湖南省怀化市2026年七年级下学期月考考试数学试题附答案

七年级下学期月考考试数学试题一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．下列是一元一次不等式的是（）A． B． C． D．2．下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（）A． B．C． D．3．已知实数（两个1之间依次多一个0），，则无理数的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知那么的大小关系是（）A． B． C． D．6．若不等式无解，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．计算的结果是（）A． B． C． D．8．如图，，在上，过作，平分∠FEC，平分．若，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（）个A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④9．如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（）A． B． C． D．10．式子此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即），一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为则同理由此可以得到下列式子：根据以上的信息及运关系，若则（）A． B． C．7 D．二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）11．若是完全平方式，则的值等于．12．的立方根是；的平方根是．13．将一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为．14．已知，，则．15．已知关于x的不等式x﹣a﹥0的最小整数解为2a－6，则a＝．16．已知的整数部分，的小数部分，则的值为．17．如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为．18．阅读理解：给定次序的n个数a1，a2，…，an，记Sk=a1+a2+…ak，为前k个数的和（1≤k≤n），定义A=（S1+S2+…+Sn）÷n称它们的“凯森和”，如a1=2，a2=3，a3=3，则S1=2，S2=5，S3=8，凯森和A=（2+5+8）÷3=5，若有99个数a1，a2，…，a99的“凯森和”为100，则添上21后的100个数21，a1，a2，…，a99的凯森和为．三、解答题（共8小题，共66分）19．计算（1）（2）20．实数计算和解不等式组（1）（2）21．如图，，，平分，．（1）吗？请说明理由；（2）若，求的度数．22．已知关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值．23．在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的GPU卡∶甲型(高性能)和乙型(节能型)．已知购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元．（1）甲型、乙型GPU单价各是多少万元？（2）若预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，有几种采购方案？（3）若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？24．如图1是长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2)（1）自主探究：请你写出之间的等量关系是___；（2）知识迁移：设求的值；（3）知识延伸：若求的值．25．我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“理想数”，例如，10是“理想数”，理由：因为所以10是“理想数”．（1）解决问题：已知53是“理想数”，请将它写成（，是整数）的形式；（2）探究问题：已知，则______（3）融会贯通：已知（是整数，是常数）要使S为“理想数”，试求出符合条件的值，并说明理由；（4）举一反三：已知实数，满足，求最值．26．已知AD和BE相交于点C，，．（1）如图（1），求证：；（2）如图（2），点P是线段BC上一点，连结AP．①求证：；②若，请直接写出的度数；（3）如图（3），若点M是射线BA上一点，作直线AD于点H，与的角平分线相交于点N，请直接写出的度数．

答案1．【答案】D【解析】【解答】解：、为整式，不是一元一次不等式，A错误；、中未知数的次数是，是一元二次不等式，B错误；、中含有个未知数，是二元一次不等式，C错误；、中含有个未知数，未知数的次数是，是一元一次不等式，D正确；故答案为：．

【分析】根据一元一次不等式的定义：含有个未知数，未知数的次数是，逐一判断即可．2．【答案】A【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式计算，A符合题意；B、，可以用平方差公式计算，B不符合题意；C、，可以用平方差公式计算，C不符合题意；D、，可以用平方差公式计算，D不符合题意；故答案为：A．

【分析】根据平方差公式的结构，一组互为相反数，一组相等数，逐一判断求解即可．3．【答案】C【解析】【解答】解：，∴，，，（两个1之间依次多一个0）是无理数，共4个，故答案为：C．

【分析】根据无理数的概念逐一判断即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：，，，，，，，故答案为：B．

【分析】先根据绝对值和平方的非负性得到二元一次方程组求出a，b，再根据三角形的三边关系求解即可．5．【答案】B【解析】【解答】解：∵∴，，，∵，，∴，∴，∴，∴．故答案为：B．

【分析】先求出a，b，c的倒数，再比较大小即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，无解，，故答案为：D．

【分析】根据绝对值的几何意义：数轴上对应点到和对应点的距离之和，求出绝对值和的最小值即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：原式；故答案为：B．

【分析】先根据平方差公式进行展开，再化简求值即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：①∵平分，设，，，，，，∴，，，，即，，，①正确；②∵平分，∴，②正确；③∵，∴，即③正确；④，，∴，即，∴，∴，④正确；综上所述：正确的结论是①②③④．故答案为：A．

