北京2026年中考数学二轮复习难点06 新定义综合题几何与函数（4大题型）（重难专练）（解析版）

难点06新定义综合题几何与函数

内容导航

第一部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点

核心模块重难考向考法解读/考向预测

第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧

要点梳理典例验知技巧点拨类题夯基

考向函数与几何

第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶

重难考向解读

2023、2024、2025年考法解读2026年考法预测

中考数学中新定义综合题的主要考向分为两

预测考查方向：

类：

结合切线：当直线与圆相切时，求k的值结合参数

一、函数与圆综合（每年1道，1分）；

范围：给定k的取值范围，求圆半径或点坐标的取值

二、函数与三角形四边形综合（每年1题，7

范围结合直线与圆的位置关系：探究直线与圆有公共

分）；

点且满足k的条件时，参数b的取值范围。

考查内容稳定，以解答题为主，难度较大．

重难要点剖析

题型1一次函数与圆综合

考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性

质，锐角三角函数的应用等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键．

1．（2024·北京东城汇文中学·一模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：

若线段PQ与O有两个交点M，N，且PMMNNQ，则称线段PQ是O的“倍弦线”．

(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数，在线段AB，CB，CD中，O的“倍弦线”是_____；

(2)O的“倍弦线”PQ与直线x2交于点E，求点E纵坐标yE的取值范围；

(3)若O的“倍弦线”PQ过点(1,0)，直线yxb与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．

【答案】(1)AB、CD；

(2)5yE5；

(3)22b122．

【来源】2024年北京市东城区汇文中学中考一模数学试题

【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是

几何直观能力，数形结合．

（1）根据定义验证可得结果；

（2）根据PQ最大值为6，所以以O为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得EF，进而求得结果；

（3）以(2,0)为圆心，1为半径作圆，直线yxb与圆相切，此时b22，以(1,0)为圆心，2为半径

作圆，直线yxb与圆I相切，求得b，进而求得结果．

【详解】（1）解：如图1，

AFFHBH2，CGGFDF2，

AB，CD是O的“倍弦线”，

AIAE2

BC与O不相交，，

DIBH3

BC和AD不是O的“倍弦线”，

故答案为：AB、CD；

（2）解：如图2，

以O为圆心，3为半径画圆交直线x2于E和E，

EFOE2OF232225，

5yE5；

（3）解：如图3，

以O(1,0)为圆心，2为半径画圆O，直线yxb1与相切，

此时b1221，

以O(2,0)为圆心，1为半径作O，直线yxb2与O相切，

此时b222，

22b122．

2．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1．对于点C和O的弦AB，给出如下

定义：点C向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C，若点C在弦AB上，且不与点A，

B重合，则称点C是弦AB“伴随点”．

13

(1)如图，点A(0,1)，B(1,0)，在点C1,，C2(1,1)，C3(2,0)中，弦AB的“伴随点”是______；

22

(2)已知D是直线yx上一点，且存在O的弦EF1，使得点D是弦EF的“伴随点”．记点D的横坐标为t，

直接写出t的取值范围；

11

(3)已知点Mm,，Nm1,．对于线段MN上任意一点S，存在O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“伴

22

随点”，将点S对应的弦PQ的长度的最小值记为d，直接写出d的最大值及m的取值范围．

【答案】(1)C1；

2662

(2)1t1或1t1

2442

33

(3)d的最大值为3，1m

22

【来源】2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷

【分析】本题考查了点的平移，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，理解新定义是解题的关键；

（1）根据新定义，结合坐标系，平移即可求解；

3

（2）根据新定义，弦EF1，先得出EF在r1的圆环内，进而得点D是弦EF的“伴随点”则以G1,1

2

为圆心的圆环，设yx分别和圆环交于D1,D2,D3,D4，进而分别求得其横坐标，结合图形，即可求解；

1

（3）根据新定义先得S对应的弦PQ的长度的最小值时，S经过rr1的G的切点，进而求得经过

2

1

y时，取得d的最大值，进而得出m的范围，即可求解．

2

【详解】（1）解：根据新定义，将先弦AB向右平移1个单位，再向上平移1个单位，

则平移后经过点C1，则C1是弦AB的“伴随点”

