学的自主招生考试以及高中的数理类考试竞赛中都会遇到此类的题问题.凸凹函数以及其定义本身是建立于不等式上的，这使得凸凹函数在证明不等式中有着非常多的应用，可以简便的解决许多较为复杂的不等式.定义1:设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，存在任意两点x₁、x₂属于[a,b],并且恒有那么f(x)在区间上为严格凸函若恒有那么f(x)在区间上为凹函数；若恒有那么f(x)在区间上为凸函数.定义2:设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，存在任意两点x₁x₂属于[a,b],且有0≤t≤1,则恒有f[tx₁+(1-t)x₂]≤[tf(x₁)+(1-t)f(x₂)]那么f(x)在区间[a,b]上为凹函数.数.定理1:设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么f(x)是凹函5数的充要条件是f”(x)≥0,f(x)是凸函数的充要条件是f”(x)≤0.即f(x)一阶导数为增函数则f(x)就是凹函数，若f(x)的一阶导数为减函数则f(x)就是凸函定义4:设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，存在任意两点x₁x₂数.数.在凸凹函数中有两种常见的几何表现形式，也称之为凹弧和凸弧.有凹弧几0凹函数主要有以下特点：假设P与P₂是凹函对应的横坐标为x₁,x₂,并且存在x₁<x₂,所以就会有P(x₁,f(x₁)),P₂(x₂,6f(x₂)),过点作为x轴的垂涎并且与函数f(x)交于点P,交P,P₂于点M.存在任意两点P与P₂之间的部分在弦P₁和P₂的下方，则可以判断出该函数为凹函数，如下图2所示：y0x₁x₁曲线f(x₁)在该区间的凸函数；f(x₂)在该区间的凹函数.对应的横坐标为x₁,x₂,并且存在x₁<x₂,所以就会有P(x₁,f(x₁)),P₂(x₂,f(x₂)),过点作为x轴的垂涎并且与函数f(x)交于点P,交P,P₂于点M.存在任意两点P与P₂之间的部分在弦P₁和P₂的上方，则可以判断出该函数为凹函数，如下图3所示：7yP₂2.3.2凸凹函数的性质性质1:若f(x)是在区间[a,b]上为凹函数，有[a,b]上任意三点x₁<x₂<x₃,则恒有：性质1证明：设,则0<t<1,且及可得x₂=tx₁+f(x₂)≤[tf(x₁)+(1-t)f(x₃)从而可得f(x₂)-f(x₁)≤(1-t)[f(x₃)-f(x₁)],f(x₃)-f(x₂)≤(1-t)[f(x₃)-f(x₂)]从而可得出两个式子：8性质2:若f(x)是[a,b]上的凸函数，对[a,b]内任意的x₁,x₂,x₃,当x₁<性质2证明：令,由x₁<x₂<x₃可得0<t<1.又有f(x)为是在[a,b]上的凸函数.性质3:(1)若f(x)在区间I上的下凸函数，对于Vx₁,x₂,x₃…x∈I和n∈N,式.(2)若f(x)在区间I上的上凸函数，对于Vx₁,x₂,x₃…x,∈I和n∈N,满足式.凸函数，因此在利用凸凹函数证明不等式时，更多的是利用到Jensen不等式.(3)设f(x),g(x)为[a,b]上的可积函数，而m≤f(x)≤M,g(x)>0,9与一个固定数量(或变量)之间的某种大小关系，确定某些量的大小对于数学中的函数问题有着极大的帮助，所以不等式一直是许多相关的专家学者研究的热点.不等式在许多领域有着非常广泛的应用，同时在数学中有着重要的地位.不为复杂的不等式时，经常令人感觉无从下手.而凸凹函数可以较为简便的证明许多繁琐的不等式，因此研究凸凹函数在不等式中的证明方法就非常必要.以下是一些不等式证明方法的介绍：(1)利用已知的不等式或特殊的不等式来证明不等式，如利用高中所学的柯西(Cauchy)不等式.这些方法可以解决大部分高中遇到的不等式问题.(2)利用拉格朗日(Lagrange)中值定理来证明不等式，这种方法可以解决绝大部分的不等式问题.(3)利用函数的单调性证明不并确定函数的单调性，即可进行证明，此方法适用于高中阶段的学生.(4)利用泰勒(Tylor)公式证明不等式，此类方法在所要证明的不等式的是函数且或可以构造函数的不等式的证明，且函数需具有二阶导数才可更好的利用.(5)利用几何意义来证明.生就能够利用.