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文档简介
专题2.2函数的解析式与定义域、值域(举一反三专项训练)
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1具体函数的定义域的求解】.......................................................................................................................1
【题型2抽象函数、复合函数的定义域的求解】...................................................................................................2
【题型3函数值域的求解】.......................................................................................................................................4
【题型4求函数值】...................................................................................................................................................5
【题型5已知函数类型求解析式】...........................................................................................................................7
【题型6已知f(g(x))求解析式】................................................................................................................................8
【题型7分段函数及其应用】.................................................................................................................................10
第二部分分层突破
A组基础跟踪练
B组培优提升练
【题型1具体函数的定义域的求解】
1.(2025·河北·模拟预测)函数的定义域为()
A.B.�=lg�−1C.D.
【答案】B��>1��≥2��>10��≥11
【解题思路】根据题意得,解不等式得解.
【解答过程】由lg�,−即1≥0,即,解得.
所以函数的定义l域g�为−1≥0.lg�−1≥lg1�−1≥1�≥2
故选:B.��≥2
2.(2025·河南·模拟预测)已知集合,,则()
2
A.B.�=0,1,C2.�=�∣�=1−�D.�∩�=
【答案】C010,10,1,2
【解题思路】先化简集合,再结合交集的运算,即可求解.
【解答过程】根据题意,集�合,
22
又集合,所以�=�∣�=.1−�=�∣1−�≥0=�∣−1≤�≤1
故选:C�.=0,1,2�∩�=0,1
3.(2025·北京东城·一模)下列函数中,定义域为的函数是()
A.B.C.(0,+∞)D.
�
【答案】B�(�)=��(�)=ln��(�)=2�(�)=tan�
【解题思路】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域,由此得出答案.
【解答过程】对于A,要使得根号下有意义,则,即定义域为,故A错误;
对于B,要使得对数有意义,则真数,即定�≥义域0为,[故0,+B正∞)确;
对于C,由指数函数的定义可知其定义�>域0为,故C错误0;,+∞
�
对于D,要使得正切函数有意义,则,即定义域为,故D错误;
ππ
�≠�π+2,�∈��|�≠�π+2,�∈�
故选:B.
4.(2025·山东·一模)函数的定义域是()
A.��=�−1−B3.
C.4,+∞D.−∞,−2
【答案】D−2,4−∞,−2∪4,+∞
【解题思路】先由函数有意义得,解该不等式即可得解.
【解答过程】要使函数有意义,则�−1−3≥0,即,
所以或,解得�−1−或3≥0,�−1≥3
所以函�−数1的≥定3义域�为−1≤−3�≥4.�≤−2
故选:D.−∞,−2∪4,+∞
【题型2抽象函数、复合函数的定义域的求解】
5.(25-26高一上·四川遂宁·期中)已知函数的定义域为,则函数的定义域为()
��−2
��0,2��=�−3
A.B.C.D.
【答案】D3,+∞3,42,43,4
【解题思路】根据条件,得,即可求解.
0<�−2<2
�−3>0
【解答过程】因为函数的定义域为,所以,解得,
0<�−2<2
��0,23<�<4
所以函数的定义域为,�−3>0
��−2
��=�−33,4
故选:D.
6.(25-26高一上·重庆九龙坡·期中)已知函数的定义域为,则函数
�
的定义域为()��−1,4��=��+1+4−2
A.B.C.D.
【答案】B0,2−2,22,32,4
【解题思路】由函数的定义域得出的范围,再根据指数函数的单调性求解,最后取交集
�
即可.���+14−2≥0
【解答过程】因函数的定义域为,则,得
又,即��,得,−1,4−1≤�+1≤4−2≤�≤3
��2
故4−的2定≥义0域为2≤2.�≤2
故选�:�B.−2,2
7.(25-26高一上·陕西宝鸡·期中)若函数的定义域为,则函数的定义域为()
�2�−1
��1,9��=�−1
A.B.C.D.
【答案】D1,51,51,51,5
【解题思路】由题意结合复合函数定义域相关知识可得答案.
