北京2026年中考数学二轮复习难点02 二次函数的图像性质与综合（4大题型）（重难专练）（解析版）

难点02二次函数的图像性质与综合

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第一部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点

核心模块重难考向考法解读/考向预测

第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧

要点梳理典例验知技巧点拨类题夯基

考向二次函数性质

第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶

重难考向解读

2023、2024、2025年考法解读2026年考法预测

预测今年考查范围：常规大小比较，对称性应用：

中考数学中二次函数的主要考向为：二次函数利用抛物线的对称性，将不同横坐标的点转化到对称

性质（题目不含图像，需自己画图）轴同一侧进行比较，利用点到对称轴的距离判断函数

考查内容稳定，以解答题为主，难度中等偏上．值大小（开口向上时，离对称轴越远值越大；开口向

下时相反）分类讨论参数的不同取值情况

重难要点剖析

考向二次函数性质

题型1求对称轴

考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的

关键．直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程。

2

1．（2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，Mx1,y1，Nx2,y2是抛物线yaxbxca0上

任意两点，设抛物线的对称轴为xt．

(1)当x12，y1c时，求抛物线的对称轴；

(2)若对于1tx12t，tx2t2，都有y1y2，求t的取值范围．

【答案】(1)抛物线的对称轴x1

1

(2)t或t2

2

【来源】2024年北京市顺义区中考一模数学试题

【分析】本题主要考查二次函数的性质和解一元一次不等式方程组，

1将点代入二次函数代数式解得b2a，结合对称轴得定义即可求得；

2根据题意知在对称轴右侧y随x的增大而增大，分x1在对称轴右侧和左侧，分别列出不等式组求解即可．

【详解】（1）解：由题意得4a2bcc，解得b2a，

b2a

∵x1

2a2a

∴抛物线的对称轴x1；

（2）∵抛物线的对称轴为xt，tx2t2，

∴x2在对称轴右侧，

∵a0

∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，

①当x1在对称轴右侧，

∵y1y2，

∴x1x2，

1

t

t1t21

则，解得，故t；

t21t12

t

2

②当x1在对称轴左侧，

设Mx1,y1关于对称轴的点为Mh,y1，

∵抛物线的对称轴为xt，

∴2thx1，解得h2tx1，

∵1tx12t，

∴3t2h3t1，

2tt

∴，解得t2；

t23t2

1

故答案为：t或t2．

2

2．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）

上．

(1)若m＝n，求该抛物线的对称轴；

(2)已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范

围．

【答案】(1)x=3

3

(2)1t

2

【详解】（1）解：当m=n时，

24

对称轴为x3；

2

（2）解：根据题意可得：

m=4a+2b，n=16a+4b，p=a-b，

∵m<p<n，mn<0，

∴m<0，n>0，

∴4a+2b<0，16a+4b>0，

bb

化简得：1①，2②，

2a2a

∵m<p<n，

4a2bab③

∴

ab16a4b④

b1

化简③得，

2a2

b3

化简④得，

2a2

b

∵t=

2a

3

∴综合①②③④可得：1<t．

2

3．（2025·北京西城·模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bxc与x轴交于点A，B（A在B的左

侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB=2OD．

（1）当b2时，

①写出抛物线的对称轴；

②求抛物线的表达式；

b2

（2）存在垂直于x轴的直线分别与直线l：yx和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，

2

结合函数图象，求b的取值范围．

2

【答案】（1）①x1；②yx22x8；（2）b2或b．

3

【详解】解：（1）当b2时，yx2bxc化为yx22xc．

b2

①x1．

2a21

②∵抛物线的对称轴为直线x1，

∴点D的坐标为（-1，0），OD=1．

∵OB=2OD，

∴OB=2．

∵点A，点B关于直线x1对称，

∴点B在点D的右侧．

∴点B的坐标为（2，0）．

∵抛物线yx22xc与x轴交于点B（2，0），

∴44c0．

解得c8．

∴抛物线的表达式为yx22x8．

b2

（2）设直线yx与x轴交点为点E，

2

b2

当y=0时，0x

2

b2

∴x=-

2

b2

∴E（，0）．

2

b

抛物线的对称轴为x，

2

b

∴点D的坐标为（，0）．

2

b

①当b0时，OD．

2

∵OB=2OD，

∴OB=b．

∴点A的坐标为（2b，0），点B的坐标为（b，0）．

b2b2

当2b<时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：yx和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均

