核心素养导向下初中数学九年级二次函数实际问题专题复习教学设计

核心素养导向下初中数学九年级二次函数实际问题专题复习教学设计

一、教学背景与设计理念

（一）教学内容分析

本节课是山东省中考数学一轮复习中“函数”板块的关键节点，其内容为“二次函数的实际应用”。在初中数学知识体系中，二次函数是刻画现实世界变量关系的重要模型，其应用问题综合性强，覆盖面广，既是学生从代数运算走向数学建模的桥梁，也是连接初等数学与高等数学的重要纽带。本节复习课不仅涵盖了对二次函数图像性质、解析式确定、最值求解等核心知识的回顾与巩固【重要】，更侧重于引导学生运用这些知识去分析和解决生产生活中的实际问题，如利润最大化、面积最优化、抛物线形轨迹与拱桥问题等。这部分内容是中考数学试卷中区分度较高的题目来源，常以中档题或压轴题的形式出现【高频考点】，集中考查学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算以及直观想象等核心素养。

（二）学情分析

授课对象为九年级学生，他们已完成二次函数新授课的学习，对函数的基本概念、图像和性质有了初步认识，具备了一定的代数运算能力和简单的几何直观。然而，在面对实际应用题时，学生普遍存在以下困难：一是建模能力薄弱，难以从复杂的情境中准确剥离出数学问题，找到变量之间的二次函数关系；二是转化意识不强，不善于将实际问题中的“最值”、“范围”等语言转化为数学上的“顶点”、“不等式”等概念；三是综合应用能力欠缺，特别是涉及图像信息、几何图形、动态变化等复杂情境时，解题思路容易受阻【难点】。因此，一轮复习的目标不仅仅是知识的简单重复，更应着眼于帮助学生构建知识网络，提升分析问题和解决问题的综合能力。

（三）设计理念

本节课遵循“以学生发展为本”的课程改革理念，以发展学生数学核心素养为导向，采用“问题驱动—自主探究—合作交流—归纳提升”的教学模式。通过创设贴近生活实际的问题情境，引导学生经历“从实际问题中抽象出数学模型—求解数学模型—解释与应用数学结论”的全过程，强化建模意识。教学过程中，注重一题多变、一题多解，渗透数形结合、转化化归、函数与方程等重要的数学思想方法【非常重要】。同时，借助多媒体辅助教学，动态展示函数图像与实际情境的关联，突破教学难点，提升课堂效率。

二、教学目标

（一）知识与技能

1.能根据实际问题的情境，通过分析变量之间的关系，建立二次函数模型。【基础】

2.掌握利用二次函数的顶点坐标、配方法或公式法求实际问题最值（最大值或最小值）的一般方法。【重要】

3.能结合具体问题的实际意义，检验所得结果的合理性，并给出符合问题情境的答案。

（二）过程与方法

4.经历“问题情境—建立模型—求解验证—解释应用”的数学建模过程，体会函数思想在解决实际问题中的作用。

5.通过分析图形中的数量关系、图像中的信息等，学会用数形结合的方法分析问题和解决问题。

6.通过合作交流和变式训练，提升思维的灵活性和深刻性，掌握解决二次函数实际问题的基本策略。

（三）情感、态度与价值观

7.感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识，激发学习数学的兴趣。

8.在解决问题的过程中，培养严谨求实的科学态度和克服困难的意志品质。

9.通过小组合作，培养团队协作精神和交流表达能力。

三、教学重难点

（一）教学重点

根据实际问题中的数量关系，正确建立二次函数模型，并求出实际问题中的最值。

（二）教学难点

1.从复杂的问题情境中抽象出数学模型，特别是自变量取值范围（定义域）的确定。【难点】

2.综合运用函数、方程、几何等知识解决跨章节、跨领域的综合型问题。【热点】

四、教学方法与准备

（一）教学方法

采用探究式教学法、问题串教学法与合作学习法相结合。以问题为主线，引导学生独立思考、小组讨论、全班交流。教师作为组织者、引导者和合作者，适时点拨，归纳提升。

（二）教学准备

1.教师：制作多媒体课件（PPT），包含典型例题、动态演示、变式训练及拓展题。准备导学案，预留学生思考和书写的空间。

2.学生：完成导学案中的前置复习任务，回顾二次函数的顶点公式、配方法及各类实际问题的基本模型。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）创设情境，唤醒记忆（约5分钟）

