计算金融与 Python 实践02 投资组合理论及其发展

投资组合理论及其发展02【学习目标】

投资组合理论学习掌握投资组合理论基本假设与优化过程，熟悉其收益和风险的计算方法。

资本资产定价学习了解资本资产定价模型的基本假设和内容，掌握证券市场线的含义及其运用。投资学核心目标在特定约束条件下，实现投资收益与投资风险的最优匹配，需准确计量描述收益、风险等要素。组合理论核心贡献通过数学描述实现目标的过程，为投资学注入理性思维，推动其沿科学路径持续发展奠定重要基础。投资组合理论投资组合理论：投资组合理论的基本假设理论假设前提

01市场与投资可分假设证券市场是有效的，证券风险、收益变动及相关信息对投资者可知；证券投资无限可分，风险证券可任意数量加入或退出组合。

02投资者行为目标假设投资者将特定投资视为持有期内期望收益概率分布，以实现持有期效用最大化为目标，效用受收益、风险及自身风险态度影响。

03收益与风险衡量假设投资者以证券期望收益率衡量投资收益，以收益率的方差或标准差来衡量投资所伴随的风险。

04投资者风险收益偏好相同风险下收益越高投资者效用越高；投资者为风险规避者，相同收益下偏好低风险，承受高风险需更高期望收益率。投资组合理论：投资组合理论的基本假设

最优组合定义在既定假设下，在同风险下收益更高、或同收益下风险更低的投资及组合。投资组合理论：投资组合的收益与风险组合量化基础组合量化基础：投资组合构建需量化收益与风险，既要考虑单个投资，也要考虑投资组合层面。组合期望收益率计算投资组合期望收益率是各投资期望收益率的加权平均，权重为各投资占总投资比例，可凭历史收益率近似估计单投资期望收益率。投资组合理论：投资组合的收益与风险组合方差及协方差

投资组合方差定义投资组合的方差并非组合中各投资方差的简单加权平均，是投资组合收益率与其期望收益率差平方的期望。

协方差相关说明协方差指两个随机变量的相互依赖关系，有两种计算表达式，还可通过其判断变量的相关关系类型。

两类组合方差计算n个投资构成的组合有一般方差计算公式，两个投资的组合方差可结合相关系数、协方差等来计算。投资标的基础数据两种风险投资的期望收益率分别为8%、15%，标准差分别为10%、20%，二者相关系数为0.3。投资协方差计算依据相关系数、两种投资的标准差，计算得出二者的协方差为0.3×0.1×0.2=0.006。投资组合理论：最优投资组合的构建投资组合理论：最优投资组合的构建风险投资组合的构建

投资权重分配规则两种投资权重之和为1，允许买空卖空时权重可小于0或大于1，卖空某一投资所得资金可投入另一投资。

收益与风险计算逻辑组合期望收益率依权重与单投资收益率计算，随高收益投资权重下降单调降低；风险为收益率标准差，随该权重下降先降后升。

投资可行集与有效前沿两投资的所有组合构成投资可行集，以风险最小组合为分割点，其右上方的组合为有效前沿，同风险下收益率更高。

最小风险组合求解通过约束w1+w2=1的最优化问题，可求得w1=0.89时组合风险最小，收益率标准差为9.79%。投资组合理论：最优投资组合的构建无风险投资的加入

无风险投资基础设定在风险投资组合中加入无风险投资，以短期国库券为代表，年收益率5%、标准差0，在资产空间中位于纵轴(0,5%)。

资本配置线核心定义连接无风险投资与风险投资（组合）的直线为资本配置线，是两类投资组成的所有投资组合的可行集，线上点代表资金分配构成的资产组合。

A组合资本配置线解析无风险投资与风险最小组合A构成资本配置线A，A点坐标为(9.79%,8.74%)，其斜率为单位风险溢价，即夏普比率。

B组合资本配置线对比风险组合B由70%投资1和30%投资2构成，期望收益率10.10%、标准差10.50%，其资本配置线B斜率（夏普比率）更高，效用优于组合A。投资组合理论：最优投资组合的构建最优风险投资组合

最优组合筛选逻辑不同风险投资组合对应不同资本配置线，斜率最大的资本配置线效用最高，夏普比率最大的组合即为最优风险投资组合。最优组合求解结果在无风险收益率5%的条件下，当w1=0.42时组合夏普比率达0.5241，为最优组合M，其期望收益率12.04%，标准差13.44%，对应最优资本配置线CALM。投资组合理论：最优投资组合的构建最优完全投资组合的建立

最优组合选择逻辑投资者最优选择是最优资本配置线上效用最大的投资组合，需结合投资者效用函数来确定，效用取决于期望收益率和风险。效用函数与风险类型效用函数为U=E(r)+Aσ²，A为风险厌恶系数，A>0是风险偏好型，A=0是风险中性型，A<0是风险规避型。效用最大化求解示例当A=-5时，将61%资金配置到无风险投资，39%配置到风险投资组合，其中42%投投资1，58%投投资2，效用达0.0637。组合优化完整步骤先确定证券收益率特征与无风险收益率，再算出最优风险投资组合得到最优资本配置线，结合效用函数确定最终投资比例，该步骤可推广到多风险投资。投资组合理论局限为投资决策提供严谨数学支持，但投资组合选择优化需大量数据与复杂计算，未解决资产合理价格确定问题。资本资产定价模型背景正是基于投资组合理论存在的上述局限，资本资产定价模型被相应提出。投资组合理论：资本资产定价模型投资组合理论：资本资产定价模型资本资产定价模型的基本假设

模型基础与核心前提资本资产定价模型以投资组合理论为基础，要求所有投资者均寻求有效前沿上的投资组合，且对证券风险收益分布预期一致。

投资交易相关假设投资者可无限制以无风险利率借贷款，投资期限相同，证券无限可分，买卖无税负及交易成本。

市场环境相关假设市场信息充分且无获取成本，无通胀或通胀可完全预测且利率不变，市场均衡或能快速回归均衡。投资组合理论：资本资产定价模型资本资产定价模型的基本内容

资本市场线核心内容又称最优资本配置线，通过无风险投资点与最优风险投资组合点，以夏普比率为斜率，截距为无风险收益率，单位风险溢价相等。风险分类与定价逻辑资本资产定价模型将风险分为系统与非系统风险，非系统风险可通过分散投资消除，只有