【分析】先根据角平分线的定义得到，再根据角的关系和互余可判断①；根据角平分线的性质可判断②；根据三角形的内角和定理可判断③；根据角的运算可判断④；9．【答案】B【解析】【解答】解：过点F作，如图所示，∴，∵，的平分线与的平分线交于点E∴，，，∴，，即，∵，∴，∴，∴，∴故答案为：B．

【分析】根据角平分线的定义和角的运算得到，根据三角形外角的性质求出∠E，最后根据角的关系求解即可.10．【答案】A【解析】【解答】解：设，，，∴，，，，∴，，∴，，∴，∴，解得：．故答案为：A．

【分析】先根据新定义和同底数幂的乘法得到和，再根据新定义得到一元二次方程，求解即可.11．【答案】或【解析】【解答】解：因为：，所以解得：或故答案为：或【分析】由，观察积的2倍项的系数特点得可得答案．12．【答案】；【解析】【解答】解：∵，∴的立方根是；∵∴的平方根是．故答案为．

【分析】根据平方根、立方根的定义计算求解即可．13．【答案】【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵，∴，

∵∠EDF=45°，∴.故答案为：.

【分析】根据平行线的性质可得，则，再结合三角形外角的性质即可求解．14．【答案】4【解析】【解答】解：，，，，，，，．故答案为：4．

【分析】先根据幂的乘方得到，再根据同底数幂的除法和积的乘方逆运算求解即可.15．【答案】6.5或7【解析】【解答】解：解不等式x﹣a﹥0得，∵最小整数解为2a－6，∴，且2a－6为整数，解得，∴a＝6.5或7，

故答案为：6.5或7.

【分析】先解一元一次不等式，再根据最小整数解求出a的范围，再结合a为整数，2a－6为整数，求出值即可.16．【答案】【解析】【解答】解：∵，∴，，∴．∵，x为的整数部分，y为的小数部分，∴，．∴．故答案为：．

【分析】先根据绝对值和被开方数的非负性求出a+b，进而求出x，y，再代入计算即可.17．【答案】160°【解析】【解答】解：作点A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，如图所示，则即为周长最小值，故答案为：160°．

【分析】先找出点A关于BC和CD的对称点，再根据三角形的内角和求出，再根据角的关系求解即可.18．【答案】120【解析】【解答】∵99个数a1，a2，…，a99的“凯森和”为100，∴（S1+S2+…+S99）÷99=100，∴S1+S2+…+S99=9900，（21+S1+21+S2+21+…+S99+21）÷100=（21×100+S1+S2+…+S99）÷100=（21×100+9900）÷100=21+99=120．故答案是：120．【分析】首先求出S1+S2+…+S99的值，然后再求添上21后的100个数21，a1，a2，…，a99的凯森和．19．【答案】（1）解：原式；（2）解：原式．【解析】【分析】（1）先根据积的乘方与幂的乘方法则进行运算，再合并同类项即可；（2）先根据平方差公式与完全平方差公式、多项式乘以多项式法则展开，再去括号，合并同类项即可．（1）解：原式；（2）解：原式．20．【答案】（1）解：；（2）解：解不等式①，得；

解不等式②，得；

∴不等式组的解为．【解析】【分析】（1）先根据算术平方根，立方根，绝对值，乘方进行化简，再利用实数的加减运算法则加减即可；（2）先分别求解一元一次不等式，再得到一元一次不等式组的解即可．（1）解：；（2）解：解不等式①，得；解不等式②，得；∴不等式组的解为．21．【答案】（1）解：，理由如下：

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；（2）解：∵，，

∴，

∵，，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴．【解析】【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据同旁内角互补，两直线平行证出即可；（2）先根据两直线平行，同位角相等得到得出，，再根据角平分线的定义得到∠2，再根据角的运算计算即可．（1）解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴．22．【答案】解：，解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集是，

∵不等式组有且仅有6个整数解，

，

解得：，

解方程得：，

，

，

解得：，

∵a为整数，

∴a为15或16或17．【解析】【分析】先分别解不等式，再得到求出不等式组的解集，根据整数解的个数求出的范围，再求出关于y方程的解，求出的范围，取公共部分，得到答案即可．23．【答案】（1）解：设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，依题意，得，解得．答：甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元．（2）解：设购买甲型a块，由题意得，