而在面对复杂的不等式时则比较难利用这种方法，可能需要利用到拉格朗日(Lagrange)中值定理，但是此凹函数在证明不等式中的应用可以帮助中学生解决较为繁琐的不等式.3.凸凹函数在不等式证明中的应用例1:在△ABC中，求证：证明：(1)令f(x)=-sinx,x∈(0,π),由于f”(x)>0,则f(x)在(0.π)是凹函数.,即得：(2)令f(x)=-lnsinx,x∈(0,π),由f"(x)>0,则f(x)在(0,π)是凹所以由Jensen不等式得：∵由第一问的结论可有注：当且仅当sinA=sinB=sinC=60°时，第(1)和第(2)问可取等号.是凸函数.所以由Jensen不等式得：在(0,π)是凸函注：当且仅当sinA=sinB=sinC=sinD=90°时，第(1)和第(2)问可取等号.函数还是凸函数，再利用由凸凹函数推出的J常方便的证明，且验算过程也比较方便，可以帮助解决解决类似的几何问题.在单.在本次证明中，利用到了之前介绍到的两个凸函数与凹函数，另外还构造了例3:求：在圆内最大的内接三角形的面积是多少?证明：设定圆半径为R,其内接△ABC的三边长分别为a、b、c,面积为S.则由例1中的(1)可并依次得到三个角的度数，得知为∠A=∠B=∠C=60°,就可以得到定圆的内接三角形的最大面积是,所以圆内接三角形的最大面积就是三个顶点在该圆的边上的等边三角形.可以看到此证明简洁且较为方便，因此研究凸凹函数在证明不等式中的应用是很有必要的.证明：令f(x)=lnx,那么f"(x)=-x⁻²,当x存在(0,+∞)时，f"(x)<0,所以f(x)为凸函数，所以可由Jensen不等式得：令f(x)=-Inx,那么f"(x)=x⁻²,当x存在(0,+∞)时，f"(x)>0,所以f(x)来较为繁琐的不等式，但是在证明中完美可以看到，只要构造了f(x)=lnx以及简洁的证明.称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】,因为柯西(Cauchy)不等式是由后两位数学家独立地研究中才将之推广开来.柯西不等式在高中课本里就出现了，且对于柯西不等式的应用在中学的各种(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²,公式变形ac+b例5:已知a,b为正数，并且a+b=1,求即(1²+1²)即由凸凹函数的性质：函数由函数的定义域可知x属于(0,1),即函数所以函数f(x)在其定义域上是凹函数，有得这两个重要的不等式，即得到凹函数的一个性质得到一个式子，化解即可得到.所以利用凸凹函数的性质可以令原本较为复杂的不等式的证明变得简单化，也可以更好的利用此性质进行教(-1,2)内，有f"(x)=12(x²-x-2)<0.f(x)在[-1,2]上是凸函数，又f(-1)=f(2)=0,于是对Vx∈(-取即x∈(-1,2)时有x⁴-2x³-12x²+13x+22>0.是构造辅助函数来证明，在题中令f(x)=x⁴-2x³-12x²+13x+22,则可求出相应的凸凹性进行证明.一但构造了辅助函数，那么只需要求出二阶导数，即可简单证明，此类题型也会由复杂变得简便.4.结束语本文介绍了通过凸凹函数的性质以及不等式，对凸凹函数进行了细致的介绍，这可以让学生对于凸凹函数有一个更深的认知.同时也本文给出了凸凹函数变得简单化，可以为许多学生证明不等式提供一种新方法.也有着极大的帮助而本文对于凸凹函数应用于不等式的证明中的探索也极具意极的借鉴作用.[2]欧阳资考.凸函数在证明不等式中的应用[J].甘肃科技纵横，2013(42):84-87.[3]夏晓丹.凸函数、琴生不等式及其在中学数学中的应用[D].西北大学，2016:6-7.[6]吴明鑫.凸函数在不等式证明中的应用[J].陕西师范大学学报，2003(31):36-38.育中旬刊，2017(11):45-46.[8]邓卫兵.凸函数与不等式[J].哈尔滨商业大学学报，2005(21):514-516.[9]盛宗生.凸凹函数的应用[J].南阳理工学院学报，2006(8):108-110.[10]陈海伟.拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用[J].科技教育，2019[11]游杨.泰勒公式在不等式中的应用[J].吉林