故答案为：C1；

（2）解：O的弦EF1，O的半径为1．

∴OEF是等边三角形，

设OMEF

3

则OMOEsin60

2

3

∴EF在r1的圆环内

2

如图，将圆环向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以G1,1为圆心的圆环，设yx分别和圆环

交于D1,D2,D3,D4，

则点D是弦EF的“伴随点”在圆环内部，不包括圆弧外边界（根据定义不和端点重合），

由于yx与x轴的夹角为45

22236

∴D1的横坐标为111，D2的横坐标为11，

22224

2362

同理可得D3的横坐标为11，D4的横坐标为1

2242

2662

∴1t1或1t1

2442

（3）解：如图，将O向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以G1,1为圆心的圆，设P1Q1为PQ

的对应弦，

1

线段MN上任意一点S，存在O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“伴随点”，则P1Q1为r1的圆环内的弦，

2

1

当S经过rr1的G的切点时，d取得最小值dmin，

2

1

当S为半径为G的切点时，即P1Q1的中点时，d取得最大值，

2min

111

∵点Mm,，Nm1,在y上，

222

∴PQ的最大值为P1Q1

1

∴S1,,

2

2

∴的最大值为21

ddminmaxP1Q12P1S213

2

3131

∴，，

P11Q11,

2222

113

∵Mm,，Nm1,，MN1,m11

222

即MN是线段P1Q1上的点，当M,P1重合时m取得最小值，当N,Q1重合时m取得最大值，而不包括端点，则

不能取等于号，

33

∴1m

22

3．（2025·北京五十中·二模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，T0,t为y轴上一点，P为平面

