第3章问题解决活动：最短距离2025-2026学年北师大版八年级数学下册

一、几何背景下的多结论问题☆问题解决活动：最短距离1.能利用平移变换解决造桥选址问题，理解的合理性．2.体会图形的变在解决最值问题中的作用，感悟转思想．学习目标第三章图形的平移与旋转随堂测课堂讲练课堂检测衔接回顾返回目录

两定一动图形在直线l上找一点C，使得AC＋BC的值最小在直线l上找一点C，使得AC＋BC的值最小依据两点之间，线段最短作法连线段，得交点作对称，连线段，得交点课堂讲练返回目录造桥选址问题例1（新BS八下P100改编）如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班．已知该地下通道长度为am，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度）.【理解问题】将实际问题抽象成数学问题：解：如答图1，记居民区为A，工厂为B，把地铁线路看成一条水平直线l，M，N为水平直线l上的两个动点，点M，N之间的距离始终为a，由此问题可以转为：当点M，N在水平直线l上的什么位置时，AM＋MN＋BN的值最小．答图1【问题转】你能通过图形的变换（对称、平移、旋转等），将问题转为我们研究过的问题吗？怎么转？如答图2.∵MN＝a，∴要使AM＋MN＋BN的值最小，只需使AM＋BN的值最小即可．将线段AM向右平移，使点M与点N重合，点A移动到点A′的位置，此时A′N＝AM，AM＋BN＝A′N＋BN.这样，问题就转为：当点N在水平直线l上的什么位置时，A′N＋BN的值最小．答图2【问题解决】利用已学知识，确定地下通道MN的位置，并说明理由．解：如答图3，将点A向右平移a个单位长度得到点A′，连接A′B，交水平直线l于点N，将线段A′N向左平移a个单位长度得到线段AM，此时点M，N的位置即为所求．理由：由答图3可知，当A′，N，B三点共线时，A′N＋BN＝AM＋BN的值最小，即AM＋MN＋NB的值最小．答图3解决“造桥选址”问题，一般用平移的，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转移到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题．训练

1.（新BS八下P101）如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座过路天桥，要求天桥与道路垂直．那么，天桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？解：如答图4，记甲单位为A，乙单位为B，道路的两边沿分别为水平直线a和b，且a∥b，a，b之间的距离为m，将点A向下平移m个单位长度得到点A′，连接A′B，交直线b于点N，将线段A′N向上平移m个单位长度得到线段AM，此时线段MN所在的位置即为所求．理由：由答图4可知，当A′，N，B三点共线时，A′N＋BN＝AM＋BN的值最小，即AM＋MN＋BN的值最小．答图42．（新BS八下P101）如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新设两个储物点，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂大门后，先到甲储物点取物品，然后沿道路走到乙储物点取物品，最后到道路另一侧的车间．请画图说明，两个储物点设在何处，工作人员所走的路程最短．解：如答图5，记大门为A，车间为B，道路为水平直线l，甲储物点为M，乙储物点为N，两个储物点的间距始终为m.将点A向右平移m个单位长度得到点A′，连接A′B，交直线l于点N，将线段A′N向左平移m个单位长度得到线段AM，则点M为甲储物间的位置，点N为乙储物间的位置，此时工作人员所走的路程最短．答图5变式2.1如图，若大门与车间在道路的同侧，其他条件不变，请画图说明，两个储物点设在何处，工作人员所走的路程最短．解：如答图6，记大门为A，车间为B，道路为水平直线l，甲储物点为M，乙储物点为N，两个储物点的间距始终为m.作点B关于水平直线l的对称点B′，将点A向右平移m个单位长度得到点A′，连接A′B′交直线l于点N，将线段A′N向左平移m个单位长度得到线段AM，则点M，N的位置即为所求．答图6随堂测返回目录1．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线(虚线)l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段(实线)表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是(

)C2．如图，从A地到B地要经过一条小河(河的两岸平行)，现要在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸)，应如何选择桥的位置才能使从A地