22

在x轴下方，

2

解得b．

3

②当b0时，b0．

b

∴OD．

2

∵OB=2OD，

∴OB=-b．

∵抛物线yx2+bxc与x轴交于点A，B，且A在B的左侧，

∴点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（-b，0）．

b2b2

当0<时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：yx和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在

22

x轴下方，

解得b<-2．

2

综上，b的取值范围是b2或b．

3

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟练掌

握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．

4．（2025·北京三帆中学·零模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx2a2x2a．

(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

(2)若点1,y1，a,y2，1,y3在抛物线上，且y10y2y3，求a的取值范围．

a

【答案】(1)直线x1

2

1

(2)a0

2

【来源】北京市三帆中学2024—2025学年下学期九年级中考数学零模试卷

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．

（1）根据二次函数对称轴公式即可求解；

（2）先表示出y1,y2,y3，再根据已知条件得到不等式组，化为解不等式组即可．

【详解】（1）解：对于抛物线yx2a2x2a，

a2a

∴x1

22

a

∴对称轴为直线x1；

2

（2）解：∵点1,y1，a,y2，1,y3在抛物线上，且y10y2y3，

22

∴y11a22a3a3，y2aa2a2a2a4a，y31a22aa1，

①

y103a30

2②

∴由y20得：2a4a0

2③

y3y2a12a4a

由①得：a1；

a0a0

由②得：aa20，即或，

a20a20

解得：2a0；

由③得：2a23a10，则2a1a10，

2a102a10

∴或，

a10a10

1

解得：a或a1，

2

1

∴原不等式组的解集为：a0．

2

5．（2025·北京燕山·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxca0经过点A2,c．

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)点M12a,y1，Na2,y2在抛物线上．若cy1y2，求a的取值范围

【答案】(1)x1

111

(2)a或a1．

232

【来源】2025年北京市燕山区九年级中考一模数学试题

【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．

b

（1）把A2,c代入解析式，则有b2a，利用对称轴x即可求解；

2a

（2）根据M12a,y1，Na2,y2中横坐标与对称轴的距离，结合a0和a0分别讨论即可求解；

【详解】（1）解：∵yax2bxc经过点A2,c，

∴4a2bcc，

整理得：b2a，

b2a

∴抛物线的对称轴为直线x1；

2a2a

（2）当a0时，抛物线开口向上．

点M12a,y1到对称轴x1的距离dM|12a1|2a．

点Na2,y2到对称轴x1的距离dN|a21|a1．

∵cy1y2，且抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大，

∴a+12a，同时12a0

12a0

解不等式组

a12a

1

解得a1；

2

当a0时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，

点M(12a,y1)到对称轴x1的距离dM|12a1|2a．

点N(a2,y2)到对称轴x1的距离dNa21a1．

若a1，dNa1；

∵cy1y2，

∴a12a1．

11

解得a．

23

若a1，dNa1．

∴a12a．

1

解得：a1，

2

∵a1，

∴不等式无解．

11

∴当a0时，a的取值范围是a；

23

111

综上，a的取值范围是a或a1．

232

6．（2025·北京延庆区·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax3a2(a0)的对称轴与x轴

交于点A，将点向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B．

(1)求抛物线的对称轴及点B的坐标；

(2)若抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

1

【答案】(1)对称轴：x2；B(5,2)；(2)a或a2.

2

a

【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线x==2，∴点A的坐标为（2，0）.∵将点A向右平移3个单

2a

位长度，向上平移2个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为（5，2）；

（2）①当a＞0时，如下图所示，

25a－20a＋3a－22

1

由图可得，4a（3a2）16a2，解得，a≥；

02

4a

②当a＜0时，如下图所示，

25a－20a＋3a－22

由图可得，4a（3a2）16a2，∴a≤－2;

0

4a

综上所得的取值范围为1或－

aa≥2a≤2.

