2026年高考数学终极冲刺限时预测05（原卷版）（全国一卷）

限时预测05（A组+B组+C组）

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

在ABC中，角A,B,C对应边分别是a,b,c.已知a,b,c成等差数列，且3sinA2sinC.

(1)求cosA的值；

47

(2)若ABC的外接圆半径为，求ABC的面积.

7

16．（15分）

如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，

BADFAB90,AD2BC,AF2BE．

(1)求证：C，D，E，F四点共面；

(2)设AB2,BCBE1，求平面ADE与平面CDE夹角的余弦值．

17．（15分）

某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以立项；若两位初

审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进行复审，若能通

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过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为，能通过复审专家评审

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的概率为1，各专家评审能否通过相互独立．

2

(1)求该项目予以立项的概率；

(2)记评审通过该项目的专家人数为X，求X的分布列与期望．

18．（17分）

已知函数fxlnxax1．

(1)求fx的单调区间；

(2)已知fx在0,e上有且仅有两个零点，求a的取值范围.

19．（17分）

x2y23

已知A，B分别为椭圆C：1ab0的左、右顶点，且AB4，C的离心率为．

a2b22

(1)求C的方程；

π

(2)若倾斜角为的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程；

4

，

(3)若直线l：xmyt2t2与C交于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为k1k2，且k27k1，

求t．

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2a30,5a2a420.

(1)求数列an的前n项和Sn；

an

(2)记bn2，数列bn的前n项积为Tn，求TnSn的最小值.

16．（15分）

如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，底面ABCD为等腰梯形，且

AD∥BC，AD2BC2AB4，E为AD的中点．

(1)求直线PB与平面ABCD的夹角；

11

(2)若AFAP，CGCP，平面EFG与PB交于点M，求线段BM的长度．

33

17．（15分）

一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项培训考核都合格才能通过培

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训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，考核合格的概率为，参

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2

加专业培训后，考核合格的概率为．

3

(1)若志愿者A，B都参加了培训，求志愿者A，B中至少有1人通过培训考核的概率；

(2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服

务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望．

x2axb

18.（17分）已知函数fx的一个极值点是x2．

ex

(1)求a与b的关系式；

(2)求出fx的单调区间；

2

(3)设a0，gxa2ex2，若存在x,x0,3，使得fxgx成立，求实数a的取值范围．

1212e2

19．（17分）

已知动圆过定点E2,0，且被y轴截得的弦长为4.

(1)求动圆圆心C的轨迹方程；

(2)已知过点E的直线l与圆心C的轨迹交于A,B两点，点B关于x轴的对称点为B.

（i）求AOB（O为坐标原点）面积的最小值；

（ii）证明：直线AB必过定点D.

（建议用时：60分钟满分：77分）

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC2sinBsinAB.

(1)求角A；

(2)若bc221，ABC的面积为1，求边a的值.

16．（15分）

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，D为AB中点，

且A1D5．

(1)求证：CD平面ABB1A1；

(2)已知P为线段B1C中点，求直线AP与平面A1CD所成角的正弦值．

17．（15分）

已知抛物线C:y22px(p0)，点F为C的焦点，M,N是C上任意不重合的两点，当直线MN过点F且垂

直x轴时，|MN|4.

(1)求C的方程；

(2)若直线MN过点F且OMN的面积为4，求MN的方程.

18．（17分）

已知函数fxxlnxlna1x.

(1)求函数fx的单调区间；

(2)设函数fx的零点为x0，设曲线yfx在x0,0处的切线为ykxm，求证：fxkxm.

1x2x11

(3)当a1时，设x1,x20,，且满足fx1fx21，求证：ee.

ea

19．（17分）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元A，B，且

生成词元总数不超过2nn2.若生成A，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到2n.每个词元生

成需要先预测，再审核.假设每次预测为A，B的概率均为0.5，且各次预测相