2026年高考数学终极冲刺压轴03 利用导数研究函数零点的2大核心题型（原卷版）

压轴03利用导数研究函数零点的2大核心题型

利用导数研究函数零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或讨论函数零点的个数、已知函数零

点存在情况求参数及由函数零点性质研究其它问题等，多以解答题的形式出现，难度较大.

题型01证明或求解零点个数

技法指导

1

1

1.（2025·浙江温州·一模）已知fxex（x0）.

(1)求导函数fx的最值；

(2)试讨论关于x的方程fxkx（k0）的根的个数，并说明理由.

2．已知函数f(x)exax(aR).

（1）讨论函数fx的单调性；

（2）当a2时，求函数gxfxcosx在,上的零点个数.

2

3．已知函数f(x)ax2sinxa.

(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若x(0,)，且a0，讨论函数g(x)x2f(x)ax的零点个数.

题型02已知零点个数求参数范围

技法指导

4.（2025·四川绵阳模拟）已知函数fxlnxkexk.

(1)当k0时，求证：fx最大值小于2；

(2)若fx有两个零点，求实数k的取值范围.

1

5．已知函数fxx2exax2.

2

（1）若a1，求函数gxfxx的单调区间；

（2）若函数hxfxex有两个零点，求实数a的取值范围.

6．已知函数fxx1exax2，aR.

e

(1)当a时，求fx的单调区间；

2

(2)若方程fxa0有三个不同的实根，求a的取值范围．

1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数fxalnx1xsinx．

ππ

(1)若a0，求曲线yfx在点,f处的切线方程；

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(2)若a1，讨论函数fx在x1,0上的单调性和零点个数．

2．（2026·四川广安·月考）给定函数fxx1ex

(1)判断函数fx的单调性，并求fx的极值.

(2)若fxa有两个解，求a的取值范围.

3．（2025·山东泰安·模拟）已知函数fxx(xc)2在x1处有极小值.

(1)求实数c的值；

(2)若函数gxfxa有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

4．（2025·安徽阜阳二模）已知函数f(x)axsinx，曲线yf(x)在(π,f(π))处的切线斜率为0．

(1)证明：函数f(x)在R上单调递增；

1

(2)设g(x)mx3f(x)，若m，判断函数g(x)的零点个数．

6

5．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数f(x)exa．

(1)若a1,g(x)f(x)cosxsinx，讨论函数g(x)在(0,2π)的单调性；

(2)若h(x)f(x)xcosx在[0,2π]上有唯一的零点，求实数a的最小值．

1

6．（2025·湖南郴州·三模）已知函数fxetx1lntex1lnx.

(1)当t1时，求fx的单调区间；

(2)当te时，求fx在0,1上的最小值；

(3)当t1时，讨论fx的零点个数.

sinx

7．（2026·安徽宿州·一模）已知函数fxlnxsinx,gx.

ex

(1)证明函数f(x)存在唯一零点；

1

(2)f(x)的零点为x0，证明e.

gx0e

8．（2026·浙江·模拟预测）已知函数fxexsinx.

(1)求函数fx的单调区间；

(2)试判断曲线yfx与直线yx在0,π上公共点的个数；

9．（2026·山东临沂·一模）已知函数fxlnxax1．

(1)求fx的单调区间；

(2)已知fx在0,e上有且仅有两个零点，求a的取值范围.

2

10．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数fxax56lnxaR，曲线yfx在点1,f1处的切线与

y轴相交于点0,6.

(1)求函数fx的单调区间；

(2)若函数yfxb有三个零点，求实数b的取值范围.

11．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数fx2xaex，其中a为常数.

1

(1)若函数fx的极小值点为x，求a的值；

2

(2)若fxe3在x0,1时恒成立，求实数a的取值范围；

(3)当a1时，若函数gxfxkx在,0上恰有两个不同的零点，求实数k的取值范围.

12.（2025·广东广州·模拟预测）已知函数fxae2xa2exx2,aR.

(1)当a1时，求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；

(2)讨论函数fx的单调性；

(3)若函数fx有三个零点，求a的取值范围.

1

13．（2026·陕西西安·模拟预测）已知f(x)a(lnx)2(ax)lnx2x2，a0.

2

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若a(0,e)，讨论