上一点，给出如下定义：若在O上存在一点Q，使得TQP是等腰直角三角形，且TQP90，则称点P

为O的“等直点”，TQP为O的“等直三角形”．

(1)如图，点A、B、C、D的横、纵坐标都是整数．

①当t2时，在点A，B，C，D中，O的“等直点”是__________；

CP

②当t3时，若TQP是O的“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求的值；

OQ

(2)若直线y=x+3上存在O的“等直点”，直接写出t的取值范围．

【答案】(1)A、B、D，2

(2)5t①1或1t5②

、、

【详解】（1）解：①如图，AQ1T，BQ2T，DQ3T是等腰直角三角形，Q1Q2Q3在O上，故A、B、

D为“等直点”，

故答案为：A、B、D；

②如图，依题意作O的“等直三角形”TQP，

∴TQPQ，TQP90，

过Q点作MH∥x轴，交y轴于M点，过点P作PHMH于H点，

∴TMQQHP90，

∴TQMMTQTQMHQP90

∴MTQHQP，

∴TMQ≌QHPAAS，

∴TMQH，MQHP，

设Qx,y，

∴HMMQQHMQTMx3y，PHMQx，

∴Pxy3,xy，

∵C3,0，

22

∴PCxy33xy2x2y2，

∵OQx2y2，

CP

∴=．

OQ2

（2）解：如图③，TQP为O的“等直三角形”，当点T在y轴的负半轴上，点P在点Q的左侧时，在x

轴的负半轴上取一点F，使得OTOF，连接FT，PF，

∵FTOPTQ45，

∴PTFQTO，

22

∵OTOFFT，QPTQPT，

22

∴TFP∽TOQ，

FPTF

∴2，

OQTO

∵OQ1，

∴PF2，

则点P的运动轨迹是以点F为圆心，2为半径的圆，

∴观察图形可知，当F1,0或5,0时，F与直线y=x+3相切，

那么，F1,0或5,0；

观察图形可知，当5t1时，直线y=x+3上存在O的“等直点”；

如图④，TQP为O的“等直三角形”，当点T在y轴的正半轴上，点P在点Q的左侧时，在x轴的负半

轴上取一点F，使得OTOF，连接FT，PF，

同理可证TFP∽TOQ，

FPTF

∴2，

OQTO

∵OQ1，

∴PF2，

则点P的运动轨迹是以点F为圆心，2为半径的圆，

∴当F1,0或5,0时，F与直线y=x+3相切，

那么，F1,0或5,0；

观察图形可知，当1t5时，直线y=x+3上存在O的“等直点”，

综上所述，t的取值范围为：5t1或1t5．

4．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,4)，线段ABx轴于点B,BD为平面内一

条线段，将点A绕点D旋转180后得到点C．若点C到点O的距离为1，则称线段BD为点A的“隐圆线段”．

(1)若点C在x轴上时，点A的“隐圆线段”长为_____________；

(2)求点A的“隐圆线段”长的最大值；

(3)若点A的“隐圆线段”所在直线为ykxb，直接写出k的取值范围．

【答案】(1)5和22

(2)3

6666

(3)k

44

【来源】2025年北京市昌平区九年级二模数学试卷

【分析】（1）由点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，得到C1,0或C1,0．由中心对称得到点D