【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，准确判断函数与线段端点的关系是解题的关键.

题型2比较函数值的大小

主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交

点需要联立方程是解题基础．结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论。

2

7．（2025·北京·中考）在平面直角坐标系xOy中，点3,y1,1,y2在抛物线yaxbxca0上，对称轴

为直线xl.

(1)若y1y2,求l的值；

(2)已知点e,c，(2,y3)在该抛物线上，且2e1,比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．

【答案】(1)l1

(2)y2y1y3，理由见解析

【来源】2025年北京市初中学业水平考试数学试卷（白卷）

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：

（1）根据对称性求出对称轴，即可得出结果；

（2）根据对称性确定对称轴的范围，根据二次函数的增减性，比较y1,y2,y3的大小即可．

2

【详解】（1）解：∵点3,y1,1,y2在抛物线yaxbxca0上，且y1y2,

∴3,y1,1,y2关于抛物线的对称轴对称，

31

∴抛物线的对称轴为直线xl1；

2

故l1；

（2）y2y1y3，理由如下：

∵yax2bxca0，

∴当x0时，yc，

∴抛物线过点0,c，

又∵抛物线过点e,c，2e1,

e0e

∴抛物线的对称轴为直线x，

22

∵a0，

∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，

2

∵点3,y1,1,y2，(2,y3)在抛物线yaxbxca0上，

eee

∴三点到对称轴的距离分别为3，1，2，

222

ee

∵32e1，2e1,

22

ee

∴320，

22

ee

∴32，

22

ee

∵31e2,2e1，

22

ee

∴310，

22

ee

∴13，

22

eee

∴132，

222

∴y2y1y3．

8．（2025·北京第十三中学分校·三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2ax2a2x2经过点2,m．

(1)若m2，求a的值；

2

(2)已知点Mx,y和Nx,y是抛物线上的两个点，其中xxa．若m2且x时，比较y1，y2的

11222113

大小，并说明理由．

2

【答案】(1)a；

3

(2)y1y2，理由见解析．

【来源】2025年北京市第十三中学分校中考三模数学试题

【分析】本题考查了二次函数的图像和性质．

（1）直接将2,2代入y2ax2a2x2计算即可；

4131

（2）先由m2求出xx0，xxa，0，设对称轴为直线xt，则t1，计算得到

21213a24

y1y22ax1x22tx1x2，再分别判断每个因式的正负即可．

【详解】（1）解：当m2时，抛物线y2ax2a2x2经过点2,2，

∴28a2a22，

2

解得a；

3

（2）解：∵m2，

∴8a2a222，

2

∴a，

3

413

∴xx0，xxa，0，

21213a2

设对称轴为直线xt，

a2111

则t，即t1，

4a42a4

,

∵点Mx1,y1和Nx2y2是抛物线上的两个点，

22

∴y1y22ax1a2x122ax2a2x22

22

2ax12ax2a2x1a2x2

2ax1x2x1x2a2x1x2

2ax1x2a2x1x2

a2

∵t，

4a

∴a24at，

即y1y22ax1x24atx1x2

2ax1x22tx1x2，

241

∵x，x，t1

13234

1

∴xx2，2t2，

122

即x1x22t0，

∵a0，x2x10，

∴y1y22ax1x22tx1x20，

即y1y2．

9．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2m1x的对称轴为直线xt．

(1)当m1时，求t的值；

(2)点t,y1，1t,y2，t1,y3在该抛物线上．若0m1，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．