【解答过程】因定义域为:,则的定义域满足:,
�2�−1
1≤2�−1≤9
��1,9�−1
解得:,即定义域为:.�−1>0
故选:D1.<�≤51,5
8.(25-26高一上·山东枣庄·期中)若函数的定义域为,则1的定义域为
��
1�
()�2�−1−2,0�=�+1+1−3
A.B.C.D.
2211
−1,−3−1,−3−1,−2−1,−2
【答案】D
【解题思路】先求出的定义域为,再由1求解即可.
−2≤�≤−1
��−2,−1
�+1�>0
【解答过程】因为函数的定义域为,1−3≥0
1
�2�−1−2,0
所以,所以的定义域为,
1
�∈−2,0,2�−1∈−2,−1��−2,−1
则函数1有意义,
��
�
�=�+1+1−3
有1,得1,得,
−2≤�≤−1−1≤�≤−21
−1<�≤−2
�+1�>0�>−1
则函数1−3≥10的�定≤义0域为:,
��
�1
故选:D�.=�+1+1−3−1,−2
【题型3函数值域的求解】
9.(2025·湖南常德·模拟预测)已知集合,,则()
A.B.�=C.�|�=�−1�=D�.|�=1−��∩�=
【答案】D∅1�|�≥0�|�≥1
【解题思路】由根式的性质求函数的定义域和值域,再应用集合的交运算求集合.
【解答过程】由,,
所以�=�|�.=�−1={�|�≥1}�=�|�=1−�={�|�≥0}
故选:�∩D.�=�|�≥1
10.(2025·山东威海·三模)已知函数的值域为,则的取值范围是()
(1−�)�1+2�,�<1,
�(�)=��
A.B.C.�−�,�≥1.D.
【答案】C(−∞,1)(−1,+∞)[−1,1)(1,+∞)
【解题思路】由函数的单调性可得,当时,,然后结合其值域为,即可得到的
值域,列出不等式,代入计算,即可得�到≥结1果.��≥�1=0��<1
【解答过程】因为在单调递增,在单调递增,
1
�=�1,+∞�=−�1,+∞
所以当时,单调递增,则,
1
又函数�≥1的值域�为�,=�−���≥�1=0
所以��时,函数�的值域要取到的所有实数,
所以�<1,�=(1−�)�+2�−∞,0
当1−�>时0,即时,函数单调递增,
1−�时>,0�,<1�=(1−�)�+2�
�当→−∞时,�→−∞,即,
�=1�=1−�+2�=�+1≥0�≥−1
所以,即的取值范围是.
故选:−1C≤.�<1�[−1,1)
11.(25-26高一上·天津·期中)函数的值域为.
【答案】�=1−�+1+2�
【解题思路−】∞利,2用换元法,转化为二次函数在给定区间上求值域即可.
【解答过程】令,则,
2
�−1
�=1+2�≥0�=2
所以,,
2
�−112312
所以�=1−2,+即�=函−数2的�值+域�+为2=−2�.−1+2�≥0
故答案�∈为:−∞,2.−∞,2
12.(2025·山−∞东,聊2城·模拟预测)已知偶函数的定义域为,且,则
的值域为.�����+�=��+��+2����
【答案】
【解题思路0,】+令∞可得出,令结合偶函数的性质可求得函数的解析式,由此可得
出函数的值�域=.�=0�0=0�=−���
【解答过�程�】对,令,则,解得;
对��+�=��+,�令�+2��,则�=�=0�0=2�0,�0=0
2
又��+为�偶函=数�,�+��+2��,故�=−��0,=解�得�+�−�−。2�
22
又��,�故−其�值=域�为�2�.�−2�=0��=�
2
故答��案为=:�≥0.0,+∞
0,+∞
【题型4求函数值】
13.(2025·山西·模拟预测)已知,则()
2
A.0B.1���=�C.−0�或+11�1=D.2
【答案】B
【解题思路】将看成一个整体,利用求解即可.
2
【解答过程】��1,���=�−�+1
2
故���=�−,�+1
所以��1=1−1+1=1,
2
���1=�1=�1−�1+1
故,解得.
