2025初等数论期末抱佛脚专用题库及高频考题答案

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一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若a,b,c是整数，且(a,b)=1，(a,c)=1，则（）A.(a,bc)=1B.(a,b+c)=1C.(a,bc)=aD.(a,b+c)=a答案：A解析：因为(a,b)=1，(a,c)=1，所以存在整数x,y,z,w使得ax+by=1，az+cw=1，将两式相乘得(ax+by)(az+cw)=1，展开可得a(axz+cxw+byz)+bc(yw)=1，所以(a,bc)=1。2.设p是素数，a是整数，则a^p≡a（modp），这个定理是（）A.威尔逊定理B.费马小定理C.欧拉定理D.孙子定理答案：B解析：费马小定理的内容就是若p是素数，a是整数，则a^p≡a（modp）。3.下列哪个数是素数（）A.111B.121C.131D.141答案：C解析：素数是只能被1和它本身整除的正整数。111=3×37，121=11×11，141=3×47，只有131只能被1和它本身整除。4.不定方程3x+5y=17的正整数解有（）A.0组B.1组C.2组D.3组答案：B解析：由3x+5y=17，得3x=17-5y，x=(17-5y)/3，当y=1时，x=4。5.同余方程x^2≡1（mod5）的解是（）A.x≡1（mod5）B.x≡4（mod5）C.x≡1或4（mod5）D.x≡2或3（mod5）答案：C解析：x^2≡1（mod5）即(x+1)(x-1)≡0（mod5），所以x≡1或4（mod5）。6.模8的完全剩余系是（）A.0,1,2,3,4,5,6,7B.1,2,3,4,5,6,7,8C.-4,-3,-2,-1,0,1,2,3D.0,2,4,6,8,10,12,14答案：A解析：模8的完全剩余系是0,1,2,3,4,5,6,7。7.若(a,b)=d，则(a/d,b/d)=（）A.aB.bC.1D.d答案：C解析：若(a,b)=d，则存在整数x,y使得ax+by=d，所以(a/d)x+(b/d)y=1，所以(a/d,b/d)=1。8.设n是正整数，φ(n)表示小于等于n且与n互素的正整数的个数，则φ(12)=（）A.4B.6C.8D.10答案：A解析：小于等于12且与12互素的正整数有1,5,7,11，共4个，所以φ(12)=4。9.同余方程组x≡1（mod3），x≡2（mod5）的解是（）A.x≡7（mod15）B.x≡8（mod15）C.x≡11（mod15）D.x≡13（mod15）答案：A解析：根据孙子定理求解。10.若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac≡bd（modm），这个性质是同余关系的（）A.反身性B.对称性C.传递性D.同余可乘性答案：D解析：这是同余可乘性的定义。二、填空题（每题2分，共20分）1.最小的素数是____。答案：22.15与20的最大公因数是____。答案：53.不定方程2x+3y=1的通解是____。答案：x=2+3t，y=-1-2t（t为整数）4.同余方程3x≡2（mod7）的解是____。答案：x≡6（mod7）5.模10的简化剩余系是____。答案：1,3,7,96.若p是素数，a是整数，且p|a，则a≡____（modp）。答案：07.欧拉函数φ(15)=____。答案：88.同余方程组x≡3（mod4），x≡5（mod6）的解是____。答案：x≡11（mod12）9.设a,b是整数，若(a,b)=1，则存在整数x,y使得ax+by=____。答案：110.若a≡b（modm），c≡d（modm），则a+c≡____（modm）。答案：b+d三、判断题（每题2分，共20分）1.所有的偶数都是合数。（）答案：×解析：2是偶数但不是合数。2.若(a,b)=1，(a,c)=1，则(a,bc)=1。（）答案：√解析：这是已证的结论。3.不定方程3x+5y=11一定有整数解。（）答案：√解析：通过辗转相除法等方法可判断有整数解。4.同余方程x^2≡4（mod9）有4个解。（）答案：×解析：同余方程x^2≡4（mod9）即(x+2)(x-2)≡0（mod9），有3个解x≡2，5，8（mod9）。5.模5的完全剩余系中一定有素数。（）答案：√解析：模5的完全剩余系0,1,2,3,4中有素数2,3。6.若p是素数，a是整数，且p不整除a，则a^(p-1)≡1（modp）。（）答案：√解析：这是费马小定理的另一种表述。7.欧拉函数φ(6)=3。（）答案：√解析：小于等于6且与6互素的正整数有1,5，共3个，所以φ(6)=3。8.同余方程组x≡1（mod2），x≡2（mod3）一定有解。（）答案：√解析：根据孙子定理可判断有解。9.若a≡b（modm），则a^n≡b^n（modm）。（）答案：√解析：这是同余的性质。10.两个奇数的和一定是偶数。（）答案：√解析：奇数加奇数为偶数。四、简答题（每题5分，共20分）1.简述辗转相除法求最大公因数的步骤。答案：辗转相除法求最大公因数的步骤如下：用较大数除以较小数，得到商和余数，再用上一步的除数除以余数，又得到新的商和余数，如此继续，直到余数为0，此时的除数就是原来两个数的最大公因数。2.解释一下什么是同余方程。答案：同余方程是指含有未知数的同余式。即形如ax≡b（modm）（a,b,m为整数，且m>0）的方程，其中a称为系数，b称为常数项，m称为模。3.说明一下完全剩余系和简化剩余系的区别。答案：完全剩余系是指从模m的每一个剩余类中各取一个数组成的集合，它包含了模m的所有可能的剩余。而简化剩余系是指完全剩余系中与模m互素的数所组成的集合。4.简述费马小定理的内容。答案：费马小定理的内容是：若p是素数，a是整数，则a^p≡a（modp）。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论不定方程ax+by=c（a,b,c为整数，且a,b不全为0）有整数解的条件。答案：不定方程ax+by=c有整数解的条件是(a,b)|c。当(a,b)|c时，通过辗转相除法等方法可以求出其通解。2.讨论同余方程x^2≡a（modm）有解的条件。答案：同余方程x^2≡a（modm）有解的条件是勒让德符号(a/m)=1。3.讨论如何利