【答案】(1)t1

(2)y2y3y1，理由见解析

【来源】2025年北京市顺义中考二模数学试题

【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要熟练掌握二次

函数的性质；

m111

（1）由抛物线为yx2(m1)x，得对称轴是直线xt，又m1，进而可得t1，故可得解；

22

1

（2）由（1）对称轴是直线xt，则m2t1，又02t11，从而t1，又抛物线开口向上，故抛

2

物线上点离对称轴越近函数值越小，又点(t,y1)，(1t,y2)，(t1,y3)在该抛物线上，且对称轴是直线xt，

从而2t112t，故可判断得解．

【详解】（1）解：由题意，抛物线为yx2(m1)x，

(m1)m1

对称轴是直线xt．

22

又m1，

11

t1．

2

(m1)m1

（2）解：由（1）对称轴是直线xt，

22

m2t1．

又02t11，

1

t1．

2

抛物线开口向上，

抛物线上点离对称轴越近函数值越小．

点(t,y1)，(1t,y2)，(t1,y3)在该抛物线上，且对称轴是直线xt，

t(t)2t，t(1t)2t1，t1t1．

1

t1，

2

12t2，02t11．

2t112t．

y2y3y1．

10．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，点2,n在抛物线yx2k2x4k上，且它的

对称轴为直线xt．

(1)当n0时，求t的值；

(2)如果点Atk,y1，Bt2k,y2在抛物线上，当k0时，比较y1和y2的大小，并说明理由．

【答案】(1)t1

(2)y2y1

【来源】2025年北京市门头沟区九年级中考二模数学试卷

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，熟练掌握二

次函数的图象与性质是解题的关键．

（1）把2,0代入yx2k2x4k，求出k，得到抛物线表达式，再根据对称轴公式求解；

（2）先确定点Atk,y1在对称轴左侧，点Bt2k,y2在对称轴右侧，求出点Bt2k,y2关于对称轴直

线xt的对称点为：Bt2k,y2，可得t2ktk，再根据二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）解：当n0时，把2,0代入yx2k2x4k，

