NOIP2026提高组博弈论与SG函数基础练习题

NOIP2026提高组博弈论与SG函数基础练习题第一题（3分）题目：某市有三个相邻的社区A、B、C，每个社区都计划举办一场文化活动。社区之间的活动时间安排必须满足以下条件：1.若A社区活动在上午举办，则B社区活动必须在下午举办；2.若B社区活动在下午举办，则C社区活动必须在上午举办；3.若C社区活动在上午举办，则A社区活动不能在下午举办。问：是否存在一种活动时间安排（每个社区活动时间独立选择上午或下午），使得所有条件同时满足？若存在，请给出一种安排；若不存在，请说明理由。第二题（4分）题目：小明和小红进行一场游戏，游戏在一个4×4的棋盘上进行。双方轮流在空格上放置棋子，先无法落子的玩家输。棋盘初始状态为空，玩家每次可以选择任意一个空格落子，落子后该格子不能再被占用。游戏胜负由以下规则决定：-若某玩家在棋盘上形成的矩形（由至少一个棋子覆盖的连续格子组成）的边长之积为偶数，则该玩家获胜。请问：若小明先手，且双方都采取最优策略，谁将获胜？请证明你的结论。第三题（5分）题目：某公司有三个项目需要分配给三个员工完成，每个员工只能负责一个项目。项目之间的依赖关系如下表所示：|项目|依赖关系||--|-||项目1|无||项目2|项目1必须先完成||项目3|项目1或项目2必须先完成|员工之间有合作默契，若两人合作完成项目，则该项目的完成时间缩短一半。问：是否存在一种分配方案，使得所有项目都能在最小时间内完成？若存在，请给出分配方案及完成时间；若不存在，请说明理由。第四题（6分）题目：一个有向图包含四个顶点A、B、C、D，以及以下边：-A→B，B→C，C→D，D→A。游戏规则如下：1.玩家从A顶点出发，每次可以选择沿着有向边前进；2.若玩家到达某个顶点时，该顶点有且仅有一条出边，则玩家必须沿着这条出边前进；3.玩家无法到达其他顶点（即不存在其他路径）。问：玩家能否从A出发，最终回到A？若能，请给出一种路径；若不能，请说明理由。第五题（7分）题目：某农场有三种作物：小麦、玉米、大豆，种植顺序必须满足以下条件：1.小麦必须在玉米之前种植；2.玉米必须在大豆之前种植；3.若大豆在第三天种植，则小麦必须在第一天种植。问：是否存在一种种植顺序，使得所有条件同时满足？若存在，请给出一种顺序；若不存在，请说明理由。第六题（8分）题目：某城市有三个区域：东区、西区、南区，每个区域都计划修建一条道路连接到市中心。道路建设顺序必须满足以下条件：1.东区道路必须在西区道路之前修建；2.西区道路必须在南区道路之前修建；3.若南区道路在第三阶段修建，则东区道路必须在第一阶段修建。问：是否存在一种修建顺序，使得所有条件同时满足？若存在，请给出一种顺序；若不存在，请说明理由。答案与解析第一题（3分）答案：不存在。解析：假设A社区活动在上午举办，根据条件1，B社区活动必须在下午举办；根据条件2，C社区活动必须在上午举办；根据条件3，若C社区活动在上午举办，则A社区活动不能在下午举办。这与假设矛盾，因此不存在满足所有条件的安排。第二题（4分）答案：小明将获胜。解析：小明先手，若小明在棋盘中央位置落子（即(2,2)位置），则棋盘被分为四个部分，任何一方后续落子都无法形成边长之积为偶数的矩形。此时，无论小红如何落子，小明总能通过对称策略迫使小红无法形成符合条件的矩形，从而获胜。第三题（5分）答案：存在分配方案。解析：分配方案如下：-员工1负责项目1；-员工2负责项目2；-员工3负责项目3。完成时间：-项目1由员工1单独完成，耗时T；-项目2由员工2单独完成，耗时T；-项目3由员工3单独完成，耗时T。若员工1和员工2合作完成项目2，则项目2的完成时间缩短为T/2，员工3仍需单独完成项目3。此时总时间为T+T/2+T=2.5T。若员工1和员工3合作完成项目3，则项目3的完成时间缩短为T/2，但项目2仍需员工2单独完成。此时总时间为T+T+T/2=2.5T。因此，最优方案为员工1负责项目1，员工2负责项目2，员工3负责项目3，总完成时间为2.5T。第四题（6分）答案：玩家无法从A出发，最终回到A。解析：根据有向图的结构，A→B→C→D→A形成一个环。但若玩家到达某个顶点时，该顶点有且仅有一条出边，则玩家必须沿着这条出边前进。此时，玩家无法在到达A时选择返回路径（因为A有且仅有一条出边），因此玩家无法回到A。第五题（7分）答案：不存在。解析：假设大豆在第三天种植，根据条件3，小麦必须在第一天种植。但此时若玉米在第二天种植，则不符合条件1（小麦必须在玉米之前种植）。若玉米在第一天种植，则不符合条件2（玉米必须在大豆之前种植）。因此，不存在满足所有条件的种植顺序。第六题（8分）答案：不存在。解析：假设南区道路在第三阶段修建，根据条件3，东区道路必须在第一阶段修建。但此时若西区道路在第二阶段修建，则不符合条