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文档简介

第九章第二节一阶微分方程设函数是微分方程满足初始条件的特解.设平面区域,求绕轴旋转一周所得旋转体体积.解考虑微分方程的通解,由初始条件知,因此满足初始条件的特解为.因此平面区域,所以.设为正整数,是微分方程,满足条件的解.(1)求;(2)求级数的收敛域及和函数.解(1)由题,因此,考虑初值得,所以;(2)由于,所以,考虑时,级数均收敛.因此幂级数收敛域为.,考虑,,两边同时积分得,即,所以设数列满足,,.证明当时,幂级数的收敛,并求幂级数的和函数.解由题,,则.因此当时,幂级数的收敛.令,因此,由此得,,解微分方程得通解,考虑初始条件得,所以.已知连续可导函数满足,求.解由于,因此.两边求导得,即,且.两边再次求导得,,由初值得,则.第三节可降阶的二阶微分方程设非负函数满足微分方程.若曲线过原点,且其与直线,所围平面区域的面积为,求绕轴旋转一周所得的旋转体体积.解设,则,由此方程转化为,其通解为,即得,因此方程的通解为.考虑曲线过原点知,考虑平面区域D的面积为,知,则曲线方程为.因此,由此D绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为.或使用柱壳法得.求方程满足初始条件的特解.解设,则,代入方程得,即,解方程得,考虑初始条件得,即,所以,考虑初始条件得,所以满足初始条件的解.第四节二阶常系数线性微分方程求微分方程的通解.解由题.方程对应的齐次方程为,特征方程为,特征根,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,代入方程比较系数,得,,,因此特解为.所求通解为.设函数具有连续的二阶导数,满足,若,,求的表达式.解由题,,,,因此,从而建立满足的微分方程,,.其对应的齐次方程的特征方程为,特征根为,对应的齐次方程的通解为.设非齐次方程的特解为,代入方程得,

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