则42k24k0，

解得：k0，

∴抛物线为：yx22x，

2

∴t1；

21

（2）解：∵k0，

∴tkt，t2kt，

∴点Atk,y1在对称轴左侧，点Bt2k,y2在对称轴右侧，

∴点Bt2k,y2关于对称轴直线xt的对称点为：Bt2k,y2，

∵k0，

∴t2ktk，

∵抛物线开口向上，

∴在对称轴左侧y随x增大而减小，

∴y2y1．

11．（2024·北京燕山·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为xt．

(1)若3a2b0，求t的值；

，，，

(2)已知点(1y1)，(2y2)，(3y3)在该抛物线上．若ac0，且3a2bc0，比较y1，y2，y3的大

小，并说明理由．

3

【答案】(1)t

4

(2)y2y1y3，理由见解析

【来源】2024年北京市燕山地区中考二模数学试题

【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函

数的对称性计算是解题的关键．

（1）利用抛物线的对称轴公式求得即可；

（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；

【详解】（1）∵3a2b0，

3a

∴b，

2

b3

∴t，

2a4

3

即t．

4

（2）∵3a2bc0，

3ac

∴b，

2

b3ac3c

∴t．

2a4a44a

∵ac0，

c3

∴0，

4a4

3

∴t1．

4

，，

∵点(1y1)关于直线xt的对称点的坐标是2t1y1，

5

∴2t13．

2

∴t22t13．

∵a0，抛物线yax2bxc开口向上，

∴当xt时，y随x增大而增大，

∴y2y1y3．

12．（2025·北京清华大学附属中学·二模）已知抛物线yax2bxca0，

(1)若抛物线过点3，m，5，m，求抛物线的对称轴；

，，，，，，，

(2)已知点0y0x1y14y22n在抛物线上，其中2x11，若存在x1使y1n，试比较

y0，y1，y2的大小关系．

【答案】(1)x1；

(2)y2y1y0．

【详解】（1）解：∵抛物线过点3，m，5，m，

∴3，m，5，m关于对称轴对称，

35

∴抛物线的对称轴是x1．

2

（2）解：设抛物线yax2bxca0的对称轴为xt，

，，

由题知，2n在xt的右侧，x1y1在xt的左侧，

∵a0，存在y1n，

，，

∴点x1y1到xt大于点2n到xt的距离，

，，

∴x1y1到xt的距离为：tx1，点2n到xt的距离为：2t，

∴tx12t，

2x

∴t1，

2

∵2x11，

2x1

∴01，

22

1

∴0t，

2

，，，，，

∴0y0x1y14y2都在函数的左侧，

∴a0，

∴抛物线yax2bxc开口向上，在对称轴左侧函数随着x的增大而减小，

∵4x10，

∴y2y1y0．

题型3求参数的范围

考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．首先

可求得抛物线的解析式及对称轴所在的直线，再根据二次函数的性质，即可得结论；分两种情况，即开

口向上和向下时，分别讨论计算即可求得．

，，22

13．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，M(x1y1)，N(x2y2)是抛物线yx2mxm1