是线段AC的中点，因此可得点D的坐标，根据两点间的距离公式即可求解；

311

（2）连接AO，取AO的中点E,2，连接DE，CO，则CO1，由三角形中位线的性质得到DECO，

222

31

因此点D在以点E,2为圆心，半径r的圆上运动，根据“一箭穿心”模型即可解答；

22

（3）由（2）可知点D在E上运动，又直线ykxb过点B，因此，过点B作E的切线，切点分别为

点M，N，设直线BM的解析式为yk1xb1，直线BN的解析式为yk2xb2，则k1kk2．根据相似三

角形的判定及性质，待定系数法分别求出k1，k2即可解答．

【详解】（1）解：∵点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，

∴C1,0或C1,0．

①当点C为1,0时，

∵点A(3,4)绕点D旋转180后得到点C，

∴点D是线段AC的中点，

∵D2,2，

∵线段ABx轴于点B，

∴B3,0，

22

∴BD32025．

②当点C为1,0时，

∵点A(3,4)绕点D旋转180后得到点C，

∴点D是线段AC的中点，

∵D1,2，

∵线段ABx轴于点B，

∴B3,0，

22

∴BD310222．

综上所述，点A的“隐圆线段”BD长为5或22．

3

（2）解：连接AO，取AO的中点E,2，连接DE，CO

2

∵CO1，

∴点C在以点O为圆心，半径为1的圆上运动，

∵点D是AC的中点，点E是AO的中点，

11

∴DECO，

22

31

∴点D在以点E,2为圆心，半径r的圆上运动，

22

2

325

∴BE302，

22

51

∴BD的最大值为BEr3，

22

即点A的“隐圆线段”长的最大值为3．

（3）解：由（2）可知点D在E上运动，

又点A的“隐圆线段”BD所在直线为ykxb，

∴直线ykxb过点B，

∴如图，过点B作E的切线，切点分别为点M，N，

设直线BM的解析式为yk1xb1，直线BN的解析式为yk2xb2，

∴k1kk2．

①连接EM，过点E作EF∥x轴，交BM于点F，过点F作FGx轴于点G，

51

由（2）有BE，EM，

22

22

2251

∴在RtBEM中，BMBEEM6，

22

3

∵E,2，EF∥x轴，FGx轴，

2

∴FG2，

设MFa，则BFBMMF6a，

∵EF∥x轴，

∴EFMFBG，

∵BM与E相切于点M

∵EMF90FGB，

∴EMF∽FGB，

1

∴EFMFEM1，

2

FBBGFG24

161

∴EFFBa，

444

BG4MF4a，

3

∵EFGB3，

2

613

即a4a，

442

66

∴a，

15

61863

∴EFa，

4430

38634621

∴F,2，即F,2，

23015

4621

∴把点，代入直线的解析式，得

B3,0F,2BMyk1xb1

15

66

3k1b10k

14

4621，解得．

k1b121836

15b

14

②连接EN，过点E作EH∥x轴，交BN于点H，交AB于点K，

1

∴HKB90，BK2，EN=，

2

∵BM，BN是E的切线，

∴BNBM6，ENH90，

设HNb，则HBHNNBb6，

∵EHNBHK，ENHBKH90，

∴ENH∽BKH，

1

∴EHHNEN1，

2

BHHKKB24

1b6

∴EHBH，

44

HK4HN4b，

∵HKEHEK，

b63

∴4b3，

42

66

∴b，

15

2446

∴HK4b

15

24462146

∴H3,2，即H,2，

1515

2146

∴把点，代入直线的解析式，得

B3,0H,2BNyk2xb2

15

66

3k2b20k

24

2146，解得．

k2b221836

15b

24

6666

综上，k．

44

5．（2025·北京门头·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和点Qa,b给出如下规定：如果将点P沿直

