数系的扩充和复数的概念高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.1数系的扩充和复数的概念情景引入

我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系.

回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？情景引入今天真顺，可是我现在共捕了多少头野猪呢？有办法了，用结绳来计数！

我真是天才！计数的需要自然数被“数”出来的自然数远古时期的人类，用划痕、石子、结绳记数，创造了自然数1，2，3，4，5……

情景引入相反量的需要负数被“欠”出来的负数东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法．该如何记出入账呢?情景引入等额公平分配的需要，产生了分数等额公平分配的需要分数被“分”出来的分数分数的引入，解决了在整数中不能整除的矛盾.情景引入毕达哥拉斯（约公元前560—480年）11?度量计算的需要无理数边长为1的正方形的对角线长是多少?被“推”出来的无理数

约2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数，引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数.随着社会发展，数系在不断扩充．问题探究（1）在自然数集中求方程x+1=0的解；（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；（3）在有理数集中求方程x2-2=0的解.（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；无解有解无解有解有解无解（3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；

（4）在实数集中求x2+1=0方程的解．无解有解？（1）在自然集中求方程x+1=0的解；NZQR探究1借助列方程，能否从解方程(数学)的角度来说明数系的扩充？数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题．问题探究探究2

我们知道，方程

x²+1=0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，能否适当扩充实数集，使这个方程有解呢?

新数：i规定i2=-1问题探究探究3

将新引进的数i添加到实数集中，并希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并满足各种运算律，那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢?（2）把实数b与i相乘，结果记作bi；（3）把实数a与bi相加，结果记作a+bi.（1）把实数a与新引进的数i相加，结果记作a+i；所有实数以及i都可写成a+bi的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.新知讲授形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.i叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.复数的概念复数的代数形式通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)a叫做复数的实部b叫做复数的虚部注意：复数z的实部和虚部都是实数.新知应用例1(1)已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a＝（）A.

－3B.3C.

－1D.1(2)已知复数x＋y＋(2－x)i的实部和虚部分别为3和4，则实数x和y的值分别是（）A.2，－4B.2，5C.

－2，4D.

－2，5DC《三维设计》P32例1新知应用探究4复数z=a+bi(a,b∈R)满足什么条件时分别为实数、虚数和纯虚数？当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.问题探究探究5复数集C与实数集R之间有什么关系？复数集虚数集纯虚数集实数集实数集R是复数集C的真子集，即R⫋C.复数实数(b=0)虚数(b≠0)纯虚数(a=0,b≠0)非纯虚数(a≠0,b≠0)复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下：新知应用例2

当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数？

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.例3(1)若复数z＝(x2－100)＋(x－10)i为纯虚数，则实数x＝（

）A.

－10B.10C.100D.

－10或10(2)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m的值为

⁠.新知应用《三维设计》P32训练2问题探究探究5如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？

在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，即：a+bi=c+di⇔a=c且b=d.特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.

我们规定：a+bi和c+di相等，当且仅当a=c，b=d.新知应用例4(1)已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，求实数m的值；(2)已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x,y∈R，求x,y的值.《三维设计》P33例3新知应用例5(1)下列命题中，真命题的个数是（）①若x,y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a,b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A.0B.1C.2D.3(2)若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，则实数m的值为（）A.

－1B.

±1C.1D.

－2BC练习(1)若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z＝

a＋bi的虚部为（D）A.－iB.－1C.2iD.2新知应用(2)已知复数z1＝2－ai，z2＝b－1＋2i（a，b∈R，i