上任意两点．

(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；

(2)若x2x1n(n0)，点M、N中至少有一个点位于x轴的上方，直接写出n的范围；

＜＜,

(3)若对于1x12x2m2时，都有y1y2，求m的取值范围．

【答案】(1)xm；

(2)n2；

(3)0m1．

【来源】2024年北京市平谷区中考二模数学试题

【分析】本题考查抛物线图像和性质，化成顶点式、求与x轴对称轴交点，采用数形结合的方式是解题关键．

（1）将抛物线整理成顶点式，对称轴可求；

（2）令y0，得到抛物线与x轴的两个交点为A、B，可求AB2，要满足题意则n2；

（3）结合抛物线的对称轴可知m2,y2点一定位于对称轴的右侧，则对称点为m2,y2，要保证对称点

＜＜,

为m2,y2，结合对于1x12x2m2时，都有y1y2列方程组即可．

2

【详解】（1）解：yx22mxm21=xm1，

抛物线的对称轴为xm，

（2）由（1）可得，抛物线的顶点坐标为m，1，

令y0，得到xm1或xm1，

∴抛物线与x轴的两个交点为Am1，0,Bm1，0，

AB2，

若点M、N中至少有一个点位于x轴的上方

只需n2；

（3）∵抛物线的对称轴为xm，

∴m2,y2点一定位于对称轴的右侧，

它的对称点为m2,y2，

＜＜,

又∵对于1x12x2m2时，都有y1y2，

m21

∴，

m22

解得0m1．

14．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx22bx．

(1)写出抛物线的对称轴（用含b的式子表示）；

(2)若点A1,0,B4,0，抛物线yx22bx与线段AB有两个交点，求b的取值范围；

2

(3)M1b,y1,Nb,y2是抛物线yx2bx上两点，若y1y22，直接写出b的取值范围．

【答案】(1)对称轴为xb

1

(2)b0或0b2

2

1212

(3)b

22

【来源】2025年北京市昌平区九年级二模数学试卷

【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握

并能灵活运用二次函数的性质是关键．

2b

（1）依据题意，对于抛物线yx22bx，其对称轴为直线xb，进而得解；

21

22

（2）令y0，即x2bx0，解得x10，x22b，又抛物线yx2bx与线段AB有两个交点，从而可得

12b0或02b4，进而计算可以得解；

222

（3）依据题意，将x1b代入抛物线yx2bx，则y13b4b1；又将xb代入抛物线yx2bx，

22222

则y2b，故y1y23b4b1b2b1，又y1y22，则2b12，进而计算可以得解．

【详解】（1）解：由题意，对于抛物线yx22bx，

2b

∴对称轴为直线xb；

21

（2）解：令y0，即x22bx0，

解得x10，x22b，

又∵抛物线yx22bx与线段AB有两个交点，A1,0,B4,0，

∴12b0或02b4，

1

解得b0或0b2，

2

1

∴b的取值范围是b0或0b2；

2

（3）解：由题意，将x1b代入抛物线yx22bx，

2222

∴y11b2b1b12bb2b2b3b4b1，

又将xb代入抛物线yx22bx，

22

∴y2b2bbb，

22222

∴y1y23b4b1b4b4b12b12b1，

∵y1y22，

2

∴2b12，

∴22b12，

∵2b12，

12

∴2b12，b，

2

又∵2b12，

12

∴2b12，b，

2

1212

∴b．

22

15．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线yax24ax3a0．

(1)当点A(1,0)在这个函数图象上时，

①求抛物线的函数关系式．

②抛物线上有一点P到x轴的距离为1，求点P坐标．

(2)当a0时，函数图象上只有两个点到x轴的距离等于2，求a的取值范围．

(3)在平面直角坐标系中，点M1,1，点N3,1，连接MN．直接写出抛物线yax24ax3a0与线

段MN只有一个公共点时a的取值范围．

【答案】(1)①yx24x3；②点P的坐标为22,1或22,1或2,1

15

(2)a

44

122

(3)a或a或a

235

【详解】（1）解：①代入点A1,0到yax24ax3得：a4a30，解得a1，

∴抛物线的函数关系式为yx24x3；

②当y1时，x24x31，

解得x122，x222；

当y1时，x24x31，

解得x2；

∴点P的坐标为22,1或22,1或2,1；

2

（2）解：抛物线yax24ax3ax234a，a0，

∴抛物线图象开口向上，顶点坐标为2,34a，

∵函数图象上只有两个点到x轴的距离等于2，

∴234a2，

15

解得a；

44

（3）解：①当a0时，

当顶点2,34a在直线y1上，符合条件，

1

即34a1，解得a；

2

当抛物线过点N时，MN与抛物线有两个交点，

根据函数的对称性，只要x3时，y1，即符合条件，

则9a12a31，

2

解得a；

3

12

故抛物线与线段MN只有一个交点时，a或a；

23

②当a0时，

根据函数的对称性，只要x1时，y1，即符合条件，

则a4a31，

2

解得a；

5

122

综上，a的取值范围为a或a或a．

235

16．（2024·北京德胜中学·零模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc(a0)经过点

A(1,m),B(2,m2),C(0,1)．

(1)c___________，m的取值范围是__________；

2

(2)点Mx1,y1,Nx2,y2在抛物线yaxbxc(a0)上，若对于0x11,1x22，都有y1y2，求m

的取值范围．

【答案】(1)1；

m1

(2)1m1

【来源】2024年北京市西城区德胜中学九年级下学期零模数学试题

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，是解题的关键．

（1）将C点代入求出c的值，将点A,B代入函数解析式，求出m关于a的解析式，求出范围即可；

（2）设抛物线的对称轴为直线xt，根据二次函数的性质，推出Mx1,y1,Nx2,y2的中点在对称轴右侧，

进而求出t的范围，进而求出a的范围，进一步求出m的取值范围即可．

【详解】（1）解：把C(0,1)代入yax2bxc(a0)，得：c1；

把A(1,m),B(2,m2)，代入解析式，得：ab1m①,4a2b1m2②，

②①，得：3ab2，

∴b23a，

∴ma23a112a，

∵a0，

∴12a1，

∴m1；

故答案为：1；

m1；

（2）设抛物线的对称轴为直线xt，

∵a0，

∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越大，

∵0x11,1x22，

1xx3

∴12，

222

∵对于0x11,1x22，都有y1y2，

∴Mx1,y1,Nx2,y2的中点在对称轴右侧，

1

∴t，

2

b1

∴，

2a2

∴ba，

由（1）知：b23a，

∴3a2a，

∴a1，

∴0a1，

∴22a0

∵1m12a1，

故1m1．

17．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系xOy中，At,y1，Bt1,y2，Ct3,y3三点都在抛物线