2
�1−2�1+1=0�1=1
故选:B.
14.(2025·山西·模拟预测)已知函数,则()
1111
222
��=1−��2�3⋅⋅⋅�9=
A.B.5C.9D.10
9
2
【答案】C
【解题思路】用代换得,即可求目标函数值.
11�
22
【解答过程】由题�设���=�−1,故.
11�111239
2222
�1�−1239128
�=1−2=��⋅⋅⋅�=××⋅⋅⋅×=9
故选:C.�
15.(2025·重庆·三模)已知定义在上的函数满足对任意的.
则()����,�∈�,��+��−�=���,�0=1
�A1.=B.0C.2D.1
【答案】C−2
【解题思路】赋值分别令、可得,再令即可得解.
【解答过程】因为对任意的�=0,�=��=�,�=0��+1=�+�,1�=−1
令,则�,�∈�,��+��−,�即=���,�0=1;
令�=0,�=�,则���−�=��0,=即�1���=�;+�1
可得�=�,�=0��+,�0=�����+1=���
令��+,1则=�+�1,解得.
故选�=:−C1.�0=−1+�1=1�1=2
16.(2025·江西·二模)已知函数是定义在上的函数,,且对任意的都有
,,若���,则�1=(1)�∈���+5≥��+
5�A�.+1≤��+1B.��=��+1−C�.�2025=D.
【答案】B2120252026
【解题思路】由已知条件得出,代入题干中的不等式,结合不等式的基本性质推导出
,再结合��=��可求+得�−结1果.
【�解�答=过�程�】+由�−1�1=,1得,
由��=,��+1−���,=��+�−1
得��+5≥��+5��+1≤��+1,,
即��+5+�+,5−1≥��+�,−1+5��+1+�+1−1≤��+�−1+1
��+5≥����+1≤��
所以,
所以��≤��+5,≤��+4≤��+3≤��+2≤��+1≤��
又因为��=��+1,故.
故选:B�.1=�1=1�2025=�1=1
【题型5已知函数类型求解析式】
17.(25-26高一上·全国·单元测试)已知一次函数满足,则()
A.B.�(�)�(2�−1)+�(�+1)=2(�−3)
23
�(�)=3�−3�(�)=2�−3
C.D.
23
�(�)=3�+3�(�)=2�+3
【答案】A
【解题思路】设出函数解析式,利用待定系数法求解.
【解答过程】由为一次函数,设,
依题意,�(�)�(�)=��+,�(整�理≠得0),
因此�(2�−,1解)得+�+�(�+1)+,�所=以2�−6.3��+2�=2�−6
22
3�=2
�=3,�=−3�(�)=3�−3
故选:2�A.=−6
18.(24-25高一上·全国·课后作业)图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为()
A.B.1,3��
22
C.��=−3�+6�D.��=−2�+4�
22
【答案】�A�=3�−6���=2�−4�
【解题思路】由待定系数法求函数解析式问题,根据题意可以设二次函数的顶点式,然后根据函数过原点,
将代入即可.
【解0答,0过程】设图象是以为顶点的二次函数().
2
因为图象过原点,所以1,3,,所以��=��−1+3�≠0.
22
故选:A.0=�+3�=−3��=−3�−1+3=−3�+6�
19.(24-25高一上·全国·课后作业)若是一次函数,,,则
()�(�)2�(2)−3�(1)=52�(0)−�(−1)=1�(�)=
A.B.C.D.
【答案】B3�+23�−22�+32�−3
【解题思路】设出函数的解析式,再根据给定条件列出方程组,求解作答.
�(�)
【解答过程】设,由题设有,
2(2�+�)−3(�+�)=5
�(�)=��+�(�≠0)
解得,所以.2(0⋅�+�)−(−�+�)=1
�=3
�(�)=3�−2
故选:�B=.−2
20.(24-25高三·全国·中职高考)已知二次函数满足,且的最大值是8,
则此二次函数的解析式为()���(2)=−1,�(1−�)=�(�)��
A.�(�)=B.
22
C.−4�+4�+7D.4�+4�+7
22
【答案】−A4�−4�+7−4�+4�−7
【解题思路】根据条件设二次函数为,代入条件求解即可.