解得，

∵a，为整数

∴a的取值为，共3种采购方案．（3）解：当时，（万元）；

当时，（万元）；

当时，（万元）．

∴当时，，则（万元）．

答：实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元．【解析】【分析】（1）根据采购方法列出二元一次方程组，求解即可；（2）根据甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，列出一元一次不等式组，求出a的范围，再根据a，为整数，求解即可．（3）根据（2）中a的取值，逐一计算，求出最大利润即可．（1）解：设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，依题意，得，解得．答：甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元．（2）设购买甲型a块，依题意，得，解得，∵a，为整数∴a的取值为，共3种采购方案．（3）当时，（万元）；当时，（万元）；当时，（万元）．∴当时，，则（万元）．答：实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元．24．【答案】（1）（2）解：∵，，，∴

；（3）解：∵，∴，

∴，

，

，

∴，

∵，

∴，

则．【解析】【解答】解：（1）∵图1大长方形的面积等于图2中空白部分的面积，

∴，

∴，

故答案为：；【分析】（1）根据图1大长方形的面积和图2中空白部分的面积相等列出等式即可；（2）将A，B整体代入（1）中结论，求解即可；（3）先求出，再利用完全平方公式和整式加减求解即可．（1）解：∵图1大长方形的面积等于图2中空白部分的面积，∴，∴，故答案为：；（2）解：∵，，，∴；（3）解：∵，∴，∴，，，∴，∵，∴，则．25．【答案】（1）解：由题意可得.（2）1（3）解：，理由如下：

，

∵S为“理想数”，

∴，

∴；（4）解：∵，∴，

∴，

∵，

∴的最小值为，无最大值．【解析】【解答】解：（2）∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴；

【分析】（1）根据理想数的定义写出即可；（2）先根据完全平方公式配方，再根据偶次方的非负性求出x，y，最后代入代数式计算即可；（3）先将s配方，再根据理想数的定义求解即可；（4）先根据原方程表示出y-x，进行配方，再根据偶次方的非负性质求解即可．（1）解：由题意可得：；（2）解：∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴；（3）解：，理由如下：，∵S为“理想数”，∴，∴；（4）解：∵，∴，∴，∵，∴的最小值为，无最大值．26．【答案】（1）证明：∵，，，

∴

∴．（2）①证明：过点P作PQ∥AB，如图所示，

可得

又∵

∴

∴

∵

∴

②∵AB∥DE，

∴∠BAD=∠EDC，

又∵∠EDC=∠DCE，

∴∠BAD=∠DCE，

又∵∠APE=∠BAD=2∠CED，

∴∠EDC=∠DCE=2∠CED，

∵∠EDC+∠DCE+∠CED=180°，

∴5∠CED=180°，

∴∠CED=36°；（3）45°或135°【解析】【解答】解：（3）当点M在点A、B之间时，MN与AD交于点F，如图所示，

∵MH⊥AD，∴∠AHM=90°，∴∠MAF+∠AMH=90°，∵AB∥CD，∴∠MAF=∠ADE，∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N，∴∠AMF=∠AMH，∠FDN=∠ADE=∠MAF，∵∠AFM=∠DFN，∴∠DNM+∠AND=∠MAF+∠AMF，∴∠DNM+∠MAF=∠MAF+∠AMH，∴∠DNM=（∠MAF+∠AMH）=×90°=45°；当点E在点A的左侧时，设DM交直线AD于点G，如图所示，∵MH⊥AD，∴∠AHM=90°，∴∠MAG+∠AMH=90°，∵AB∥CD，∴∠MAG=∠ADE，∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N，∴∠HMG=∠AMH，∠GDN=∠ADE=∠MAG，∴∠DNM=∠GDN+∠DGN=∠GDN+∠HMG+∠MHG=∠MAG+∠AMH+∠MHG=（∠MAG+∠AMH）+∠MHG=×90°+90°=135°；综上所述，的度数为45°或135°．

【分析】（1）根据角的关系得到，再根据内错角相等，两直线平行证出即可；（2）①根据两直线平行，内错角相等得到，再根