线xa翻折后得到点P，再将点P沿直线yb翻折后得到点H，点H就是点P的“相称点”．

(1)如图1，如果点P1,1，ab，

①在点H14,2，H21,0，H30,2中，点P的“相称点”的是________；

②点P的“相称点”与点P的距离最小值是_______．

(2)如图2，O的半径和等边ABC的边长均为1，点A0,m，点P和点Qa,b都在O上，如果在图中的

ABC边上存在点P的“相称点”，求m的取值范围．

【答案】(1)①H1，H3；②22

3

(2)1≤m≤3或3m0

2

【来源】2025年北京市门头中考数学一模试卷

【分析】（1）①根据翻折，中点坐标的计算得到H2a1,2a1，可得H在yx2上，进而可得H1，H3，

符合题意，即可求解；

2

②根据两点之间距离公式得到PH8a1，当a20时，PH22，由此即可求解；

（2）在O上任取点P与点Qa,b，其中点Qa,b，点P关于xa对称，再关于yb对称，得到的点，

实质上就是将PQ绕点Q旋转180得到点H，进而可得H的轨迹为以O为圆心，半径为1与3的圆环，进而

根据等边ABC的边长均为1，点A0,m，找到临界点，结合图形，即可求解．

【详解】（1）解：①∵ab，将点P1,1沿直线xa翻折后得到点P，则P2a1,1，将点P2a1,1

沿直线yb翻折后得到点H，则H2a1,2a1，

∵2a12a12

∴H在yx2上，

∵H14,2，H30,2在yx2上，

∴点P1,1的“相称点”的是H1，H3；

故答案为：H1，H3；．

②点P1,1,H2a1,2a1，

22

∴PH22a22b4a24a28，

∴PH8a288a21，

∴当a20时，PH22，

故答案为：22；

（2）解：如图

在O上任取点P与点Qa,b，其中点Qa,b，点P关于xa对称，再关于yb对称，得到的点，实质上

就是将PQ绕点Q旋转180得到点H，

先将Q固定，P在O上运动，H随之运动，连接OQ并延长至O使得OQOQ，连接OH，则OHPO1，

即H在O为圆心，半径为1的O上运动，

当Q点在O上运动，则H在以O为圆心，半径为1与3的圆环内运动，如图，

∵ABC边上存在点P的“相称点”，

∴ABC的边与圆环有交点，

如图，当BC与3为半径的O外切时，设切点为D，则切点坐标为0,3，

∵等边ABC的边长均为1，A0,m，

3

∴ADsinB1，

2

3

∴m3，

2

当A在1为半径的O上时，m1，

当BC在1为半径的O上时，AB1，则A0,0，此时m0，

当A在3为半径的O上时，m3，

3

随着A点的移动，可得，1≤m≤3或3m0．

2

6．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，对于平面内点P和y轴上点Q，给

出如下定义：将点P绕着点Q旋转90得到的对应点P恰好在O上，称点P为O的“赋能点”．

(1)已知点Q的坐标为0,1．

①如图1，在点P12,1,P21,1,P31,2中，O的“赋能点”是_____；

②如图2，若直线yxb上存在点P，使点P为O的“赋能点”，求b的取值范围；

(2)如图3，点Q0,t,M1,2,N2,2．若线段MN上存在点P，使点P为O的“赋能点”，直接写出t的取

值范围．

【答案】(1)①P1,P3；②2b22

2

(2)1t2

2

【详解】（1）解：①将O绕点Q0,1旋转90，得到半径为1的O1和O2，其中O11,1，O21,1，

O2P1211，O1P3211，

点P1在O2上，点P3在O1上，

点P1,P3是O的“赋能点”，

O1P221，O2P201，

点P2不在O1上，也不在O2上，

点P2不是O的“赋能点”，

综上所述，O的“赋能点”是P1,P3．

故答案为：P1,P3．

②直线yxb与x轴交于点Eb,0，与y轴交于点G0,b，

OEOGb，

GEO45，

直线yxb上存在点P，使点P为O的“赋能点”，

直线yxb与O1或O2有交点，

当直线yxb与O1相切于点C，与直线x1交于点D，如图，

连接CO1、DO1，则有O1CD90，

CO1DCDO190，

又GEOCDO190，

CO1DGEO45，

O1C

cosCO1Dcos45，

O1D

O1C1

O1D2

cos452，

2

D1,12，

点D在直线yxb上，

121b，

b2；

当直线yxb与O2相切于点C，与直线x1交于点D，如图，

同理可得，D1,12，

点D在直线yxb上，

121b，

b22；

b的取值范围为2b22．

（2）解：将O绕点Q0,t旋转90，得到半径为1的O1和O2，其中O1t,t，O2t,t，

线段MN上存在点P，使点P为O的“赋能点”，

线段MN与O1或O2有交点，

当线段MN与O1只有点M一个交点，此时O1M1，

22

1t2t1，

解得：t11，t22；

当线段MN与O2只有点N一个交点，此时O2N1，

22

t2t21，

22

解得：t2，t2；

1222

2

结合图象得，t的取值范围为1t2．

2

题型2一次函数与三角形四边形综合

主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解题

意利用数形结合的思想求解是解题的关键．

7．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点

A、C在直线yx上，那么称该菱形为点A、C的“最佳菱形”下图为点A、C的“最佳菱形”的一个示意图．已

知点M的坐标为1,1，点P的坐标为3,3．

（1）点E1,3,F2,1,G4,0中，能够成为点M、P的“最佳菱形”的顶点的是_________；

（2）如果四边形MNPQ是点M、P的“最佳菱形”．

①当点N的坐标为3,1时，求四边形MNPQ的面积；

②当四边形MNPQ的面积为8，且与直线yxb有公共点时，直接写出b的取值范围．

【答案】（1）E、G；（2）①4；②4b4

【详解】解：（1）如图1中，观察图象可知：E、G在线段MP的垂直平分线上

根据菱形的性质可知，点E、G能够成为点M、P的“极好菱形”顶点；

（2）①如下图：

∵M(1,1)，N(3,1)，P(3,3）

∴MN2，PNMN

∵四边形MNPQ是菱形，

∴菱形MNPQ是正方形．

∴S四边形MNPQMNPN4

②如下图：

∵M(1,1)，P(3,3）

∴PM(31)2(31)222，

∵四边形MNPQ的面积为8，

11

∴SPMQN8，即22QN8

四边形MNPQ22

∴QN42，

∵四边形MNPQ是菱形，

∴QNMP，ME2，EN22

作直线QN，交x轴于A，

∵M(1,1)

∴OM=2，

∴OE=22，

∵M和P在直线yx上，

∴∠MOA=45°，

∴△EOA是等腰直角三角形，

∴EA=22，

∴A与N重合，即N在x轴上，

同理可知：Q在y轴上，且ONOQ4

由题意得：四边形MNPQ与直线yxb有公共点时，b的取值范围是4b4．

8．（2023·北京西城·一模）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，

N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”．对

于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关

于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存

在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．

（1）如图1，在正方形ABCD中，点A(1,0)，点C(2,1)，

11

0)3

①下列四个点P1(0,1)，P2(2,2)，P(，，P4(，)中，与点A是“中心轴对称”的是；

3222

②点E在射线OB上，若点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，求点E的横坐标xE的取值范围；