12
�(�)=��−2+�(�≠0)
【解答过程】根据题意,由得:图象的对称轴为直线,
1
�(1−�)=�(�)�(�)�=2
设二次函数为,
12
�(�)=��−2+�(�≠0)
因的最大值是8,所以,当时,,
11
�(�)�<0�=2�2=�=8
即二次函数,
12
�(�)=��−2+8(�≠0)
由得:,解得:,
12
�(2)=−1�(2)=�2−2+8=−1�=−4
则二次函数,
2
12
故选:A.�(�)=−4�−2+8=−4�+4�+7
【题型6已知f(g(x))求解析式】
21.(25-26高一上·福建三明·月考)已知,则()
A.B.��+1C=.�+2�−1��D=.
2222
【答案】A�−2�≥1�−2��≥1�
【解题思路】利用配方法,将化为,再结合换元法即可
2
求得答案.��+1=�+2�−1��+1=�+1−2
【解答过程】由题意知,即,
2
令,因为��+1,=故�+2,�−1��+1=�+1−2
则可�=得�+1�+1≥,1�≥1
2
��=�−2,�≥1
故,
2
故选��:A=.�−2,�≥1
22.(25-26高一上·重庆·期中)已知,则函数的解析式为()
242
A.��+1B.=�+2�−1��
22
C.��=�−2D.��=�−2�≥1
22
【答案】�B�=�+2��=�+2�≥1
【解题思路】由利用配方法和换元法求函数解析式.
【解答过程】,且,
2222
所以��+1=,�+1−2�+1≥1
2
故选:��B.=�−2�≥1
.(高一上湖南岳阳期中)已知函数,则()
2325-26··2
1−�
2
�1−�=��≠0��=
A.B.
11
22
�−1−1�≠0�−1−1�≠1
C.D.
44
22
�−1−1�≠0�−1−1�≠1
【答案】B
【解题思路】用换元法求函数解析式即可
【解答过程】令,则,
所以�=1−�,�≠1,�=1−�
2.
1−(1−�)1
22
��=(1−�)=1−�−1�≠1
所以.
11
22
��=1−�−1=�−1−1�≠1
故选:B.
24.(25-26高一上·江苏徐州·期中)已知,则的解析式是()
2
A.�2�B.=4�−1��+1
22
C.��+1=�−1D.��+1=4�+8�+3
22
【答案】�C�+1=�+2���+1=8�−1
【解题思路】利用配凑法求函数解析式.
【解答过程】因为,
22
所以�,2则�=4�−1=2�−1.
222
故选:��C.=�−1��+1=�+1−1=�+2�
【题型7分段函数及其应用】
,
25.(2025·安徽合肥·一模)若是上的增函数,则实数的取值范围为()
,
��+1�<1
��=��
A.B.ln�+C2.��≥1D.
【答案】B1,+∞1,+∞2,+∞2,+∞
【解题思路】分类讨论及的的单调性,再注意分段函数的内部衔接点的大小关系,即可得到
的取值范围.�<1�≥1��
【�解答过程】当时,若为单调递增函数,则;
当时,�<1�为�单=调�递�增+函1数,�>0
若�≥1是上的�增�函=数ln,�+需2有�,解得.
故选��:B.��+1≤2��≥1
26.(2025·广东深圳·模拟预测)已知函数的值域为R,则a的取值范围是()
�
�−�e,�<1
�(�)=
A.B.C.ln�−2,�≥1D.
