人教版九年级数学相似三角形导学案

人教版九年级数学相似三角形导学案同学们，在我们的数学世界里，图形的变换与联系无处不在。从全等三角形的“一模一样”，到今天我们将要探索的“形状相同，大小不同”，数学的魅力就在于这种从特殊到一般的认知飞跃。相似三角形，作为平面几何中的重要组成部分，不仅能帮助我们更深刻地理解图形之间的关系，更在解决实际问题中有着广泛的应用。这份导学案将陪伴大家一起，揭开相似三角形的神秘面纱，掌握其核心知识与应用技巧。一、学习目标*知识与技能：*理解相似三角形的定义，能准确找出相似三角形的对应边和对应角。*掌握相似三角形的判定定理（预备定理、SSS、SAS、AA），并能运用这些定理判断两个三角形是否相似。*理解并掌握相似三角形的性质（对应角相等，对应边成比例，对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）。*能运用相似三角形的知识解决简单的实际问题，如测量高度、距离等。*过程与方法：*通过观察、测量、比较、归纳等数学活动，体验相似三角形判定方法的探索过程。*在解决问题的过程中，学会分析图形，构造相似三角形，提升逻辑推理能力和空间想象能力。*情感态度与价值观：*通过相似三角形在生活中的应用，感受数学的实用性，激发学习数学的兴趣。*在合作与探究中，培养严谨的治学态度和团队协作精神。二、学前准备1.回顾：*什么是全等三角形？全等三角形有哪些性质？判定两个三角形全等有哪些方法？*什么是比例线段？比例的基本性质是什么？2.思考：*观察你身边的物体，如照片的放大与缩小，电影屏幕上的图像与胶片上的图像，它们的形状和大小有什么关系？*如果两个三角形形状相同，但大小不一定相同，这样的三角形有什么特点？三、学习过程（一）认识相似三角形自主学习：阅读教材相关内容，思考并回答下列问题：1.相似三角形的定义：对应角______，对应边______的两个三角形叫做相似三角形。*表示方法：相似用符号“______”表示，读作“______”。例如，△ABC与△DEF相似，记作____________。*注意：在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母应写在______的位置上。2.相似比（或相似系数）：相似三角形对应边的比叫做______。*若△ABC∽△DEF，且AB/DE=BC/EF=CA/FD=k，则k叫做△ABC与△DEF的______。*思考：如果△ABC与△DEF的相似比是k，那么△DEF与△ABC的相似比是______。*特别地，当相似比k=______时，两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，此时这两个三角形______。因此，全等三角形是相似三角形的______情况。即时练习：如图，△ABC∽△A'B'C'，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。AB=2cm，A'B'=4cm，BC=3cm，B'C'=6cm，AC=4cm，A'C'=8cm。则△ABC与△A'B'C'的相似比k=______。△A'B'C'与△ABC的相似比k'=______。（二）探索相似三角形的判定条件我们知道，根据定义判定两个三角形相似需要满足对应角相等且对应边成比例，条件较多。那么，是否存在更简便的判定方法呢？探究1：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似吗？*画图：在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB于D，交AC于E。*观察：△ADE与△ABC的三个角是否对应相等？*度量：分别度量AD,AB,AE,AC的长度，计算AD/AB与AE/AC的值，它们相等吗？*猜想：△ADE与△ABC是否相似？*总结（预备定理）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形______。（几何语言：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC）探究2：类比全等三角形的判定方法，我们能用较少的条件判定两个三角形相似吗？1.判定定理1（SSS）：如果两个三角形的三组对应边的比______，那么这两个三角形相似。即：若AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k，则△ABC∽△A'B'C'。2.判定定理2（SAS）：如果两个三角形的两组对应边的比______，并且相应的______相等，那么这两个三角形相似。即：若AB/A'B'=AC/A'C'=k，且∠A=∠A'，则△ABC∽△A'B'C'。3.判定定理3（AA）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角______，那么这两个三角形相似。即：若∠A=∠A'，∠B=∠B'，则△ABC∽△A'B'C'。*思考：为什么“AA”就能判定两个三角形相似？（提示：三角形内角和定理）合作交流与辨析：*对于“SSS”和“SAS”判定定理，一定要注意是“对应”边的比相等。*对于“SAS”判定定理，相等的角必须是两组对应边的______角。*有同学说：“如果两个三角形有两边成比例，且有一个角相等，那么这两个三角形相似。”你认为对吗？若不对，请举反例说明。即时练习：根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由。(1)AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm;A'B'=12cm,B'C'=18cm,A'C'=24cm.(2)∠A=40°,AB=8cm,AC=15cm;∠A'=40°,A'B'=16cm,A'C'=30cm.