（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(2,2)，H(2,2)，J(2,2)，K(2,2)，一次函数y3xb

图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值

范围．

210

【答案】（1）①P1，P4②x（2）2b42或42b2

2E2

【详解】解：解：（1）如图1中，

∵OA1，OP11，OP41，

∴P1，P4与点A是“中心轴对称”的．

故答案为P1，P4；

②如图2中，

以O为圆心，OA为半径画弧交射线OB于E，以O为圆心，OC为半径画弧交射线OB于F．

221010

易知E(，)，F(，)，

2222

210

观察图象可知满足条件的点E的横坐标xE的取值范围：x；

2E2

（2）如图3中，设GK交x轴于P．

当一次函数y3xb与圆心为O，半径为22的圆相切时，b42，

当一次函数y3xb经过点(0,2)时，b2．

观察图象结合图形W1和图形W2是“中心轴对称”的定义可知，当2b42时，线段MN与四边形GHJK是

“中心轴对称”的；

根据对称性可知：当42b2时，线段MN与四边形GHJK是“中心轴对称”的．

综上所述，满足条件的b的取值范围：2b42或42b2．

9．（2023·北京清华附中·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点P，给出如下定义：若在直线yx

上存在点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点P为线段AB的“关联点”．已知A5,2，B1,4．

(1)在P13,3，P22,4，P31,5，P41,6中，线段AB的“关联点”是___________；

(2)若点P在第二象限且点P是线段AB“关联点”，求线段OP长度d的取值范围；

(3)已知正方形CDEF边长为1．以Tt,3为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点M，N在线段AB上（M在

