第二章 一元二次方程（复习课件）数学北师大版九年级上册

单元复习课件

第二章

一元二次方程

北师大版·九年级上册学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲5题型剖析/针对训练46课堂总结难点突破1.了解一元二次方程的定义、一般形式、解(根)的意义，体会一元二次方程概念、解法、应用之间的整体联系。2.能用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。3.理解一元二次方程“一定有两个解，但不一定有两个实数解”，利用其解法解决实际问题，掌握列方程解应用题的步骤，解决常见应用问题。1.灵活运用合适的方法解一元二次方程。

2.从实际场景中抽象等量关系，且解需符合实际。1.能够运用根的判别式，判断一元二次方程根的情况。

2.了解一元二次方程根与系数的关系。画框内容为易错点

考点一一元二次方程的基础整式

未知数（一元）2二

二次项系数一次项一次项系数常数相等题型一一元二次方程的基础类型一一元二次方程的识别

解题方法：首先将方程化为一般形式，然后同时满足：①整式方程.②只含有一个未知数.③未知数的最高次数是2.

【详解】符合条件的方程有⑤和⑥，共2个．故选C．【详解】一元二次方程有②⑥，共2个．故选：A．题型一一元二次方程的基础类型二一元二次方程的一般式

【解题方法】二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况：①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变；②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数.

【易错点】忽视一元二次方程二次项系数不能为0的隐含条件

题型一一元二次方程的基础类型三根据一元二次方程的定义求参数

题型一一元二次方程的基础类型四一元二次方程的根及其应用

解题方法：1）判断已知值是否为方程的根:分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等.相等则是，否则不是.2）已知方程的根求字母的值:根据方程根的定义，将方程的根代入原方程求解，从而确定某些字母的取值或求出给定代数式的值.

考点二解一元二次方程解一元二次方程的基本思路：通过“__________”，将一元二次方程转化为_________一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.1.

直接开平方法定义：先把方程化为

的形式，那么可得.像这样利用_________的定义通过_____________求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.降次两个平方根直接开平方常见类型结论配方的实质：对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的形式，从而把一元二次方程转化成两个一元一次方程求解.即将方程化为

的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解.考点二解一元二次方程2.配方法的定义：通过配成________形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.用配方法解方程是以_______为手段，以______________为基础的一种解一元二次方程的方法.完全平方配方直接开平方法用配方法解一元二次方程的一般步骤：1）移项：将常数项移到等号_______，含未知数的项移到等号______；2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以____________；3）配方：方程两边都加上一次项系数___________，把方程化为

的形式；【易错点】在配方过程中忽视等式的性质而导致错误.4）求解：利用直接开平方法求方程的解.右边左边二次项系数一半的平方考点二解一元二次方程

【易错点】1）求根公式使用的前提条件是a≠0且2）代入求根公式时，忽略系数前面的符号4.因式分解法的定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式_________等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.乘积题型二解一元二次方程类型一解一元二次方程

AD注意符号A

注意三角形的三边关系

【解读】本题考查一元二次方程的解，根据两个方程解完全相同，确定根的和与积相等，进而求解参数．

【学会总结】选择一元二次方程解法的技巧1)选择顺序:直接开方法→_________________→公式法→配方法2)若方程为

型时，用_________________3)若方程右边为0，而左边易于分解成两个一次因式的积时，可用_________________4)若方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用_________________5)若用直接开平方法和因式分解法不能求解时，可用_________________题型二解一元二次方程类型二选用合适的方法解一元二次方程

因式分解法

直接开平方法

因式分解法配方法公式法题型二解一元二次方程类型二选用合适的方法解一元二次方程

题型二解一元二次方程类型二配方法的应用-比较大小

解题方法：比较两个多项式的大小时，一般运用_________法，再利用________法确定差的正负.例如，比较两个多项式A，B的大小可以运用作差法.若A-B＞0，则A____B；若A-B＜0，则A____B；若A-B=0，则A____B.作差配方＞=＜

题型二解一元二次方程类型二配方法的应用-求最值

解题方法：若a＞0，则该多项式有最小值；若a＜0，则该多项式有最大值.

【注意】1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程；2）当

时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根.

一元二次方程根的判别式的定义：一般地，式子_____________叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即___________________.考点三根的判别式不相等相等没有题型三根的判别式类型一不解方程，由根的判别式的正负性可直接判定根的情况

解题方法：一元二次方程根的情况由确定.易错点：取各项系数时未注意前面的符号.

有两个不相等的实数根题型三根的判别式类型二根据方程根的情况，确定方程中字母的系数的取值范围

【易错点】忽视根的判别式的使用前提.

题型三根的判别式类型三应用判别式证明方程根的情况

【考情分析】根的判别式与几何的综合问题在中考及各类数学考试中较为常见，通常将一元二次方程根的判别式与几何图形的性质相结合，旨在考查学生综合运用代数与几何知识解决问题的能力。以下是具体的考情分析：

与三角形结合：常以等腰三角形、直角三角形为背景。如已知等腰三角形的一边长，另外两边长是某一元二次方程的两个根，利用根的判别式求出方程中参数的取值，再根据三角形三边关系确定三角形的边长，进而求出周长；或已知直角三角形的斜边，两条直角边是方程的两根，通过根的判别式及勾股定理求解相关问题。与四边形结合：常见的是平行四边形，如已知平行四边形的两边长是关于某一元二次方程的两根，根据平行四边形边的性质，结合根的判别式求方程中参数的值或取值范围，有时也会涉及到四边形的周长、面积等相关计算。

【补充说明】1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”；2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：.3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.

考点四根与系数的关系

题型四根与系数的关系类型一不解方程，已知方程一个根，求另一个根

题型四根与系数的关系类型二利用根与系数的关系求解

题型四根与系数的关系类型三已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围

【解题方法】1）一元二次方程有两个正实数根；两根之和大于0，两根之积大于0.2）一元二次方程有两个负实数根：两根之和小于0，两根之积大于0.

考点五实际问题与一元二次方程用一元二次方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系；设：用代数式表示实际问题中的基础数据；列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程；解：求解方程；验：考虑求出的解是否具有实际意义；答：实际问题的答案.题型五实际问题与一元二次方程类型一传播问题

解题策略：传染源+第一轮被传染数+第二轮被传染数=第二轮被传染的总数.

类型二循环问题题型五实际问题与一元二次方程例2．作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？

解题方法：1）若甲乙两个个体，要考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲应算作两次碰面.2）若甲乙两个个体，不考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲是一样的，算作一次碰面.常见类型：双循环/单循环比赛，互送贺卡，握手等.类型三变化率问题题型五实际问题与一元二次方程

解题方法：1）商品现在售价为m元，销量为p，售价每增加n元，销量减少q，则售价增加t元后的销量为:，售价为:.2）商品现在售价为m元，销量为p，售价每减少n元，销量增加q，则售价减少t元后的销量为:，售价为:.类型四销售利润问题题型五实际问题与一元二次方程

类型四销售利润问题题型五实际问题与一元二次方程例4．“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）．(3)水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由．

类型五几何问题题型五实际问题与一元二次方程

解题方法：几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可，不规则图形一般通过分割或组合成规则图形，再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程.类型六动态几何问题题型五实际问题与一元二次方程

1．某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为

．6

10%

5．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是

元．

6．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长

米．

题型一整体换元法

题型一整体换元法

题型二新定义问题