yax22ax4（a0）上．

(1)这个抛物线的对称轴为直线________．

(2)若y1y3y2，求t的取值范围；

(3)若无论t取任何实数，点A，B，C中都至少有两个点在x轴的上方，直接写出a的取值范围．

【答案】(1)x1

1

(2)1t

2

16

(3)0a

3

2a

【详解】（1）解：对称轴为x1，

2a

故答案为：x1；

2

（2）解：∵At,y1，Bt1,y2，Ct3,y3三点都在抛物线yax2ax4（a0）上，且y1y3y2，

又∵tt1t3，抛物线的对称轴为x1，

∴A，B两点位于对称轴左侧，点C位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，点

C到对称轴的距离大于等于点B到对称轴的距离，

t311t11

即，解得1t；

1tt312

（3）解：无论t取任何实数，点A，B，C中都至少有两个点在x轴的上方，

有两种情况满足题意，

①当抛物线与x轴有一个交点或者没有交点时，满足题意，

即Δ0，

2

∴2a4a40，

化简得4aa40，

∵a0，

∴a40，

解得a4，

∴此时0a4；

②函数图像与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意，

此时三点中，距离最近的A和B不能同时在x轴下方，

临界情况A、B两点分别是这两个交点，

得t0.5，

16

此时t=0.5.带入yax22ax4，解得a，

3

16

∴此时a；

3

16

综上所述，0a

3

，，，2

18．（2024·北京清华附中·一模）在平面直角坐标系xOy中，Ax1y1Bx2y2是拋物线yxbxb0

上任意两点，设抛物线的对称轴为直线xh．

(1)若抛物线经过点(2，0)，求h的值；

，

(2)若对于x1h1x22h，都有y1y2，求h的取值范围；

，

(3)若对于h2x1h12x21，存在y1y2，直接写出h的取值范围．

【答案】(1)h1

(2)h1或h1

(3)4h1且h0．

【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线xh

bb

∴h

212

即b2h

∴拋物线yx22hx

∵抛物线经过点2，0

∴把2，0代入yx22hx

得0222h2

解得h1；

（2）解：由（1）知拋物线yx22hx

，，，2

∵Ax1y1Bx2y2是拋物线yx2hx上任意两点，

22，2，

∴y1h12hh1h1y22h2h2h0

，

∵且x1h1x22h，都有y1y2，

∴h210

解得h1或h1

，，，2

（3）解：∵Ax1y1Bx2y2是拋物线yx2hx上任意两点，对称轴为直线xh

，抛物线开口向下，

2222

∴h22hh2y1h2hh，即h4y1h，

①当2h1时，y2一定存在大于y1的值；

2

②当h2时，y222h244h，

∴44hh24，解得：4h0，

∴4h2

2

③当h1且h0时，y212h112h，

∴12hh24，解得：3h1，

∴1h1且h0，

综上所述：4h1且h0

题型4最值问题

二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标

等知识是解题关键．

19．（2025·北京房山·二模）已知抛物线yax2bxca0的对称轴为直线xt．

(1)当t2时，

①写出b与a满足的等量关系；

x,y

②当函数图象经过点1,3，11，x12,y2时，求y1y2的最小值；

mpn

(2)已知点A1,m，B3,n，Cx0,p在该抛物线上，若对于3x04，都有，直接写出t的取值

范围．

【答案】(1)①b4a；②6

3

(2)t3

2

【详解】（1）解：①当t2时，对称轴为直线x2．

b

x2，

2a

b4a；

x,y

②由二次函数的性质可知，当11，x12,y2关于对称轴对称时y1y2取最小值，

对称轴为直线x2，点1,3关于对称轴的对称点为3,3，

x,y

11与点1,3重合，x12,y2与点3,3重合时，y1y2取最小值，

最小值为：336．

（2）解：yax2bxca0，

抛物线开口下上，

mpn

13x0，，

点A1,m在对称轴的左侧，点B3,n在对称轴上或对称轴的右侧，Cx0,p在对称轴的右侧，点到A

对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，

t3

，

t(1)x0t

x1

解得0t3，

2

3x04，

x13

10，

22

3

t3．

2

2

20．（2023·北京延庆·一模）已知：抛物线C1：yaxbxca0．

(1)若顶点坐标为1，1，求b和c的值（用含a的代数式表示）；

(2)当c0时，求函数y2022ax2bxc1的最大值；

m2

(3)若不论m为任何实数，直线