【教师活动】

通过多媒体展示两幅生活中常见的图片：一幅是某公园的抛物线形拱桥，桥下有小船通过；另一幅是某商场打折促销的广告屏，显示销售量与降价的关系。提出问题：

1.大家观察这两幅图，它们分别可能蕴含着我们学过的什么数学知识？

2.你能回忆起我们学过哪些类型的二次函数实际应用问题吗？

【学生活动】

观察图片，积极思考，并尝试回答。可能答出拱桥形状像抛物线，涉及抛物线型问题；降价促销可能涉及利润问题。进而回忆出利润最值、面积最值、抛物线形轨迹、拱桥问题等主要类型。

【设计意图】

通过直观的图片和开放性的问题，迅速将学生的注意力吸引到课堂，激活他们对二次函数实际应用问题的已有认知，为后续的分类复习做好铺垫。此环节旨在唤醒学生的“数学直觉”，定位为本节课的“起点”。

（二）典例精析，构建模型（约20分钟）

本环节选取三类核心【非常重要】【高频考点】的二次函数应用题进行深入剖析，重在引导学生经历完整的建模过程。

1.类型一：利润最值问题【高频考点】

【例题呈现】

某电商平台销售一款进价为每件40元的商品。试销阶段发现，当售价定为50元时，每月可卖出500件；若每涨价1元，月销售量将减少10件。设售价为x元（x≥50），月利润为y元。

（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。

（2）当售价定为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？

【师生互动】

（1）建模分析：教师引导学生一步步分析。提问：总利润等于什么？（单件利润×销售量）单件利润怎么表示？（x-40）销售量呢？（原销售量500件，因涨价减少的部分：每涨价1元少卖10件，涨价了(x-50)元，所以减少10(x-50)件）。从而得到y=(x-40)[500-10(x-50)]。

（2）函数整理与自变量范围：请一名学生在黑板上板演整理过程，化简为一般式y=-10x²+1400x-40000。教师强调配方法和公式法的准确性。同时引导全班讨论：x的取值范围。根据实际意义，x≥50，同时销售量不能为负，即500-10(x-50)≥0，解得x≤100。故自变量x的取值范围是50≤x≤100。【难点突破】

（3）求最值：引导学生利用顶点坐标公式或配方法求出顶点横坐标x=-b/(2a)=70，正好在自变量的取值范围内。代入函数解析式求得最大利润y_max=9000元。最后要求学生规范写出答案。

（4）变式追问：如果题目改为“每降价1元，月销售量可增加10件”，该如何列式？自变量范围又有什么变化？通过对比，强化建模的灵活性。

2.类型二：几何图形面积最值问题【重要】

【例题呈现】

用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙长25米），设垂直于墙的一边长度为x米，菜园的面积为S平方米。

（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围。

（2）当x取何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

【师生互动】

（1）图形分析：教师利用几何画板动态演示，帮助学生理解图形结构。明确靠墙的一边不用篱笆。因此，垂直于墙的边有两条，长度为x米，则平行于墙的一边长度为(60-2x)米。

（2）建立模型：根据矩形面积公式，得到S=x(60-2x)=-2x²+60x。

（3）自变量范围确定：这是本节课的关键【难点】。引导学生从两个方面考虑：一是篱笆长度限制，边长必须为正，故x>0，且60-2x>0，解得0<x<30；二是墙长限制，平行于墙的一边不能超过墙长，即60-2x≤25，解得x≥17.5。综合考虑，x的取值范围是17.5≤x<30。

（4）最值求解：让学生先独立求解，然后小组交流。部分学生可能直接套用顶点坐标公式x=-b/(2a)=15，发现15不在[17.5,30)范围内。这时引导学生思考：二次函数的最值问题必须结合自变量的取值范围来讨论【非常重要】。画出函数图像（对称轴x=15，开口向下），在区间[17.5,30)内，函数S随x的增大而减小，因此当x取最小值即x=17.5时，面积S取得最大值。代入计算得S_max=17.5×(60-35)=437.5平方米。

【设计意图】

通过两个核心类型的例题，完整展示“审题建模—确定定义域—求解验证”的全过程。特别是通过“墙长限制”这一典型情境，让学生深刻理解实际问题中自变量取值范围对最值结果的决定性影响，避免机械套用公式，提升思维的严谨性。

