河北省保定市唐县第一中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试卷（含解析）

河北省唐县第一中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．若，则（

）A．4 B．5 C．6 D．72．设随机变量X的分布列为，，则的值为（

）A． B． C． D．3．的展开式中项的系数为（

）A． B． C． D．4．某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（

）A． B． C． D．5．用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（

）A．384种 B．168种 C．108种 D．192种6．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（

）A．96种 B．132种 C．168种 D．204种7．一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（

）A．2 B．3 C． D．8．一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（

）A． B．展开式的二项式系数和为C．展开式的各项系数和为 D．10．已知随机变量的分布列如下，则（

）012A． B．C． D．11．甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序的概率分别为，当他负责工序时，该项目达标的概率分别为,则下列结论正确的是（

）A．该项目达标的概率为0.68B．若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54C．若该项目达标，则甲负责工序A的概率为D．若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为三、填空题12．已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为_______．13．我校举行英语演讲比赛，参加决赛的甲､乙､丙等七人分别上台演讲，其中甲､乙演讲的顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个演讲，则不同的安排方法共有__________.种14．盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为_____；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为_____.四、解答题15．已知的二项展开式有7项．(1)求，并求出所有二项式系数之和；(2)求展开式中含项的系数；(3)求展开式中的有理项．16．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：(1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？(2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？(3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？17．2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分．已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7．(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．18．某超市为了吸引顾客，在“五一”期间进行有奖促销活动，规定凡在该超市购物满300元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、白、黑）．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定：摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．(1)如果1名顾客第3次摸到黑球，求该顾客第1次摸到红球的概率；(2)记随机变量X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求X的分布列和数学期望．19．设，.（1）求的展开式中系数最大的项；（2）时，化简；（3）求证：.参考答案1．A【详解】由，可得：,且，解得：.故选：A2．A【详解】由题意，．故选：A．3．B【详解】因为，且的展开式为，令，解得，可得；令，解得，不合题意；所以项的系数为.故选：B.4．B【详解】设事件两人中至少有一人选择大理为，事件两人选择的景点不同为，则，，，故选：B.5．D【详解】先给2，5染色，有种方法，若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法．因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种．故选：D6．C【详解】依题意其余位主播有两种情况：①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点；所以不同游玩方法（种）.故选：C7．C【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4.且，，.因此X的分布列为：X234P则，故选：C.8．A【详解】令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，则．故选：A．9．AD【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确；对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确；对于D：令，得，令，得，所以，故D正确．10．AD【详解】对于A，由分布列的性质可知：，解得，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：AD.11．ACD【详解】记甲负责工序为事件，甲负责工序为事件，甲负责工序为事件，该项目达标为事件．对于选项A，该项目达标的概率为，故选项A正确；对于选项B，，故选项B错误；对于选项C，，所选项C正确；对于选项D，，所以选项D正确，故选：ACD.12．10【详解】由于二项式的系数和满足，解得；故的展开式，；当时，展开式的常数项为．故答案为：10．13．960【详解】将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个演讲，则丙的位置有4个，将剩余5个元素再排序有种方法，故不同的安排方法共有种.故答案为：960.14．//【详解】记事件“第次取到红球”，则，，所以，即第2次取到红球的概率为；，所以，即在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为.故答案为：；.15．(1)；64(2)1215(3)，，，【详解】（1）因为的二项展开式有7项，所以，所以所有二项式系数之和为；（2）由（1）知，所以的二项展开式的通项为，令，解得，所以展开式中含项的系数为；（3）因为的二项展开式的通项为，因为，且，所以能使为整数的，所以展开式中的有理项分别为，，，.16．(1)(2)(3)【详解】（1）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法．再将剩下4个节目全排列，有种排法．最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，有3种排法，故共有种排法；（2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法．再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法．则共有种排法．（3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中．若两个节目放入同一个空，有种排法，若两个节目不放入同一个空，有种排法，故共有种排法．17．(1)分布列见详解(2)先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由见详解.【详解】（1）由题意的所有可能取值为，，，所以，，，所以的分布列为

（2）甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由如下：由（1）可知，甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分，则的所有可能取值为，，，，，，所以的分布列为

，所以，所以甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题.18．(1)(2)答案见解析【详解】（1）设“第3次摸到黑球”为事件，“第1次摸到红球”为事件，可知，可知.（2）X的可能结果有0，10，20，30，40.当时，第一个就是黑球，当时，第一个是白球或者黄球，第二个是黑球，当时，前两个是白球和黄球，第三个是黑球，或