−1−1
【答案】A(−∞,e][0,e](−∞,e](−∞,e]∪[e,+∞)
【解题思路】利用单调性求出在上的函数值集合,由已知可得在上的值域包含
,再利用导数探讨函数�(�)在[1,+∞)上的函数值集合即可求出范围�(.�)(−∞,1)(−
【∞解,−答2过)程】当时,函数�(�)(−∞,1)在上单调递增,函数值集合为,
由函数的值�域≥为1R,得函数�(�)=ln�−2在[1,+∞)上的值域包含,[−2,+∞)
�
当�(时�),函数�,(�求)=导得�−�e(−∞,1),而,(−∞,−2)
�′��
当�<1时,�(�),=函�数−�e在�(上�)单=调1递−增�e,函数e值<集e合为,
1′
�≤e�(�)≥0�(�)(−∞,1)(−∞,1−�e)
而恒成立,则;
1
1−�e≥−2�≤e
当时,由,得;由,得,
1′′
函数�>e在�(�)>0上单�调<递−增ln,�在�(�)<0上单调−l递n�减<,�<1,
函数值�(�集)合(为−∞,−ln�),于是(−ln�,1),解得�,(�则)≤�(−ln�,)=−ln�−1
1
(−∞,−ln�−1]−ln�−1≥−2�≤ee<�≤e
所以a的取值范围是.
故选:A.(−∞,e]
27.(2025·云南丽江·三模)已知函数,则的值为()
�
2�≥4
�(�)=�2+log23
�(�+1)�<4
A.24B.4C.12D.8
【答案】A
【解题思路】由,则,从而可求解.
【解答过程】因为2+log23<4,所�2以+log23=�3+log23,
又,2所+以log23<4�2+log23=�3+log23.
3+log233log23
故选3+:lAo.g23>4�3+log23=2=2×2=8×3=24
28.(2025·福建福州·模拟预测)若函数的定义域和值域的交集为空集,则a的
�
2+3,�≤0
��=2
取值范围是()(�−2),0<�≤�
A.B.C.D.
【答案】B0,20,11,42,4
【解题思路】结合分段函数的性质先求出定义域,再结合指数函数的及二次函数的性质求出值域,即可求解.
【解答过程】由题意可得函数的定义域为,
当时,,�|�≤�
�
要使�≤得0定义域�和�值=域2的交+3集∈为空3,4集,则,
又时,,0<�≤3
2
若0<�,≤则���,=此�时−显2然不满足题意,
若�≥2�,2则=0在上单调递减,,
2
故0<�<2��0,�,��∈�−2,4
2
所以��∈�−2,,4解∪得3,4.
2
�<�−20<�<1
故选:0B.<�<2
A组基础跟踪练
一、单选题
1.(2025·河北保定·三模)设集合,,则()
2�+11
�=�∣2≤32�=�∣�=1−�+1�∩�=
A.B.
C.{�|−3≤�≤1}D.{�|�≤1}
【答案】{C�|�≤−3}{�|−1≤�≤3}
【解题思路】解指数不等式得集合,求函数定义域得集合,然后根据交集的定义求解.
【解答过程】因为集合=��,,
2�+11−5
��|2≤32=2=�|�≤−3�=�|�=1−�+1=�|�≤1
所以.
故选:�∩C.�=�|�≤−3
2.(25-26高一上·重庆沙坪坝·期中)函数的值域为()
A.B.��C.=�−2−�,�∈2,D6.
77
−∞,−4−4,−4−4,−2−4,−2
【答案】B
【解题思路】利用换元法结合二次函数性质求解值域即可.
【解答过程】由题意得,令,
可得,则�∈2,6,即原�函=数�化−为2∈0,2,
222
由二次�函=数�−性2质得�=在�+2上单调递增,在��=上−单�调+递�减−,2
11
��0,22,2
而,,当时,,
17
�2=−4�2=−4�→0��→−2
可得,即的值域为,故B正确.
77
��∈−4,−4��−4,−4
故选:B.
3.(25-26高一上·安徽六安·期中)已知函数的定义域为,则函数的定义域为()
�2�−1
�−1
A.B.�C�.−1,5D.��=
【答案】C0,3−3,90,1∪1,3−3,1∪1,9
【解题思路】借助抽象函数定义域与具体函数定义域求法计算即可得.
【解答过程】由题意得,解得或,
−1≤2�−1≤5
0≤�<11<�≤3
故函数的定义�域−为1≠0.
�2�−1
�−1
故选:C�.�=0,1∪1,3
4.(2025·重庆·模拟预测)若函数的图象如图所示,则函数的图象可能为()
�=�−2�+2�=��
A.
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