2026年高考数学终极冲刺压轴05 隐零点问题的4大核心题型（原卷版）

压轴05隐零点问题的4大核心题型

隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接解出.在函数、不等式与导数的综合题目中经常会遇

到.涉及隐零点问题，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用函数的性

质巧妙求解.

题型01利用隐零点解决最值

技法指导

利用隐零点解决最值的基本步骤：

第1步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程fx00,并结合f(x)的单

调性得到零点的范围;

第2步:以零点为分界点,说明导函数f(x)的正负,进而得到f(x)的最值表达式;

第3步:将零点方程fx00适当变形,整体代入f(x)最值式子进行化简:

（1）要么消除f(x)最值式中的指对项

（2）要么消除其中的参数项;从而得到f(x)最值式的估计.

1．（2026·湖南益阳一模）已知函数fxe2xe2xax，若x0，fx0，则实数a的取值范围是（）

A．,2B．,4C．,2eD．4,4

2

2．（2026·山东泰安期末）设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)-x，若当x0时fxmx2恒成立，则实数m的

取值范围是（）

3333

A．,B．,C．,D．,

2244

题型02不含参函数的隐零点问题

技法指导

已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用零点存在定理判断零点存在，设

方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，②注意确定x0的范围.

3.（2025·江苏镇江二模节选）已知函数fxxlnxmx（其中mR），当x1时，不等式fx2xm0

恒成立，求整数m的最大值．

4.（2025·辽宁鞍山模拟）已知函数fxlnxax1，gxxexx.

（1）若直线y2x与函数fx的图象相切，求实数a的值；

（2）当a1时，求证：fxgxx2.

题型03含参函数的隐零点问题

技法指导

已知含参函数f（x，a），其中a为参数，导函数方程f'（x，a）＝0的根存在，却无法求出，设方程f'

（x）＝0的根为x0，则（1）关系式f'（x0）＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；（2）注意确定x0

的合适范围，往往和a的范围有关.

5.已知函数f（x）＝ex－a－lnx＋x.当a≤0时，证明：f（x）＞x＋2.

6.已知函数f(x)2exsinxax．（e是自然对数的底数）

(1)若a0，求f(x)的单调区间；

若，试讨论f(x)在(0,)上的零点个数．（参考数据：）

(2)0a6e24.8

题型04含参函数的隐零点问题

技法指导

隐零点的同构

实际上,很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项,而这类问题由往往具有同构特征,所以下面我们

看到的这两个问题,它的隐零点代换则需要同构才能做出,否则,我们可能很难找到隐零点合适的代换

化简方向.我们看下面两例:一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析

xexxlnx

fxxexflnxxlnx

x

ex1xlnx1

lnx

fxxexflnxx2exlnx0

x

1

所以在解决形如exxlnx0,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.

x

7.（2025·江西萍乡·模拟）已知函数f(x)xalnx，g(x)exlnx2x.

(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若gx0=0，求x0lnx0的值；

(3)证明：xxlnxexx2.

1

8.已知函数fx2xlnx，gxx2x.

2

(1)求fx的极值；

(2)证明：当x1时，fxgx0.（参考数据：ln20.69）

1.若函数fxexlnxm的最小值为2ln2，则m（）

111

A．2B．ln2C．D．ln2

222

2．（2026·湖北武汉·期中）已知函数fxalnx2x(a0)，若不等式xae2x3fx1对x0恒成立，则

实数a的取值范围为__________.

3．（2025·黑龙江牡丹江·三模）已知函数fx2sinxxcosxx，fx为fx的导数．

(1)求f0；

(2)证明：fx在区间0,上存在唯一零点．

4.已知函数fxexlnxm，当m2时，求证fx0.

5.（2025·江西萍乡·三模）已知函数fxeaxlnxa．

(1)讨论函数fx的极值点个数；

(2)若fx1ax11恒成立，求实数a的取值范围．

6.（2025·广东珠海二模）已知函数fxxexaxalnxa.

(1)若ae，判断函数fx的单调性，并求出函数fx的最值.

(2)若函数fx有两个零点，求实数a的取值范围.

lnx1

7.（2025·山东聊城·一模）已知函数fxxex1，gxlnxmx，xex.

xx

(1)求fx的单调递增区间；

(2)求x的最小值；

(3)设hxfxgx，讨论函数hx的零点个数.

8.（2026·浙江·开学考试）已知函数fxxex,gxlnx．

(1)求fx在点1,e处的切线方程；

1

(2)当a0，对任意的x0,,gxax2恒成立，求实数a的取值范围；

2

1

(3)证明：fxexgx．

2

9．已知函数fxxa1exx，aR．

(1)若a1，求曲线yfx在