(3)∠A=50°,∠B=60°;∠A'=50°,∠C'=70°.（三）相似三角形的性质思考与猜想：如果两个三角形相似，除了定义中提到的对应角相等、对应边成比例外，它们还有哪些性质呢？（从三角形的重要线段、周长、面积等方面考虑）探究与归纳：已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k。1.对应角平分线的比：如图，AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线。求证：AD/A'D'=k。（提示：利用“两角对应相等，两三角形相似”证明△ABD∽△A'B'D'）2.对应中线的比：（请同学们自行画图，并仿照上述方法进行探究）结论：相似三角形对应中线的比等于______。3.对应高的比：（请同学们自行画图，并仿照上述方法进行探究）结论：相似三角形对应高的比等于______。4.周长的比：∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，∴AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k。∴AB=kA'B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'。∴C△ABC=AB+BC+CA=k(A'B'+B'C'+C'A')=kC△A'B'C'。∴C△ABC/C△A'B'C'=______。结论：相似三角形周长的比等于______。5.面积的比：（提示：三角形面积=1/2×底×高，结合对应高的比等于相似比）结论：相似三角形面积的比等于______。总结相似三角形的性质：相似三角形具有以下性质：(1)对应角______；(2)对应边______；(3)对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；(4)周长的比等于______；(5)面积的比等于______。即时练习：1.若△ABC∽△DEF，相似比为2:3，则它们对应中线的比为______，周长比为______，面积比为______。2.两个相似三角形的面积比为1:4，则它们的相似比为______，对应边上的高的比为______。3.△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应角平分线，已知AD=8cm，A'D'=3cm，则△ABC与△A'B'C'对应高的比为______。（四）相似三角形的应用相似三角形的知识在我们的生产和生活中有着广泛的应用，如测量无法直接到达的物体的高度或宽度等。解决这类问题的关键是构建相似三角形模型。典型例题分析：例1：测量物体的高度古代的数学家们就利用相似三角形的原理测量过埃及金字塔的高度。如图，为了测量校园内一棵大树的高度AB，在同一时刻，小明测得一根高为1m的标杆EF的影长FG为0.8m，同时测得这棵大树的影长BC为4.8m，求大树的高度AB。（假设标杆和大树都是垂直于地面的）分析：*同一时刻，太阳光线可以看作是平行的，即AE∥BF。*∴∠ACB=∠FGE（为什么？）*又∵∠ABC=∠FEG=90°，*∴△ABC∽△FEG（依据：______）。*∴AB/FE=BC/EG。*代入数据：AB/1=4.8/0.8，解得AB=______。*答：大树的高度AB为______m。方法提炼：利用“阳光下的影子”测量物体高度，其原理是利用了“同一时刻，物高与影长成比例”。思考与拓展：除了利用阳光下的影子，你还能想到哪些方法测量一个物体的高度？（如：利用标杆、利用镜子反射等）请选择一种方法，与同学交流你的设计方案。例2：测量距离如图，A、B两点被一个池塘隔开，无法直接测量其距离。小明想了一个办法：在地面上取一个可以直接到达A、B两点的点C，连接AC并延长到D，使CD=1/2AC；连接BC并延长到E，使CE=1/2BC。连接DE，测量出DE的长为50m，你能帮小明算出A、B两点之间的距离吗？分析与解答：（请同学们尝试独立完成，然后小组交流）（四）知识梳理与总结1.相似三角形的定义是判断两个三角形相似的根本依据，也是相似三角形性质的来源。2.判定两个三角形相似的方法有：*______（定义法）；*______（平行法）；*______（SSS）；*______（SAS）；*______（AA）。3.相似三角形的性质主要体现在：*对应角______；*对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、周长的比都等于______；*面积的比等于______。4.数学思想方法：*在探究相似三角形的判定和性质时，我们运用了______（如类比全等三角形）、______、______等数学思想。*在解决实际问题时，关键是将实际问题转化为______问题，通过构建______来解决。四、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？请与同学和老师交流。*我学会了……*我掌握了……*我还不太明白的是……*我觉得在……方面需要加强。五、课后作业基础巩固：1.教材练习题中相应题目。2.已知△ABC∽△DEF，若∠A=50°，∠B=60°，则∠F=______度。若AB=3，DE=6，BC=4，则EF=______。3.两个相似三角形的相似比为2:3，它们的面积之差为25cm²，则较大三角形的面积为______cm²。4.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，则EC=______。能力提升：5.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED=∠B。求证：AE·AC=AD·AB。6.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E。求证：△