N的下方）．若正方形CDEF上的任意一点都存在线段MN，使得该点为线段MN的“关联点”，直接写出t的

取值范围．

【答案】(1)P1,P2

(2)32d6

39

(3)2t或t8

22

【详解】（1）解：如图，∵A5,2，B1,4

设直线AB的解析式为y=kx+b

2=5k+b

4=k+b

1

k=

2

解得

9

b=

2

19

∴直线AB的解析式为yx

22

在P13,3，P22,4，P31,5，P41,6中，P3-1,5在直线AB上，不符合定义，

如图，当B点平移到P1，A点平移到Q1，则BP1∥AQ1,BP1=AQ1，四边形ABP1Q1是平行四边形，

∵B1,4，P13,3，向左平移4个单位，再向下平移1个单位，

y=x

将点A5,2向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到Q11,1，则点Q在上，

y=xy=x

同理可得Q2在上，Q4不在上，

综上所述，线段AB的“关联点”是P1,P2

故答案为：P1,P2

（2）由（1）可知，线段AB的“关联点”在直线P1,P2上，

设直线P1P2的解析式为ymxn

3=3m+n

4=2m+n

m=1

解得

n=6

∴直线P1P2的解析式为yx6

设直线P1P2与坐标轴交于M,N点，如图，

令x=0，得y6，

令y=0，得x=6

MN62

∵点P在第二象限且点P是线段AB的“关联点”，

∴P在线段MN上，不包括端点，

66

设O到PP的距离为h，则h=32

1262

∴32d6

（3）依题意，正方形在直线yx6与yx6之间运动时，正方形CDEF上的任意一点都存在线段MN，

使得该点为线段MN的“关联点”，∵Tt,3，正方形CDEF边长为1，

∴Ct0.5,3.5，Et0.5,2.5，Dt0.5,2.5，Ft0.5,3.5

如图，当点C位于yx6上时，此时3.5t0.56

解得t2

如图，当点E在yx6上时，

2.5t0.56

解得t8，

根据（1）中，当P3与AB共线时，不符合定义，

∴当正方形的与AB有交点时，不符合题意，

①当F在直线AB上时，Ft0.5,3.5，

19

∵直线AB的解析式为yx

22

19

∴3.5t0.5

22

3

解得：t=

2

②当D在直线AB上时，Dt0.5,2.5，

19

∵直线AB的解析式为yx

22

19

∴2.5t0.5

22

9

解得：t

2

3

结合图形可知：当正方形CDEF上的任意一点都存在线段MN，使得该点为线段MN的“关联点”，2t

2

9

或t8．

2

1

10．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线yx1分别与x轴，y轴交于点A，B，点

2

1

C是第一象限内的一点，且ABAC，ABAC，抛物线yx²bxc经过A，C两点，与x轴的另一交

2

点为D．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，B，M，N四点构成的四边形为平行四边

形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

19

【答案】（1）二次函数的解析式为yx2x7；（2）AB∥CD，证明见解析；（3）点N的坐标分别为

22

9-179179339-33

（，1），（，1），（，-1），（-1）．

2222

【来源】2024年北京市东城区中考一模数学试卷

【分析】（1）求得点C的坐标，应用待定系数法即可求得抛物线的解析式．

（2）根据勾股定理求出AC，CD，AD的长，从而根据勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，

由∠BAC=90°，得出AB∥CD．

（3）由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到

x轴的距离相等．据此列出方程求解即可．

【详解】解：（1）由题意可求点A(2，0)，点B（0,1）．

过点C作CE⊥x轴，易证△AOB≌△ECA．

∴OA=CE=2，OB=AE=1．

∴点C的坐标为（3,2）．

1

将点A(2，0)，点C(3，2)代入yx2bxc，

2

22bc09

b

得{9，，解得{2．

3bc2

2c7

19

∴二次函数的解析式为yx2x7．

22

（2）AB∥CD．证明如下：

19

令x2x70，解得x7．

22

∴D点坐标为（7,0）．

可求AC5,CD25,AD5．

∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．

又∵∠BAC=90°，

∴AB∥CD．

（3）如图，由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与

点B到x轴的距离相等．

∵B点坐标为（0,1），

∴点N到x轴的距离等于1．

1919

可得x2x71和x2x71．

2222

9-179+17933933

解这两个方程得x,x,x,x．

12223242

9-179179339-33

∴点N的坐标分别为（，1），（，1），（，-1），（，-1）．

2222

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定

理和逆定理；平行的判定；平行四边形的判定；解一元二次方程；分类思想的应用．

11．（2023·北京二中教育集团·模拟）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在PQR使

2

得SPQRPQ，则称PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．

(1)已知A2，0，若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；

(2)已知点C的坐标为C2，1，点D在直线yx3上，记图形M为以点T1，0为圆心，2为半径的T位

于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”CDE为锐角三角形，直接写出点

D的横坐标xD的取值范围．

【答案】(1)1,4或1,4

3252

(2)x1或3x

2DD2

【来源】2023年北京二中教育集团中考模拟数学试题

【分析】（1）先根据题中定义和坐标与图形性质求得点B的纵坐标为4或4，分OBAB、OBOA2、

ABOA2分别求解即可；

（2）根据题意，画图找到线段CD的“等幂三角形”CDE为直角三角形时点D临界点，即点D在线段D1D2

或D3D4上，点E在弧E1E2上，进而根据已知，结合图形和锐角三角函数求解即可．

【详解】（1）解：∵A2，0，∴OA2，

∵存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，

2

∴SOABOA4，

11

设OA边上的高为h，则SOAh2h4，∴h4，

OAB22

∴点B的纵坐标为4或4；

∵△OAB是等腰三角形”，

∴若OBAB时，点B在OA的垂直平分线上，∴点B坐标为1,4或1,4；

若OBOA2时，OB4，满足题意的点B不存在，舍去；

当ABOA2时，AB4，满足题意的点B不存在，舍去，

综上，满足题意的点B坐标为1,4或1,4；

（2）解：如图，由题意，点C在直线yx3上，

当y0时，x3，则A3,0