（三）综合应用，提升能力（约15分钟）

本环节选取一道融合了图像信息与方程思想的综合题，旨在锻炼学生从多元信息中提取数学模型的能力，体现【热点】与【难点】。

1.类型三：抛物线形建筑与运动问题【热点】【难点】

【例题呈现】

如图（多媒体展示），是一座抛物线形拱桥的示意图。当水面在正常水位l时，拱桥最高点距离水面2米，水面宽度为4米。现有一艘装有防汛物资的船，露出水面的部分为矩形，且高为0.75米，宽为2米。

（1）以拱桥顶点为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系，求出该抛物线对应的函数解析式。

（2）当水位上涨1米时，这艘船能否从桥下安全通过？请说明理由。（假设船体始终保持水平）

【师生互动】

（1）坐标系建立与求解析式：先让学生分组讨论如何建立坐标系最简便。学生可能提出以顶点为原点、以水面为x轴等多种方案。教师引导比较，发现以顶点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，所得解析式形式最简单，为y=ax²。根据条件，正常水位时，水面宽度4米，即水面上的点坐标为(2,-2)和(-2,-2)（注意纵坐标为负），代入求得a=-0.5。从而得到抛物线解析式为y=-0.5x²。【基础】

（2）问题转化：水位上涨1米，意味着水面向上升1米。此时水面的纵坐标变为-1。将y=-1代入解析式，得-1=-0.5x²，解得x=±√2。因此，此时水面的宽度为2√2≈2.828米。

（3）建模分析安全问题：船能否通过，取决于船的宽度和水面宽度、船的高度和拱桥在相应位置的高度。关键是要确定当船从桥的正中间通过时，船顶部两侧是否会被桥拦住。船的宽度为2米，若从中间通过，其左右边缘的横坐标为±1。将x=1代入抛物线解析式，得y=-0.5。即此时桥在船边缘对应位置的水面以下的高度为0.5米？这里需要引导学生正确理解坐标的实际意义。在设定的坐标系中，水面在y=-1处，桥上的点纵坐标为y=-0.5x²。那么，在x=±1处，桥面与水面的垂直距离是多少？应该是桥上的纵坐标与水面纵坐标的差值，即(-0.5)-(-1)=0.5米。这0.5米是桥面（下缘）到水面的净空高度。而船露出水面的部分高为0.75米，这0.75米是船在水面以上的高度。显然，0.5<0.75，所以船无法安全通过。

（4）规范解答与反思：请一位学生完整写出解答过程。最后反思本题的关键在于将实际问题“安全通过”转化为比较“桥下净空高度”与“船身水上高度”的大小关系，并进一步转化为计算给定横坐标处的纵坐标差值。

【设计意图】

这道题综合了待定系数法、数形结合思想、转化思想，对学生的能力要求较高。通过引导，帮助学生打通“形”与“数”的联系，将复杂的几何情境转化为精确的代数计算，有效突破了【难点】。同时，也让学生体会到同一坐标系下不同点的纵坐标的几何意义。

（四）变式拓展，归纳总结（约5分钟）

1.变式训练

将利润问题中的“涨价”改为“降价”，自变量范围如何变化？

将面积问题中的“墙长25米”改为“墙长50米”，最值情况又是如何？

将拱桥问题中的“船通过”改为“桥洞内水面宽度与拱高的关系”问题。

【设计意图】

通过一题多变，引导学生透过现象看本质，巩固建模方法和分类讨论思想，实现触类旁通。

2.课堂小结

教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。

（1）知识层面：回顾了二次函数实际应用的三大类型：利润问题、面积问题、抛物线形问题。

（2）方法层面：提炼出解决二次函数实际问题的“四步法”：

审：审清题意，分清变量，明确常量与关系。【基础】

建：建立二次函数模型，确定自变量取值范围（定义域）。【核心】

求：在定义域内，利用配方法或公式法求函数的最值。【重要】

答：检验结果的合理性，并写出符合题意的答案。

（3）思想层面：归纳了本节课渗透的数学思想：数形结合思想（图像与性质、几何图形）、转化思想（实际问题转化为数学问题）、模型思想（构建函数模型）、分类讨论思想（最值点与定义域的关系）。【非常重要】

（五）分层作业，巩固提升（课后）

1.基础巩固（必做）：完成导学案中与课堂例题类似的利润、面积基础练习题。旨在巩固基本建模和求解过程。

2.能力提升（选做）：搜集并解决一道与本地生产、生活实际相关的二次函数应用题（如喷泉的水柱形状、隧道设计、商品促销等），并尝试分析其建模过程。

3.拓展探究（研究性学习）：利